物理竞赛光学1

1、Jianping Ding1一、光在非均匀介质中的传播三、光的干涉二、几何光学成像物理夏令营光学四、光的偏振2010年8月Jianping Ding2一、光在非均匀介质中的传播 光线在非均匀介质中的传播可以看成是连续折射的过程，逐点运用折射定律可以追踪光线的轨迹。n半径光在光纤中的传输Jianping Ding3例1： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射，若平板折射率按 变化，q 为常数，并在 A 点以 a 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板厚度。qxn410AaOXYd解： 折射定律决定光线在每一点的方向，从而确定光线的轨迹； 介质折射率连续变化，可将平板沿 X 方向切成

2、一系列薄片，对每层薄片应用折射定律。 折射定律的级联形式：AAxxnnnnsinsinsin110qxnnx410 x(x,y)Jianping Ding4a220sinnnAAaOXYdAAxxnnnnsinsinsin110 xqxnnx410P :(x, y) P点光线的方向由x 决定:qxnnxx411sin0 P点光线的切线斜率 kp :qxkxp41tan 曲线 y = f(x)与斜率 kp：dxdykp A点条件：asin90sinAoAn0sinnnAA和qxy 2 光线轨迹方程： 结论：qnxA2024sinaqnydA02sina和Jianping Ding5例2、光从空气

3、折射进透明介质，入射点折射率为n0，入射角近似 p/2，介质折射率与介质高度 y 有关，当折射光线的轨迹是抛物线 y=ax2 时，求折射率与高度 y 的关系。解：xyqaqactgtgdxdy光线切向斜率：1sin122qax41nay折射定律-001sinnq空气-介质界面：00sinsinnnqq介质内：Jianping Ding6题3、飞机场跑道上空空气的折射率分布随地面高度y的变化规律为: , 其中a a = 1.0 x10-6 m-1，某人站在跑道上观看远处的跑道，他的眼睛离地面的高度为1.69m。求该人能看到的跑道长度。ynna10m36103 . 121069. 12xyqa解：

4、qsin0nn 折射定律：1sin1 2qqctgdxdyayx2yaJianping Ding73) 当qi 0 和 = qiM时，确定光由 O点入射到达与Ox轴的第一个交点的时间。 例4、圆柱型光纤的纤芯半径为a，折射率介于n1和n2之间（1n2n1）并按照 渐变，n2为距轴线a处的折射率， 为常数，包裹层折射率也为n2 。光纤置于空气中，取Ox轴沿光纤轴线方向，O为光纤端点的中心。假设 一束单色光从O点以入射角i 进入光纤，入射面为xOy : 2211ynynn1）求出光线在光纤里的轨迹方程 y=f(x)；2）求出光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角iM；Oxqia0yn2n2n0 221

5、1ynynna4) qi qiM时光信号沿光纤的传输速度（定义为第一个交点x坐标与的比值）（亚洲奥赛04年题）Jianping Ding8Oxqiaa0yn2n2n0解：01cossinaqni入射点：x=0, y=0, 22101sin1sinnnyaaqP(x, y)aasinsin01xnn折射级联性质： 1sin102222ayy2211ynn a2211cosnyq222011sinyadyydx 切线斜率21tan1cosqqJianping Ding9Oxa0yn2n2n0P(x, y) 1sin102222ayy一阶微分方程022sin22ayyyy 两边对x再求导一次 00a

6、ctgyx入射点初始条件：x=0, y=0aqi0sin022yya00sinsinaxAy 2211ynynn000cosAaJianping Ding10Oxa0yn2n2n0P(x, y)y=a时 n=n2另一个边界条件aqi00cossinsinyxaa 2211ynynn 2211ynynn则由12221nann01cossinaqni此外已知代入轨迹方程Jianping Ding11axnnnnnayiiqq22122212221sinsinsinOxqia0yn2n2n0P(x, y)1）光线在光纤里的轨迹方程a2) 光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角iM；annai2221si

7、nqay 2221sinnniMqJianping Ding123) 在入射角qi 0 和 = qiM条件下，确定光由 O点入射传播到与Ox轴的第一个交点的时间Oxyn2n2n0aaxnnnnnayiiqq22122212221sinsinsin Oz 轴的第一个交点处：pqaxnnni12212221sinx122212211sinnnnaxqp 第一个交点坐标n1Jianping Ding13Oxyax1dsdxdy22212211sinnnnaxqpdt通过一线段元 ds 时间为dxydydxds2221线段元dxycndscnxxxx200111 2211ynynnaxnnnnnayi

8、iqq22122212221sinsinsindsvndscJianping Ding14abxbxbadxarcsin1222Oxyax1dsdxdy22212211sinnnnaxqp 2211ynynnaxnnnnnayiiqq22122212221sinsinsindxycndscnxxxx2001112122221212sin1nnncaniqp32222222222arcsin2babxabxbaxxbadxx利用积分公式Jianping Ding154) qi qiM时光信号沿光纤的传输速度（= x1/）Oxyax1222122nncnvM2122221212sin1nnncan

9、iqp22212211sinnnnaxqp2221sinnniMqqin2n1Jianping Ding16-ssrnnPPOC二、几何光学成像单球面折射成像公式阿贝不变式：nnnnsrsrrnnsnsn或nnss平面面折射成像：Jianping Ding17rnnOC-fFfF 焦距公式 -物方焦点坐标rnnnf-像方焦点坐标rnnnf 高斯成像公式: 1sfsfnnffrnnsnsnJianping Ding18横向放大率 MnnPPOP1P1NFF-x-fxfy-yyy定义：xffx和几何关系+近轴条件Jianping Ding19-ssnnPPOFF-ffiisinsininin 折射

