量子力学第七章

1、1第六章第六章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子2前 言 尽管单粒子体系的薛定谔方程取得了很大的成功。尽管单粒子体系的薛定谔方程取得了很大的成功。但是该理论有很大的局限性。首先，绝大部分微观粒子但是该理论有很大的局限性。首先，绝大部分微观粒子都存在自旋，而前面讨论的问题都未涉及到粒子的自旋都存在自旋，而前面讨论的问题都未涉及到粒子的自旋特征。另外，实际粒子体系一般多为多粒子体系，所以特征。另外，实际粒子体系一般多为多粒子体系，所以研究多粒子体系的问题更有实际意义。研究多粒子体系的问题更有实际意义。6.1 电子自旋电子自旋(Electron spin)施特恩施特恩-盖拉赫盖拉赫（Stern-Gerl

2、ach）实验实验 基本思想是通过讨论基态氢原子在非均匀磁场中基本思想是通过讨论基态氢原子在非均匀磁场中运动情况，得知电子具有自旋的信息运动情况，得知电子具有自旋的信息3 通电线圈只有在非均匀磁场中才可能受外通电线圈只有在非均匀磁场中才可能受外力作用否则只能受外力矩作用，外力矩只能力作用否则只能受外力矩作用，外力矩只能使它转动而不产生平动，具有自旋的氢原子使它转动而不产生平动，具有自旋的氢原子也是如此也是如此 基态氢原子，总电量为基态氢原子，总电量为0 0，轨道角动，轨道角动量也为量也为0 0，即核外电子无轨道磁矩，表，即核外电子无轨道磁矩，表面上其运动应该不受磁场的影响，实际面上其运动应该不受

3、磁场的影响，实际情况是氢原子在磁场中轨迹分裂成两条，情况是氢原子在磁场中轨迹分裂成两条，这说明氢原子有自旋磁矩。这说明氢原子有自旋磁矩。coszBMzUFzzcos.MBBMU4即自旋磁矩平行或反平行于外加磁场即自旋磁矩平行或反平行于外加磁场 由此，氢原子运动情况与磁场和电子自旋磁矩的夹由此，氢原子运动情况与磁场和电子自旋磁矩的夹角有关，由于只有两个轨迹，所以电子的自旋磁矩只有角有关，由于只有两个轨迹，所以电子的自旋磁矩只有两个方向，计算表明两个方向，计算表明1cos乌仑贝克乌仑贝克. . 哥德斯米脱假设哥德斯米脱假设（1 1）每个电子具有自旋角动量）每个电子具有自旋角动量 ，它在空间任，它在

4、空间任 意方向的取值只能有两个意方向的取值只能有两个S2zS5SeMS（SI） SceMS （CGS）在任意方面在任意方面上的投影上的投影BszMeM2（SI） BszMceM2（CGS） （2 2）每个电子具有自旋磁矩）每个电子具有自旋磁矩 , ,它与自旋角动量的它与自旋角动量的SM关系是关系是（ 玻尔磁子）玻尔磁子） BM6自旋回转磁比率（磁矩与角动量的比值）：自旋回转磁比率（磁矩与角动量的比值）：eSMzsz（SI）ceSMzsz（CGS） 轨道磁矩与轨道角动量的关系：轨道磁矩与轨道角动量的关系：LeMl2（SI）LceMl2（CGS） 自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的两倍自旋回转磁比率

5、是轨道回转磁比率的两倍 2l zzMeL （SI）2lzzMeLc （CGS）76.2 6.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数1自旋算符自旋算符 为了描述电子的自旋角动量为了描述电子的自旋角动量 的特性，需要引入的特性，需要引入一个厄米算符一个厄米算符 来表征电子的自旋角动量来表征电子的自旋角动量SS注意注意：自旋角动量自旋角动量是电子内部是电子内部的一种的一种固有特性，它是固有特性，它是由电子的自身结构决定的，在经典理论中没有对应量，由电子的自身结构决定的，在经典理论中没有对应量，它不能表示为空间坐标和动量的函数。它不能表示为空间坐标和动量的函数。 但是但是 作为自旋角动量

6、，它与轨道角动量应该具作为自旋角动量，它与轨道角动量应该具有相同的量子性质，应满足角动量算符的普遍对易关有相同的量子性质，应满足角动量算符的普遍对易关系系S8SSi S yzxxzxyzzyzxyyxSiSSSSSiSSSSSiSSSS自旋角动量平方算符自旋角动量平方算符 2222xyzSSSS与各分量间的对易关系与各分量间的对易关系为为2,0SS(,)xy z000222222SSSSSSSSSSSSzzyyxx2222xyzSSSS 9 由于在空间任意方向上的投影只有两个取值由于在空间任意方向上的投影只有两个取值 ，所以所以 、 、 的本征值是的本征值是 2xSySzS 的本征值的本征值都

