Chapter 1线性规划及其单纯形法

1、运筹学教程2022-3-251运筹学教程2022-3-252线性规划是运筹学的重要分支，也是运筹学中最基本的内线性规划是运筹学的重要分支，也是运筹学中最基本的内容。早在容。早在19391939年，前苏联著名数学家康特洛维奇研究了运输年，前苏联著名数学家康特洛维奇研究了运输和下料等问题，编著了和下料等问题，编著了生产组织和计划中的数学方法生产组织和计划中的数学方法一一书，为线性规划的研究奠定了基础。书，为线性规划的研究奠定了基础。19471947年年Dantgig提出了一般线性规划的算法提出了一般线性规划的算法单纯形法。单纯形法。尔后尔后KuhnKuhn提出了线性规划的对偶理论，使线性规划的理论

2、和提出了线性规划的对偶理论，使线性规划的理论和方法日趋完善成熟。方法日趋完善成熟。随着电子计算机的产生与发展，线性规划在工业、农业、随着电子计算机的产生与发展，线性规划在工业、农业、商业、交通运输业、建筑业、军事等行业的计划和管理及决商业、交通运输业、建筑业、军事等行业的计划和管理及决策分析中得到了广泛与深入的应用，取得了良好的效果。目策分析中得到了广泛与深入的应用，取得了良好的效果。目前，前，线性规划正以它具有理论成熟，计算简单精确，适应性线性规划正以它具有理论成熟，计算简单精确，适应性强，应用面广的特点引起了工程技术人员、管理人员和经济强，应用面广的特点引起了工程技术人员、管理人员和经济学

3、者的重视。学者的重视。它已成为重要的优化技术和手段。它已成为重要的优化技术和手段。 运筹学教程2022-3-253一、线性规划问题的数学模型一、线性规划问题的数学模型在现有各项资源条件的限制下，如何确定方案，在现有各项资源条件的限制下，如何确定方案，使预期目标达到最优，这就是规划方法。使预期目标达到最优，这就是规划方法。例例1 1 美佳公司计划制造美佳公司计划制造、两种家电产品。已两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备知各制造一件时分别占用的设备A A、B B的台时、调试时的台时、调试时间、调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出间、调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获

4、利情况，如表一件时的获利情况，如表1-11-1所示。问该公司应制造所示。问该公司应制造两种家电产品各多少件，使获取的利润为最大？两种家电产品各多少件，使获取的利润为最大？返回第一章目录运筹学教程2022-3-254用数学语言来描述这个问题。假设美佳公司每天制造、两种家电产品的数量分别是x1和x2件。max约束条件目标函数Z2x1x25x2156x12x224x1x25x1，x20这就是例这就是例1的数学模型的数学模型运筹学教程2022-3-255【例【例2 2】 某企业计划生产某企业计划生产I I、两种产品。这两两种产品。这两种产品都要分别在种产品都要分别在A A、B B、C C、D D四种不

5、同设备上加工。四种不同设备上加工。按工艺资料规定，生产每件产品按工艺资料规定，生产每件产品I I需占用各设备分别需占用各设备分别为为2 2、1 1、4 4、0 0小时，生产每件产品小时，生产每件产品B B，需占用各设备，需占用各设备分别为分别为2 2、2 2、0 0、4 4小时。已知设备计划期内用于生小时。已知设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为产这两种产品的能力分别为1212、8 8、1616、1212小时，又小时，又知每生产一件产品知每生产一件产品I I企业能获得企业能获得2 2元利润、每生产一元利润、每生产一件产品件产品企业能获得企业能获得3 3元利润，问该企业应安排生产元利润，问

6、该企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大？两种产品各多少件，使总的利润收入为最大？运筹学教程2022-3-256 产品产品资源资源产品产品产品产品生产能力（生产能力（h）设备设备A（h）2212设备设备B（h）128设备设备C（h）4016设备设备D（h）0412利润（元利润（元/件）件）23假设：假设： 计划期内生产计划期内生产 产品产品x1件，件， 产品产品x2件。件。0,12401604821222.32max212121212121xxxxxxxxxxstxxz运筹学教程2022-3-257捷运公司拟在下一年度的捷运公司拟在下一年度的1 14 4月份的月份的4 4个月内租