10、定律：y-y 近轴条件：syii tansintansinsyii和synsynsnnsyyfxxf-xxJianping Ding20rnnsnsn反射成像公式：rss211r平面镜：s=-s 单个球面的反射成像O-ssnn1nsn s横向放大率Jianping Ding21休息10分钟！两个PPT文件的下载网址：（1）http:/文件名：镇江夏令营101.ppt（2） http:/文件名：镇江夏令营102.pptJianping Ding22例5. 推导薄透镜(的焦距公式-透镜制造者公式 2111) 1(1rrnfnOC2C1I1I2-r2r1证明：11111rnssnI 面：22211r

11、nsnsII 面：I1面: s1, s1, r1I2面: s2, s2, r2s = s1, s = s2, s2 = s1薄透镜2111111rrnssJianping Ding23121111(1)nfsrrnOC2C1I1I2-r2r12111111rrnss已得s 时，-透镜制造者公式透镜的成像公式：111ssfJianping Ding24例6、图示一细长圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线）另一个端面为球面，现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射，当光从平端面射入棒内时，光线从另一端射出后与轴线的交点到球面的距离为a；光从球面端射入棒内时，光线在棒内与轴线的交点

12、到球面的距离为b，试近似求出玻璃的折射率n。（2008年全国预赛题）解：abn12Jianping Ding25解：abn12球面半径 R单球面折射的焦点坐标公式-像方：nRa1物方：1)(nRnbabn rnnnfrnnnfJianping Ding26例7、有一半径R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的轴线上沿轴线方向放置一细条形发光体A1A2，长度为l=0.020m。若人眼在轴附近对着平面部分向半球望去，可看到发光体的两个不很亮的像（更暗的像不必考虑），当发光体在轴上前后移动时，这两个像也在轴上移动。如调整发光体的位置，使得两个像恰好头尾相接连在一起，则发光体的近端A

13、2距球心O的距离为a2=0.020m，求此玻璃球的折射率 n（计算时只考虑近轴光线）。(全国竞赛题）OA1A2a2解： 分析 两个像，一为平面反射的像； 另一个：经过平面折射 球面反射 平面折射nRJianping Ding27OA1A2a2 求光轴上一点A（在O左方a处）经过三次（折射、反射、折射）所成的像Ru 注意：半球的 r = -Rnrnnsnsn计算可得最后的像A在O右边sA处：12/Aasna R显然 sA sA2 A1A2A”2A”1 A 经平面反射的像 A” 在O右边 a 处，两条形像头尾相接， A1 与A2” 重合l221.62lRnaalJianping Ding28例8、

14、两个光焦度（光焦度是透镜焦距的倒数）分别为D1和D2的薄透镜同轴放置，相距 L=25cm。这个系统能使位于主光轴上接近于D1的物成正立的实像，放大倍数 =1如果两个透镜的位置交换，系统仍然形成正立的实像，这时放大倍数为 ”=4，问：（1）两个透镜的类型？（2）两个透镜的光焦度的差12?DDD（亚洲奥赛题，2006年）解：（1）分析（i）两个透镜皆为凹透镜时 物经过透镜1后成一正立虚像 再经过透镜2后仍成一正立虚像 即经过两个凹透镜后，最终成正立虚像，与题目不符。Jianping Ding29（ii）若一为凸透镜、一为凹透镜-u 如凸透镜在前，凹透镜在后：u 如凹透镜在前，凸透镜在后：正立虚像倒

15、立实像物经过再经过正立虚像倒立虚像、倒立实像、正立虚像不符倒立实像正立虚像物经过不符或正立虚像Jianping Ding30（iii）两个透镜皆为凹透镜:若物经透镜1成实像，并且对透镜2仍是成实像的情形正立实像 两次倒立实像的结果可行的组合Jianping Ding31nssn ss薄透镜放大率111ssf薄透镜成像公式（2）两个透镜的光焦度的差12?DDD解：L=25cm12透镜组放大率透镜1-1 1111s fssf(略去焦距中的撇号）1111fsf和透镜2 -2222fsf22222s fssf和Jianping Ding32（2）L=25cm1 1111s fssf1111fsf222

16、2fsf22222s fssf已知条件 -21()ssL 1 111s fLsf1212112121f fsffLf fLf交换 f1和 f2 ，即得12112122f fsffLf fLfJianping Ding3312112121f fsffLf fLf12112122f fsffLf fLfL=25cm已得到121111Lff12L DD14将代入上式，得1123DDmJianping Ding34例9、有两个焦距分别为f1和f2的凸透镜。将这两个透镜作适当配置，可使一垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、倒立的像（如图所示），求解两个透镜的配置方案。L1L2物像d解： 对透镜2而言，所

17、成的像为虚像，则透镜1所成的中间像一定在透镜2的物方焦点内侧并且是倒立的。分析 透镜1的成像过程必定是成实像的过程Jianping Ding35L1L2物像d解：111111 ssf222111 ssf21ssd 透镜1的像 透镜2的物：最终的像与最初的物位置相同：21 ssd 1111fsf2222fsf由12212112ffssff已知条件1 Jianping Ding36得：111111 ssf112111sdsdf1211121ffsdsff L1L2物像d求解得122df f121122 ffsff所以要求12ff并且题目要求 s10Jianping Ding37下午见！Jianping Ding38l 物像的虚实 实物实物(real object) 入射入射到光学系统的光束为发散发散 (divergent)的同心光束；成像光学系统(Ima