7、是都是 4222224xyzSSS即即222xyzSSS2222243zyxSSSS2S的本征值的本征值 将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的一般表将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的一般表示式示式: :1.1.自旋算符的本征值自旋算符的本征值222xyzSSS、它们相当于一个数值算它们相当于一个数值算符符 103 3 泡 利 算 符泡 利 算 符22(1)Ss ss s为自旋量子数为自旋量子数1()2s szmS 为为“磁磁”量子量子数数sm1()2sm 为了讨论问题方便，引入泡利算符为了讨论问题方便，引入泡利算符2S 222xxyyzzSSS11对 易 关 系对 易 关 系2iyzxx

8、zxyzzyzxyyxiii222泡利算符的泡利算符的平方算符平方算符2,02,2,2,000 xyz2222zyx1232222zyx2的本征值的本征值1222zyx2xxS本 征 值本 征 值xyz的本征值都是的本征值都是 11x2xS 13Prove) (21 ) (21yzzyyyyzzyxyyxiiyzyzyyzyzyi21220000yxxzyzzyxyyx反反对易关系对易关系, 0Proveizyx144 4自旋算符的矩阵表示自旋算符的矩阵表示 描述电子自旋角动量状态，类似于一般角动量的描描述电子自旋角动量状态，类似于一般角动量的描述方法，通常选述方法，通常选 作为力学量完全集，

9、即以它们作为力学量完全集，即以它们的共同本征态描述体系的状态，称为的共同本征态描述体系的状态，称为 表象，通表象，通常也简称常也简称 表象，该本征态只有两个，表象，该本征态只有两个， 两个态相应两个态相应于于S S2 2的取值总为的取值总为3/43/42 2，而，而S Sz z 取取+1/2 +1/2 或者或者- 1/2 - 1/2 ，在该表象中，自旋算符矩阵应该是两行两列矩阵，波在该表象中，自旋算符矩阵应该是两行两列矩阵，波函数为两分量的列矩阵：函数为两分量的列矩阵：10012zS22103014SzSS 2很显然很显然zSS 2zS15相应于相应于S Sz z取取2的本征态可表示为的本征态

10、可表示为01)(21zS相应于相应于S Sz z取取2的本征态可表示为的本征态可表示为10)(21zS1001z210301)(43)(212212zzSSS)(21)(2121zzzSSS两个本征矢两个本征矢161122112211220(1 0)011(1 0)100(0 1)11 该两个函数满足正交归一化条件该两个函数满足正交归一化条件17dcbadbca*故有故有 aa *dd *cb *（a a, , d d 必为实数）必为实数）dbbax*xx由由 设设 的矩阵形式为的矩阵形式为xdcbax现在来求现在来求 的矩阵形式的矩阵形式xyxSyS18*10100101ababbdbd 则

11、则 0a0d00*bbx而而 22*2001 0| |0000 10| |xbbbbbb *20002abababdbdd 再由再由 得到得到0zxxz191|2b0110 x1 2yzxxyi 1 00 10 11 0011011 01 001022iiii 取取 1b20泡 利泡 利 矩 阵矩 阵0110 x1001z0 11 02xS002iiSy10012zS自旋算符矩阵自旋算符矩阵00yiiSz表象中表象中xSyS本征函数本征函数设设 本征函数为本征函数为xSba则其本征方程为则其本征方程为21baba01102相应的久期方程为相应的久期方程为022由此可以解得由此可以解得21相应于

12、相应于21其本征方程为其本征方程为22baba0110化简后有化简后有00baab即即ba由此由此xS的本征函数为的本征函数为aa或者或者11归一化后为归一化后为2其物理意义：表示在其物理意义：表示在Sx取取1121的本征态中，的本征态中，Sz取取2321的概率各占的概率各占1/2类似地类似地21的本征方程为的本征方程为baba0110归一化后的本征函数归一化后的本征函数1121同理同理yS的本征值也为的本征值也为21相应的本征函数分别为相应的本征函数分别为i121及及i12124思考题思考题在在Sz本征值为本征值为 的本征态中测量的本征态中测量Sx，测量结果，测量结果及相应的概率为多少？及相

13、应的概率为多少？2125上一节内容复习上一节内容复习1、自旋角动量算符及对易关系、自旋角动量算符及对易关系SSi S2,0SS(,)xy zxSySzS222xyzSSS 本征值均为本征值均为 yzxxzxyzzyzxyyxSiSSSSSiSSSSSiSSSS262xS2yS2zS本征值均为本征值均为422S本征值为本征值为4322xS2yS2zS2S及及与电子的具体自旋状态无关，与电子的具体自旋状态无关，所以，它们相当于是一个数量算符所以，它们相当于是一个数量算符2、泡利算符、泡利算符2S 222xxyyzzSSS27对易关系对易关系2iyzxxzxyzzyzxyyxiii2222,0反对易