7、个月内租用仓库堆放物资。已知各月份所需仓库面积数。仓用仓库堆放物资。已知各月份所需仓库面积数。仓库租借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，库租借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字如表具体数字如表1-21-2所示。租借仓库的合同每月初都可所示。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积和期限。因此，办理，每份合同具体规定租用面积和期限。因此，该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借合同。该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借合同。每次办理可签一份，也可签若干份租用面积和租借每次办理可签一份，也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同，试确定该公司签定租借合同的最期限不同的合

8、同，试确定该公司签定租借合同的最优决策，目的是使所付租借费用最小。优决策，目的是使所付租借费用最小。运筹学教程2022-3-258假设用假设用xij表示捷运公司第表示捷运公司第i（i1，2，4）个月）个月月初签订租借期为月初签订租借期为j（j1，2，4）个月的仓库面积）个月的仓库面积数数(单位为单位为100m2）。则）。则表 1-2 例 2 的基本数据 （page 9-10）月份1234所需仓库面积（100m2）15102012合同租借期限1 个月2 个月3 个月4 个月合同期内的租费（元/100m2）2800450060007300min z2800(x11+x21+x31+x41)+450

9、0(x12+x22+x32)+6000(x13+x23)+7300 x14x11+x12+x13+x1415x12+x13+x14+x21+x22+x23 10 x13+x14+x22+x23+x31+x32 20 x14+x23+x32+x41 12xij 0 (i1，2，4；j1，2，4）租借期为一个月的仓库面积租借期为一个月的仓库面积租借期为二个月的仓库面积租借期为二个月的仓库面积租借期为三个月的仓库面积租借期为三个月的仓库面积租借期为四个月的仓库面积租借期为四个月的仓库面积一月份拥有的租借面积一月份拥有的租借面积二月份拥有的租借面积二月份拥有的租借面积三月份拥有的租借面积三月份拥有的租

10、借面积四月份拥有的租借面积四月份拥有的租借面积一月份仓库需求面积约束一月份仓库需求面积约束二月份仓库需求面积约束二月份仓库需求面积约束三月份仓库需求面积约束三月份仓库需求面积约束四月份仓库需求面积约束四月份仓库需求面积约束非负约束非负约束运筹学教程2022-3-259max Z2x1x25x2156x12x224x1x25x1，x20目标函数：约束条件运筹学教程2022-3-2510模型中，cj称为价值系数。bi是资源限制量。aij称为技术系数或工艺系数。max(或或min)zc1x1+c2x2+cnxna11x1+a12x2+a1nxn（或，（或，）b1a21x1+a22x2+a2nxn（或

11、，（或，）b2am1x1+am2x2+amnxn（或，（或，）bmx1,x2,xn0), 2 , 1(0), 2 , 1(),(min)max(11njxmibxaxczjinjjijnjjj或或简写为：简写为：0),(min)max(1jnjjjxbxPCXz或或向量形式：向量形式：0(min)max(XbAXCXz），或或矩阵形式：矩阵形式：),(21ncccCmjjjjaaaP21mbbbb21mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211运筹学教程2022-3-2511若得出的线性规划模型不是标准形式，应通过下列方法将其化为标准形式：1.目标函数为求极小值的情况，即), 2

12、, 1(0), 2 , 1(max11njxmibxaxczjinjjijnjjj本教材规定，线性规划模型的标准形式为：本教材规定，线性规划模型的标准形式为：其特点是：(1)目标函数求极大；(2)约束条件取等式；(3)变量非负；(4)约束条件右边常数为正值。njjjxcz1min化为标准形式的方法是，令zz，则njjjxczz1)min(max运筹学教程2022-3-25123.3.约束条件为不等式的情况约束条件为不等式的情况。当约束条件为“”时，在约束符号的左边加上一个松弛变量，将“”变为“”；如6x1+2x224,化为标准形式为6x1+2x2x324，x30。当约束条件为“”时，在约束符号

13、的左边减去一个剩余变量，将“”变为“”；如10 x1+12x218,化为标准形式为10 x1+12x2x318， x30。4.4.对变量无约束的情况对变量无约束的情况。如x在（，）之间变化，即x的取值可正可负时，令xxx代入线性规划模型即可，其中x0， x0。5.5.对于对于x 00的情况的情况，令xx，显然x0。2.2.若约束条件右边常数项若约束条件右边常数项bim），），其秩为其秩为m，B是矩阵是矩阵A中的一个中的一个mm阶的满秩子矩阵，称阶的满秩子矩阵，称B是线是线性规划问题的一个基性规划问题的一个基。mnmmnnaaaaaaaaaA21222211211),(2121222211121

