第五章-大数定理

1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 大数定理  1.       什么是切比雪夫不等式？（基本公式、切比雪夫不等式、Chebyshev）答：设随机变量 的数学期望 及方差 都存在，则对任意 有 。切比雪夫不等式给出了在 的分布未知情况下对事件“ ”发生的概率进行估计的一种方法。切比雪夫不等式在理论上有重大意义，单估计精度不高。一般地，对任意随机变量 ，若 ， ，有切比雪夫不等式易知，比如当 时有 .这个估计精度没有 原则得到的精度高。2.       何谓依概率收敛？

2、（概念、依概率收敛）答：设 是一个随机变量序列， 为常数，若对任意 ，有 ，则称 依概率收敛于 ，记为 。依概率收敛的直观意义为：当 充分大后，随机变量 几乎总是取值为 ，或者与 非常接近。上面的式子也可等价地表为 .3.       切比雪夫大数定律。（概念、切比雪夫大数定律、独立同分布大数定律）答：设互相独立的随机变量序列 的数学期望与方差都存在，且存在常数 ，使每个 ，则必有 。特别地，如果 是独立同分布的随机变量序列，记 ， ， ， ，则 。这种特殊情况称为独立同分布大数定律，在数理统计中经常会用到。它说明，当 充分大时， 的

3、平均值 在概率意义下会充分接近其数学期望 。4.       伯努利大数定律。（概念、伯努利大数定律）答：设在 次伯努利试验中，事件 发生了 次，记 为 次试验中事件 发生的频率，又记 ，则 即对任意 ，有 。这个定理说明了在 次独立重复试验中，事件 发生的频率 依概率收敛于 发生的概率 ，从而以严格的数学形式描述了频率的稳定性。在实际应用中，当试验次数很多时，常以频率来近似地估计概率。5.       辛钦大数定律。（概念、辛钦大数定律）答：设随机变量序列 相互独立同分布，

4、且 ， 存在，记 ，则 。这个定律只要求每个数学期望 存在，而不管 是否存在，但要求诸 同分布。这与切比雪夫大数定律不同。6.       独立同分布中心极限定理。（概念、中心极限定理）答：设随机变量 相互独立，同分布，且 ， ， ，则对随机变量 ，及任意 ，有 。其中 是标准正态分布 的分布函数。由于 ， ，所以 实际上是随机变量 的标准化。这个式子告诉我们，不论 原来服从什么分布，当 很大时，其部分和 近似有 和等价地近似为 。进一步，若记 ，则得近似公式 。它表明，不论诸 原来分布情况如何，其 项平均值 总是可以近似认为服从 。

5、7.       隶莫佛拉普拉斯定理。（例题、隶莫佛拉普拉斯定理）答：设随机变量 ， ，则对任意 有。若当 很大时，近似地有 ，从而可得近似公式： ，在使用这个公式时，有几点需要说明：（1）泊松定理告诉我们，当 时，二项分布可用泊松分布作近似计算，而上述公式不受 值的限制。但若 很大， 很小（ ），则用正态分布作近似不如泊松分布精确。（2）“ 很大”是一个较为模糊的概念。经验告诉我们，如果取 （有时亦可放宽到 ），则近似程度便可以满足一般要求，当然， 越大精度越好。（3）对于概率 ， ， 均可用公式计算，因为当 很大时， 的值都很小。

6、8.       由统计概型知，当试验次数 时，事件 的频率的极限就是概率，即有 。（频率、概率）答：不正确。若有 ，则要求对给定的 ，存在正整数 ，当 时，有 。由于 的发生哪个是随机的，从而 是一个随机变量。因此，对给定的 ，我们无法保证在某个时刻（ ）之后恒有 ，故 不成立。9.       大数定理是依概率收敛的极限定理，中心极限定理是依分布收敛的极限定理。（大数定理、中心极限定理）答：正确。根据“依概率收敛”的定义，显然，切比雪夫大数定理可以表为 。伯努利大数定理可

7、以表为 。由于与 是等价的； 是随机变量 的分布函数，又 是标准正态分布的分布函数 ，从而知独立同分布的中心极限定理可表为 。因此，随机变量 依分布收敛于 （ 服从标准正态分布）可记为 。类似地，其它中心极限定理都可以表为 的形式。10.   若一个随机变量序列 依概率收敛于某个随机变量 （即 ），则相应的分布函数序列 在每一点上都收敛于 的分布函数 。（概念、依概率收敛）答：不正确。举一个反例说明。设 ， 都服从01分布，且 ， ， ，于是对任意给定的 ，当 时，即 ，有 ，故 。又设 ， 的分布函数分别为 与 ，易知有 ， 。显然当 时，有 ，而当 时，有 。从而知，当