14、关系反对易关系000yxxzyzzyxyyx, 028相应算符的本征值相应算符的本征值222 , ,zyxxyz的本征值都是的本征值都是 1本征值均为本征值均为12 本征值均为本征值均为3222 , ,zyx2 及及均为数量算符均为数量算符3 3自旋算符及本征态的矩阵表示自旋算符及本征态的矩阵表示在在zSS 2表象，即以表象，即以zSS 2本征矢为基矢量的表象中本征矢为基矢量的表象中所有自旋波函数均为两行一列矩阵，而算符则为两行两所有自旋波函数均为两行一列矩阵，而算符则为两行两列矩阵列矩阵29常用算符的矩阵形式常用算符的矩阵形式22103014S002iiSy10012zS2103010 11

15、 02xS0110 x1001z00yii30常用算符的本征函数常用算符的本征函数01)(21zS10)(21zS算符本征函算符本征函数数zS算符本征函算符本征函数数xS1121)(21xS1121)(21xS算符本征函算符本征函数数ySiSy121)(21iSy121)(21314.考虑自旋的电子波函数考虑自旋的电子波函数21的几率密度。的几率密度。21表示表示t时刻，在时刻，在 处找到自旋处找到自旋 的电子的电子2zSzyx,的几率密度的几率密度 22表示表示t时刻，在时刻，在 处找到自旋处找到自旋 的电子的电子2zSzyx,222121212) (表示表示t t时刻粒子在时刻粒子在x x

16、，y y，z z处的电子出现的几率密度处的电子出现的几率密度232电子的概率电子的概率21zS表示在全空间找到自旋表示在全空间找到自旋为为d22其中其中电子的概率电子的概率d21表示在全空间找到自旋表示在全空间找到自旋为为21zS1)(22212dd表示电子在全空间出现总概率为表示电子在全空间出现总概率为0 0在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作用，因在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作用，因而电子的自旋状态对轨道运动有影响，而电子的自旋状态对轨道运动有影响， 与与 不同。不同。12当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽略时，当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽略时， 与与 相同

17、，这时总波函数为相同，这时总波函数为1233),(tszyxz)(), ,( zstzyx22211211GGGGG2122211211*2*1GGGGGGdGG对于任意一个力学量算符对于任意一个力学量算符 ，在考虑自旋的，在考虑自旋的情况下都是一个两行两列矩阵情况下都是一个两行两列矩阵345.考虑自旋的电子波函数考虑自旋的电子波函数 电子既然有自旋，其波函数应包含电子自旋的信息，电子既然有自旋，其波函数应包含电子自旋的信息，电子自旋通常用电子自旋通常用 来表示，所以波函数表示为来表示，所以波函数表示为zS( , , , , )zx y z s t写成矩阵形式，为二行一列矩阵写成矩阵形式，为二

18、行一列矩阵),2,(),(),2,(),(21tzyxtzyxtzyxtzyx2135物理意义：物理意义：的几率密度。的几率密度。zyx,的几率密度的几率密度 2zS2122表示表示t时刻，在时刻，在 处找到自旋处找到自旋 的电子的电子zyx,222121212) (表示表示t t时刻粒子在时刻粒子在x x，y y，z z处的电子出现的几率密度处的电子出现的几率密度2表示表示t时刻，在时刻，在 处找到自旋处找到自旋 的电子的电子2zS361)(22212dd粒子在全空间的归一化条件粒子在全空间的归一化条件其中其中d21表示在全空间找到自旋表示在全空间找到自旋为为21zS电子的概率电子的概率d2

19、2表示在全空间找到自旋表示在全空间找到自旋为为21zS电子的概率电子的概率在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作用，因在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作用，因而电子的自旋状态对轨道运动有影响，这通过而电子的自旋状态对轨道运动有影响，这通过 中的中的 和和 是是 的不同函数来体现。的不同函数来体现。12zyx, 当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽略时，当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽略时， 和和 对空间位置的依赖关系是一样时，这时，总的对空间位置的依赖关系是一样时，这时，总的波函数波函数 可以分解为空间波函数可以分解为空间波函数 和自和自旋波函数的乘积旋波函数的乘积12),

20、(tszyxz21zS37),(tzyx因为此时空间波函数不受自旋方向的影响，所以轨道因为此时空间波函数不受自旋方向的影响，所以轨道波函数为波函数为basz)(设电子的自旋波函数为设电子的自旋波函数为则总波函数可表示为则总波函数可表示为),(tszyxz)(), ,( zstzyx38考虑电子自旋情况下，体系力学量的平均值考虑电子自旋情况下，体系力学量的平均值 对于任意一个力学量算符对于任意一个力学量算符 ，在考虑自旋的情，在考虑自旋的情况下都是一个两行两列矩阵况下都是一个两行两列矩阵G22211211GGGGG2122211211*2*1GGGGGG所以，总的平均值为所以，总的平均值为 dG

21、G由此对自旋求平均：由此对自旋求平均： 该式仅是对该式仅是对x，y，z点与电子自旋有关的力学量的平均点与电子自旋有关的力学量的平均 396.3 简单塞曼效应简单塞曼效应 考虑氢原子和类氢原子在均匀磁场中的情况，这考虑氢原子和类氢原子在均匀磁场中的情况，这时电子除了具有原来的动能和势能外，因为具有自旋时电子除了具有原来的动能和势能外，因为具有自旋和轨道磁矩，所以还具有附加的磁场能，另外电子和和轨道磁矩，所以还具有附加的磁场能，另外电子和自旋之间还具有相互作用能。假设外磁场很强，以至自旋之间还具有相互作用能。假设外磁场很强，以至于自旋和轨道的相互作用能远小于它们在外磁场中的于自旋和轨道的相互作用能

22、远小于它们在外磁场中的能量，这时可忽略相互作用能。能量，这时可忽略相互作用能。在有强磁场的情况下的附加磁场能量在有强磁场的情况下的附加磁场能量B).S2L(2eB).MM-(USL+=+=40B取的取的 方向为方向为 轴方向，则轴方向，则zB)S2L(2eUzz+=定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程ESLceBrezzss)2(22222由于不考虑自旋与轨道相互作用，所以该方程的本由于不考虑自旋与轨道相互作用，所以该方程的本征函数为：征函数为： zzz)S(z211=或者或者)S(z21-1=41把以上两式代入以上本征方程，可得把以上两式代入以上本征方程，可得11z12s

23、122E)L(2eBrze-2-=+22z22s222E)-L(2eBrze-2-=+当外磁场不存在时，方程的解为当外磁场不存在时，方程的解为),(Y)r(R),r(lmnlnlm=对于氢原子，其能级只与对于氢原子，其能级只与n有关，即对有关，即对L与与m简并，简并，而对于碱金属由于内层电子对原子核的库仑场的屏而对于碱金属由于内层电子对原子核的库仑场的屏蔽，其能级不仅与蔽，其能级不仅与n有关，也与有关，也与L有关，仅对有关，仅对m简简并并42在有外磁场作用情况下，因为在有外磁场作用情况下，因为),r(m),r(Lnlmnlmz=所以所以nlm仍然为新的方程的能量本征函数，把仍然为新的方程的能量

24、本征函数，把nlm代入两个方程可得到代入两个方程可得到21S);1m(2BeEEznlnlm=+=相相应应于于21-S);1-m(2BeEEznlnlm=+=相相应应于于由此，加入磁场后，原先对由此，加入磁场后，原先对m的简并也消除了的简并也消除了下图是加磁场时的下图是加磁场时的2p到到1s能级跃迁能级跃迁43ab c1m0m1m0m2zSabc1m0m1m0m2zSS1P2无磁场有 磁 场44在外场中由能级在外场中由能级 跃迁到跃迁到 的谱线频率为的谱线频率为 由由m的选择定则的选择定则可知可知 02eB0=在外磁场中分裂成三条谱线，这种现象称为简在外磁场中分裂成三条谱线，这种现象称为简单塞

25、曼效应。单塞曼效应。1, 0 m,nlmEmlnE m2eB0+=45上一节内容复习上一节内容复习 类氢原子在强外磁场作用下，自旋和轨道的相互类氢原子在强外磁场作用下，自旋和轨道的相互作用能远小于它们在外磁场中的能量，这时可忽略相作用能远小于它们在外磁场中的能量，这时可忽略相互作用能。定态薛定谔方程：互作用能。定态薛定谔方程：类氢原子的简单塞曼效应类氢原子的简单塞曼效应ESLceBrezzss)2(22222zzB)S2L(2eUzz+=其中其中该方程的两个本征函数该方程的两个本征函数46)S(z211=或者或者)S(z21-2=相应的两个轨道波函数方程为相应的两个轨道波函数方程为11z12s

26、122E)L(2eBrze-2-=+22z22s222E)-L(2eBrze-2-=+该两个方程的解该两个方程的解),(Y)r(R),r(lmnlnlm21=相应的能量本征值为相应的能量本征值为21S);1m(2BeEEznlnlm=+=相相应应于于47即在磁场作用下，体系能级对即在磁场作用下，体系能级对m的简并消除的简并消除0 =2eB0=体系的谱线分裂为体系的谱线分裂为3条条应能级间跃迁频率应能级间跃迁频率为不受外磁场作用时相为不受外磁场作用时相0这种现象称为简单塞曼效应这种现象称为简单塞曼效应486.4 两个角动量的耦合 经典力学中，若一个物体同时具有两个不同来源的经典力学中，若一个物体

27、同时具有两个不同来源的角动量角动量 ，则其总角动量，则其总角动量 可以表示为可以表示为 的矢量的矢量和，根据算符假设，量子力学中总角动量也应表示为和，根据算符假设，量子力学中总角动量也应表示为算符的形式，且根据经典力学量之间的关系与相应算算符的形式，且根据经典力学量之间的关系与相应算符之间关系的对应性，表示总角动量的算符应定义为符之间关系的对应性，表示总角动量的算符应定义为两个分角动量算符的矢量和，即两个分角动量算符的矢量和，即21 JJ J21 JJ21JJJ 可以证明该角动量与前面介绍的角动量具有相同的可以证明该角动量与前面介绍的角动量具有相同的对易关系对易关系JiJJ或或yzxxzxyz