8、 时，没有 。此例说明，一个随机变量序列依概率收敛与某一个随机变量，相应的分布函数列不一定在每一点上都收敛与这个随机变量的分布函数。11.   由伯努利大数定律可知，当 时，频率 依概率收敛于概率 ，即有 ，因此，对于很大的 和指定的 ，可以用它计算概率 。（概念、伯努利大数定律）答：不是。事实上，由 可知当 越大时， 接近 的可能性也越来越大，而并没有提供一个具体的公式来计算这种概率到底是多大。但可以使用隶莫佛拉普拉斯中心极限定理来近似的计算。12.   二项分布两种近似计算的比较。（二项分布、近似计算、泊松分布、正态分布、隶莫佛拉普拉斯定理）13.&

9、#160;  设某工厂有400台设备，每台设备发生故障的概率分为两种情况，一种为0.02，另一种为0.001。假设每台设备工作是相互独立的，试计算设备出故障的台数不小于2的概率。14.   设设备出故障的台数为 ，则 ，下面使用3种方法分别计算。（1）       直接用二项分布计算：（2）       用泊松分布近似计算：， ， ， ， ，（3）       用正态分布近似计算：15.

10、   甲乙两个戏院在竞争1000名观众，假定每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院应该设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1。（例题、中心极限定理）分析：因为两个戏院情况一样，故只需要考虑甲剧院就可以了。显然，第 个观众是否选择甲剧院是随机的，而选择的结果只有两个：选择甲剧院和不选择甲剧院。因此，这是一个服从01分布的随机变量，设为 。由题设可知 是独立的。可以使用中心极限定理来求解。解：根据分析，可知 ，设 表示选择甲剧院的观众的总数，则有 。假设剧院共有 个座位，为了不使观众因缺少座位而离开，就必须要求 ，从而要求

11、。由于 ， ，根据独立同分布中心极限定理，有利用标准正态分布表，可知 。可见每个剧院应设537个以上的座位，才能保证因缺少座位而离去的概率小于1。16.   某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修。设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力一千瓦。问应该供给车间多少瓦电力才能以99.9%的概率保证车间不会因供电不足而影响生产。（例题、棣莫佛拉普拉斯定理）分析：由于开工率只有0.6，所以并不需要为车间提供200千瓦的电力，这会造成浪费，而应根据开工的车床数来决定电力的供应，那么应该供应多少电力才能既节约电又能保证车床正常运转呢？这个问题可以使用棣莫

12、佛拉普拉斯定理来解决。可以把对每台车床的观察作为一次试验，若观察到车床在工作作为事件 ，所以200台车床可以看成 重伯努利试验，因此可以使用二项分布。解：由题意可知，事件 发生的概率为0.6，即 。设某时刻工作着的车床数为 ，则 是一个随机变量，它服从二项分布 。由题目的要求，我们需要求 下面的表达式成立：。由于车床数是一个非负整数，所以由棣莫佛拉普拉斯定理定理得查表可知，当 时，得 ，所以 ，取 。这个结果表明，若供电142千瓦，则由于供电不足而影响生产的可能性小于0.001。即在8下式的工作时间中可能少于 分钟的时间会受影响。17.   以频率估计概率时的误差估计（频率

13、、棣莫佛拉普拉斯定理）在伯努利试验重，设事件 出现的概率为 ， 为前 次试验中事件 出现的频率、 为任意正数，则由棣莫佛拉普拉斯定理可得其中 ， 为频率和概率的误差。利用这个表达式可以解决三类频率和概率之间的问题。（1）已知 ，求概率 ，这可以使用标准正态分布表查表得出，则在二项分布计算中经常会遇到。例：已知某厂生产一批无线电元件，合格品占 。某商店从该厂任意选购6000个这种元件，试问在这6000个元件中含合格的比例与 之差小于1的概率多少。解：把人选6000个元件看作6000重伯努利试验， ， ，则有。即所求的概率为0.96。（2）要使 与 的差异不大于给定的正数 的概率不小于预先给定的数

14、 ，问应做多少次试验？即在 已知的条件下求满足 的最小的 。例：已知一批元件中合格品占 ，欲从中任选 件，使选出的这批元件中合格品的比例与 的差异不大于0.01的概率不小于0.95，问至少应任选多少只？直接利用上面的表达式，可以得到结论。令 代入，即得 即 ，查标准正态分布表可知，当概率值为0.975时， ，所以 ，即至少要任选5336只元件。（3）若已知（2）中的表达式的 求 ，则需找到 使得 ，再由 求出 。如果 未知，则由 ，即可得 。例：在一批元件中，合格品占 ，从中任选购6000个，问把误差限 定为多少时，才能保证频率与概率之差不大于 的概率为0.99？此时，合格品数落在哪个范围内？由前面的讨论可知， ，即 ，查表得到 ，故 。把 带回原式，得，也即是合格品的个数落在925个与1075个之间。18.   设随机变量 独立同分布，已知 ，问 充分大时候，随机变量 服从什么分布？指出其分布参数。（例题、中心极限定理）解：由于 独立同分布，故 也独立同分布，由中心极限定理知 在 充分大时应近似地服从正态分布，