28、zyzxyyxJiJJJJJiJJJJJiJJJJ49另外另外zyx 0,2，其中JJ 0, 0,222221JJJJ但是但是 0, 0,2122JJJJ 0, 0,z2z222JJJJ以下根据以下根据 的本征值，求角动量的本征值，求角动量 的本征值的本征值 J21 JJ先介绍两套表象先介绍两套表象1 1、非耦合表象、非耦合表象 前面已介绍过，描述体系状态需要一组相互对易的前面已介绍过，描述体系状态需要一组相互对易的50力学量组成力学量完全集，很显然对于两个角动量体力学量组成力学量完全集，很显然对于两个角动量体系，可以选系，可以选 构成力学量完全集，其共构成力学量完全集，其共同本征函数系用同本

29、征函数系用z22z121,2JJJJ，2211,mjmj2211211221121,)1(,mjmjjjmjmjJ由此由此2211122111,mjmjmmjmjJz2211222221122,)1(,mjmjjjmjmjJ2211222112,mjmjmmjmjJz由于两套角动量相互独立，所以由于两套角动量相互独立，所以22112211,mjmjmjmj51以这一组本征函数系为基矢所构成的表象称为非耦合表以这一组本征函数系为基矢所构成的表象称为非耦合表象，在该表象中象，在该表象中 均为对角阵均为对角阵z22z121,2JJJJ，2 2、耦合表象、耦合表象由于由于22z221,JJJJ，也相互

30、对易，所以也可以选也相互对易，所以也可以选以上的四个力学量构成描述两个角动量体系的力学量完以上的四个力学量构成描述两个角动量体系的力学量完全集，它们的共同本征函数全集，它们的共同本征函数mjjj,21mjjjjjmjjjJ,)1(,212112121在该态中在该态中mjjjjjmjjjJ,)1(,212222122mjjjjjmjjjJ,)1(,212212mjjjmmjjjJz,212152复习复习两个角动量合成两个角动量合成两个角动量合成的总角动量在量子力学中同样是用算符两个角动量合成的总角动量在量子力学中同样是用算符表示表示21JJJJiJJ其对易关系其对易关系 0,2JJ它与一般角动量

31、具有相同的性质，所以它与一般角动量具有相同的性质，所以2J的本征值为的本征值为2)1(jjzJ的本征值为的本征值为m53几个重要的对易关系式几个重要的对易关系式 0, 0,222221JJJJ 0, 0,2122JJJJ 0, 0,z2z212JJJJ两种表象两种表象z22z121,2JJJJ，描述两个角动量耦合时通常选描述两个角动量耦合时通常选作为力学量完全集，它们共同的本征函数系用作为力学量完全集，它们共同的本征函数系用2211,mjmj表示，以这一套本征函数系作为基矢量的表象表示，以这一套本征函数系作为基矢量的表象称为非耦合表象称为非耦合表象54z222,21JJJJ ，也可以选也可以选

32、作为力学量完全集，它们的共同本征函数系用作为力学量完全集，它们的共同本征函数系用mjjj,21表示，以该本征函数系为基矢的表象称为耦合表象表示，以该本征函数系为基矢的表象称为耦合表象553 3、已知两个角动量量子数已知两个角动量量子数21, jj，求总角动量量子数，求总角动量量子数jmjjj,21这种情况下，耦合表象的波函数可表示为这种情况下，耦合表象的波函数可表示为 把它按非耦合表象的本征函数系进行展开，由于在该把它按非耦合表象的本征函数系进行展开，由于在该态中，态中， 确定，非耦合表象中展开式中只能包含确定，非耦合表象中展开式中只能包含确定的态确定的态21j,j以这组函数系为基矢的表象称为

33、耦合表象以这组函数系为基矢的表象称为耦合表象 描述两个角动量体系可以用耦合表象也可以用非耦合描述两个角动量体系可以用耦合表象也可以用非耦合表象，要看研究问题的方便而定。例如，讨论自旋表象，要看研究问题的方便而定。例如，讨论自旋- -轨道轨道相互作用时通常用耦合表象比较方便相互作用时通常用耦合表象比较方便 可能值可能值分角动量量子数确定总角动量量子数的可能值分角动量量子数确定总角动量量子数的可能值由由其中其中j j，m m 待定待定21j,j562211,mjmj否则在该态中测量否则在该态中测量 就有除就有除2211,21221121,21mjmjmjjjmjmjmjjjmm由于由于zzzJJJ

34、21所以所以21mmm而而21及 mm的可能值可根据的可能值可根据21, jj求出。求出。展开式可表示为展开式可表示为克来布希克来布希- -高登系数高登系数2212,JJ由此由此对于确定的对于确定的m m，222211)1j(j,)1j(j+以外的其它值以外的其它值57222121222121,-m,-m,2mjmjmjjjmjmjmjjjm由于构成该本征矢的基矢量共有由于构成该本征矢的基矢量共有)12)(12(21jj个，个，因此，独立的因此，独立的mjjj,21个数也应该为个数也应该为)12)(12(21jj 个，个， 它们相应于它们相应于mj ,取不同的可能值，取不同的可能值，j的最大值

35、为的最大值为21maxjjj令令j的的 最小值为最小值为minj对应于每一个可能对应于每一个可能 ， 可有可有jm12j种可能的取值，种可能的取值，由此可算出由此可算出mjjj,21总态数为总态数为可以求出可以求出58) 12)(12(2) 1)(1212(21minmaxmaxminjjjjjj所以有所以有) 12)(12() 1)(1(21minmaxmaxminjjjjjj)12)(12()1(2122maxminjjjj)12)(12()1(212221minjjjjj2212)(minjjj由于由于j j只能取正整数或只能取正整数或0 0，所以，所以21minjjj59 由此，在两个

36、分角动量量子数一定的情况下，总角动量由此，在两个分角动量量子数一定的情况下，总角动量量子数可能值为量子数可能值为21jj 21jj 到到间的所有正整数值间的所有正整数值j1j2j和和之间的关系可用一三角形来表示之间的关系可用一三角形来表示1j2jj例：设电子的轨道角动量量子数例：设电子的轨道角动量量子数 ，2l和轨道总角动量的可能值及相应简并度和轨道总角动量的可能值及相应简并度求电子的自旋求电子的自旋606.6 全同粒子的特征全同粒子的特征固有性质相同的粒子称为全同粒子固有性质相同的粒子称为全同粒子 例：电子、质子、中子、超子、重子、轻子等例：电子、质子、中子、超子、重子、轻子等 固有性质指的

37、是：质量、电荷、自旋、宇称固有性质指的是：质量、电荷、自旋、宇称等等1.1.全同粒子全同粒子2 2不可区分性不可区分性 经典力学中，两个性质相同的物体运动时，仍然可经典力学中，两个性质相同的物体运动时，仍然可 以区分，因各自有确定轨道。以区分，因各自有确定轨道。61 例如：在例如：在电子双缝电子双缝衍射实验中，考察两个电子，无衍射实验中，考察两个电子，无法判别哪个电子通过哪条缝，也无法判别屏上观察到法判别哪个电子通过哪条缝，也无法判别屏上观察到的电子，通过哪条缝来的，也无法判别的电子，通过哪条缝来的，也无法判别哪个是哪个是第一第一个个电子，电子，哪个是哪个是第二第二个个电子电子微观体系（粒子）

38、，因为运动具有微观体系（粒子），因为运动具有波粒二象波粒二象性，无性，无确定轨道，在位置重迭处就不能区分是哪个粒子。确定轨道，在位置重迭处就不能区分是哪个粒子。3 3全同性原理全同性原理由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成的由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成的系统中，任意两个全同粒子相互交换（位置等）不会系统中，任意两个全同粒子相互交换（位置等）不会引起系统状态的改变。引起系统状态的改变。2121)()(tqqqqtqqqNijji全同性原理全同性原理是量子力学中的基本原理之一，也称基本假是量子力学中的基本原理之一，也称基本假设设之一之一。624 4全同粒子体系波函数的对称性质全

39、同粒子体系波函数的对称性质设体系由设体系由N N个全同粒子组成个全同粒子组成以以 表示第表示第i i个粒子的坐标和自旋个粒子的坐标和自旋iq),(iiisrq )t ,q(Ui表示第表示第i i个粒子在外场中的能量个粒子在外场中的能量),(jiqqW表示第表示第i i个粒子和第个粒子和第i i个粒子的相互作用能个粒子的相互作用能则体系的哈米顿算符：则体系的哈米顿算符：NjijiNiiiNjiqqWtqUtqqqqqH),(),(2),(1221则两粒子互换，哈米顿则两粒子互换，哈米顿算符算符不不变变6312,12( , , , )( , , , , )ijNjiNH q qqqq tH q q

40、qqq t此时薛定谔方程可表示为：此时薛定谔方程可表示为：111( , )( , ) ( , )ijNijNijNiqqqqttH qqqqtqqqqt11( , , ) ( , )ijNjiNH qqqq tqqqq t交换交换 与与iqjq111(, )(, ) (, )jiNjiNjiNiqqqqttH qqqqtqqqqt64 这表示如果这表示如果 是方程的解，是方程的解，则则 也是方程的解。也是方程的解。1,(, )ijNqqqqt1,(, )jiNqqqqt1,1,( , , , , ,)( , , , , ,)jiNijNqqqqtqqqqt 根据全同性原理，它们描述的是同一状态

41、，则它根据全同性原理，它们描述的是同一状态，则它们们间只可能间只可能相差一常数因子，以相差一常数因子，以 表示表示. .即有即有 再交换再交换 与与iqjq)()(ijjiqqqq)(2jiqq165 描述全同粒子系统状态的波函数只能是交换对称或描述全同粒子系统状态的波函数只能是交换对称或者反对称的。者反对称的。当 时 11,1,( , ,)( , ,)jiNijNqqqq tqqqq t即波函数为即波函数为交换反对称函数交换反对称函数当 时 11,1,( , ,)( , ,)jiNijNqqqqtqqqqt即波函数为即波函数为交换对称函数交换对称函数665 5波函数的对称性质不随时间而变化波

42、函数的对称性质不随时间而变化 设设 时刻波函数对称：时刻波函数对称：)()(ttst它满足薛定格方程：它满足薛定格方程： )()()(ttHttiss由于由于 对称对称, 也对称也对称)()(ttHs)(tts在在 时刻，波函数为时刻，波函数为 它它 是两个对称函数之和，故也是对称的。是两个对称函数之和，故也是对称的。dtt dttttdttss)()()(同样可证明反对称函数在以后任何时刻都是反对称的同样可证明反对称函数在以后任何时刻都是反对称的。676、费米子和、费米子和玻玻色子色子费米子：费米子：自旋为自旋为 奇数倍的粒子称为费米子。如奇数倍的粒子称为费米子。如电子、质子、中子等粒子，自

43、旋均为电子、质子、中子等粒子，自旋均为 ，它们均，它们均为费米子。为费米子。 22玻色子：自旋为玻色子：自旋为 的整数倍的粒子称为玻色子。如介的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、子、 光子的自旋分别为光子的自旋分别为O O或或 ，它们均为玻色子。，它们均为玻色子。 玻色子服从玻色玻色子服从玻色爱因斯坦统计，其波函数是对称爱因斯坦统计，其波函数是对称的。的。 费米子系统服从费米费米子系统服从费米狄拉克统计，其波函数是反狄拉克统计，其波函数是反对称的对称的。 结论：结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是对描写全同粒子系统状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。称的或反对称的，

44、它们的对称性不随时间变化。686.7 6.7 全同粒子体系的波函数，泡利原全同粒子体系的波函数，泡利原理理一、两粒子体系一、两粒子体系在不考虑粒子间相互作用时，体系的哈米顿算符在不考虑粒子间相互作用时，体系的哈米顿算符)()(2010qHqHH 以以 和和 表示表示 的第的第i i个本征值和本征函数，则个本征值和本征函数，则单粒子的本征值方程为：单粒子的本征值方程为：ii0H01110222() ()()()()()iiijjjHqqqHqqq 体系的哈米顿算符的本征值方程为：体系的哈米顿算符的本征值方程为： ),(),(2121qqEqqH69)()(),(2121qqqqji本征波函数本征

45、波函数 （6.7-1） 本征能量本征能量 ijE若两粒子交换，则若两粒子交换，则2121(,)()()ijqqqq（6.7-2） 能量值仍为能量值仍为 是简并的，这种简并称为交换简并。是简并的，这种简并称为交换简并。 ijE如果两粒子处于同一状态，如果两粒子处于同一状态， ji则（则（6.7-16.7-1）和（）和（6.7-26.7-2）给出同一个对称波函数）给出同一个对称波函数 122112( ,)(,)( ) ()iiq qq qqq如果两粒子处于不同状态，如果两粒子处于不同状态，ji 则（则（6.7-16.7-1）和（）和（6.7-26.7-2）式的函数既不对称，也）式的函数既不对称，也

46、不反对称，故不符合全同粒子体系波函数的要求。不反对称，故不符合全同粒子体系波函数的要求。70 这表明（这表明（6.7-16.7-1）和（）和（6.7-26.7-2）两式所表示的函数，）两式所表示的函数，只能部分满足全同粒子体系对波函数的要求，不能只能部分满足全同粒子体系对波函数的要求，不能完全满足，故不能作为全同粒子体系的波函数。完全满足，故不能作为全同粒子体系的波函数。 但由（但由（6.7-16.7-1）和（）和（6.7-26.7-2）两式的和、差可以）两式的和、差可以构成对称函数和反对称函数。构成对称函数和反对称函数。sA玻色系统：玻色系统： 1212211( , )( , )( , )2

47、sq qq qq q费米系统：费米系统： 1212211( , )( , )( , )2Aq qq qq q则以上两式既是原方程的解，又满足交换对称或反则以上两式既是原方程的解，又满足交换对称或反对称的条件，因此可以作为两个无相互作用的全同对称的条件，因此可以作为两个无相互作用的全同粒子体系的波函数。粒子体系的波函数。 71泡 利 原 理泡 利 原 理对玻色子系统，波函数取形式，当两个对玻色子系统，波函数取形式，当两个玻色子处于同一个状态时玻色子处于同一个状态时 ，这时，这时 ，故几率密度，所以允许。，故几率密度，所以允许。 12(,)sq q1221( ,)(,)ssq qq q 12( ,

48、)0sq q0),(221qqs对于费米系统，波函数取形式，当两费对于费米系统，波函数取形式，当两费米子处于同一个状态时，故使几率密度米子处于同一个状态时，故使几率密度，所以不允许。，所以不允许。),(21qqA0),(21qqA212( ,)0Aq q泡利不相容原理：泡利不相容原理：费米系统中，两个费米子不能处费米系统中，两个费米子不能处于同一个状态。于同一个状态。正是这个原理，使核和原子等的结构有序。正是这个原理，使核和原子等的结构有序。72以上是两个粒子无相互作用是的波函数，若两个粒以上是两个粒子无相互作用是的波函数，若两个粒子之间存在相互作用时，本征方程为子之间存在相互作用时，本征方程

49、为 )q,q(E)q,q(H2121=由于交换简并在这种情况下依然成立，所以波函数由于交换简并在这种情况下依然成立，所以波函数仍可以表示为：仍可以表示为：1212211( , )( , )( , )2sq qq qq q1212211( , )( , )( , )2Aq qq qq q73二、二、N N粒子体系粒子体系将两粒子体系推广到将两粒子体系推广到N N粒子体系粒子体系单粒子的本征值方程：单粒子的本征值方程：0()()()nknkknHqqq 体系的薛定格方程：体系的薛定格方程：),(),()(212110NNNinqqqEqqqqH本征函数本征函数 1212( ,)( ) ( )()N

50、ijkNq qqqqq（6.7-4） NnnNqHqHqHqHH1002010)()()()(（6.7-3） 本征能量本征能量12NE74三、费米子体系波函数三、费米子体系波函数可见，在不考虑粒子间相互作用时，全同粒子可见，在不考虑粒子间相互作用时，全同粒子体系的能量等于各单粒子能量之和，哈米顿算符的体系的能量等于各单粒子能量之和，哈米顿算符的本征函数是各单粒子的本征函数的积。因此，解多本征函数是各单粒子的本征函数的积。因此，解多粒子体系的问题，归结为解单粒子的薛定格方程。粒子体系的问题，归结为解单粒子的薛定格方程。下面分别讨论费米系统和玻色系统的波函数形式。下面分别讨论费米系统和玻色系统的波

51、函数形式。 由由N N个费米子组成的体系的个费米子组成的体系的本征本征函数是反对称函数是反对称的的，依照（，依照（6.7-36.7-3）式）式),(21NAqqq)()()()()()()()()(!1212121NkkkNjjjNiiiqqqqqqqqqN称为称为斯莱斯莱特行特行列式列式 注意：每一行所以粒子态相同注意：每一行所以粒子态相同75 是归一化的，是归一化的， 是是 的的归一化因子。将斯莱特归一化因子。将斯莱特行列式展开，共有行列式展开，共有 项如（项如（6.7-36.7-3）式的形式，因而）式的形式，因而, , 是是体系薛定格方程体系薛定格方程 的的本征函数本征函数解。解。)(l

52、iq!1N!NAAAEHA 交换任意两个粒子，在斯莱特行列式中就表现出两列相互交交换任意两个粒子，在斯莱特行列式中就表现出两列相互交换，这就使行列式改变符号。所以换，这就使行列式改变符号。所以 是反对称的。是反对称的。A 如果如果N N个粒子中，有两个处于同一个状态，则个粒子中，有两个处于同一个状态，则斯莱特斯莱特行列式行列式中有两行完全相同，这使行列式等于零，从而使中有两行完全相同，这使行列式等于零，从而使 ，几，几率率 。要使。要使 ，不能有两粒子处在同一单粒子态。，不能有两粒子处在同一单粒子态。这也就是泡利的不相容原理。这也就是泡利的不相容原理。0A02A02A76例 一个体系由三个费米

53、子组成，粒子间无相互作一个体系由三个费米子组成，粒子间无相互作用，它们分别可能处于单粒态用，它们分别可能处于单粒态 、 、 ，求系统波，求系统波函数。函数。123Solve)()()()()()()()()(! 31),(332313122212312111321qqqqqqqqqqqqA1122331223311321321 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3!qqqqqqqqq122133112332132231( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )qqqqqqqqq77四、玻色子体系的波函数四、玻色子体系的波函数 N N个玻色

54、子所组成的体系的波函数应是对称的。个玻色子所组成的体系的波函数应是对称的。它也由（它也由（6.7-36.7-3）式进行构成。所不同的是单粒）式进行构成。所不同的是单粒子态子态 中，能容纳的玻色子数不受限制，可大中，能容纳的玻色子数不受限制，可大于于1 1。波函数形式可表示为：。波函数形式可表示为： iPNkjiNsqqqPCqqq)()()(),(2121式中式中P P表示表示N N个粒子在波函数中的某一种排列，个粒子在波函数中的某一种排列， 表表示对所有可能的排列求和，而示对所有可能的排列求和，而C C则为归一化常数。则为归一化常数。P78五、五、全同粒子体系的全同粒子体系的总函数表示总函数表示 在不考虑粒子自旋和轨道相互作用的情况下，体在不考虑粒子自旋和轨道相互作用的情况下，体系的波函数可写成坐标函数和自旋函数的乘积。系的波函数可写成坐标函数和自旋函数的乘积。),(),(),(212121NNNsssrrrqqq 若粒子是玻色子，则若粒子是玻色子，则 为对称波函数，这时为