14、1mmmmmmmPPPaaaaaaaaaB：图解法返回第一章目录运筹学教程2022-3-2518基B中的每一个列向量Pj(j=1，2，m）称为，与基向量Pj对应的变量xj称为；除基变量以外的变量称为。：在约束方程中，将非基变量移到等式右边：nmnnnmmmmmmmmmmmmmnmmmmxaaaxaaaxaaabbbxaaaxaaaxaaa212222211112112121222212112111P1P2Pm令非基变量xm+1xm+2xn0，得mmmnmmmmbbbxaaaxaaaxaaa2121222212112111运筹学教程2022-3-2519基可行解基可行解：满足非负约束的解称为基可

15、行解。：满足非负约束的解称为基可行解。可行基可行基：对应于基可行解的基称为可行基。：对应于基可行解的基称为可行基。例：例：找出下述线性规划问题的全部基解，指出其中的基可找出下述线性规划问题的全部基解，指出其中的基可行解，并确定最优解行解，并确定最优解。max z2x1+3x2+x3x1+x35x1+2x2+x410 x2+x54x150 x1x2x3x4x5z是否基可行解0051045045201750054100550-120100-5041552.5001.517.5540-30222430019*：用穷举法找出该线性规划问题的全部基解。打者为基可行解。最优解为：x12，x24，x33，x

16、40，x50与最优解对应的目标函数值为z19运筹学教程2022-3-2520凸集凸集设设C C为为n n维欧氏空间的一个点集。若对于维欧氏空间的一个点集。若对于C C中任意两点中任意两点X X1 1，X X2 2满足满足X X1 1 + (1 - )X + (1 - )X2 2C (0C (01)1)则称则称C C为凸集为凸集。也就是说，如果也就是说，如果X X1 1CC，X X2 2CC，则线段则线段X X1 1X X2 2上的上的所有点所有点X X也属于也属于C C。即即：X XXX1 1 + (1 - )X + (1 - )X2 2C (0C (01)1)称称C C为凸集为凸集。从直观上

17、看，凸集没有凹入部分，其内部没有孔洞。从直观上看，凸集没有凹入部分，其内部没有孔洞。凸集凸集凸集凸集凸集凸集运筹学教程2022-3-2521不是凸集不是凸集不是凸集不是凸集运筹学教程2022-3-2522XxxxnX单纯形法迭代原理运筹学教程2022-3-2523Pjxjbj=1nPjx1jbj=1nPjx2jbj=1n；（1-9）X X1 1，X X2 2连线上任意一点可表示为：连线上任意一点可表示为：Xa aX1（1a a）X2 （00a1a1) ) (1-10)(1-10)将（将（1-91-9）代入（）代入（1-101-10）得：）得：bbbbxPxPxPxxPxPnjnjnjjjjjj

18、jnjnjjjjjjaaaaaa1112211121)1 (所以所以 X X1 1CC，X X2 2CC。由于集合。由于集合中任意两点连线上的点均在集中任意两点连线上的点均在集合内，所以合内，所以C C为凸集。为凸集。运筹学教程2022-3-2524返回运筹学教程2022-3-2525定理定理2 2：线性规划的基本可行解对应于其可线性规划的基本可行解对应于其可行域的顶点。行域的顶点。证证: :本定理需要证明本定理需要证明:X:X是可行域顶点是可行域顶点X X是基可行解。是基可行解。用反证法证明：用反证法证明：X X不是可行域的顶点不是可行域的顶点X X不是基可不是基可行解。行解。（1 1）X

19、X不是基可行解不是基可行解X X不是可行域的顶点。不是可行域的顶点。假设假设X X的前的前m m个分量为正，有个分量为正，有)11. 1 (1bxPnjjj运筹学教程2022-3-2526)2()1()2()1(2121,XXXCXCX，又引理运筹学教程2022-3-2527rjjjnjjjbxPxP11因有）（故有14. 111njrjjjjjbyPyP）（ 15. 111njrjjjjjbzPzP0)(1rjjjjPzy运筹学教程2022-3-2528是目标函数的最大值。njjjxcCXZ10)0(运筹学教程2022-3-2529：先找出一个基可行解，判断它是否为最优解，如为否，则转换到相

20、邻的基可行解，并使目标函数值不断增大，一直到求得最优解或判断问题无解为止。)17. 1 (), 2 , 1(0)16. 1 (max11njxbxPxczjnjjjnjjj在约束条件（1.16）的系数矩阵中，总可以找到一个单位矩阵：运筹学教程2022-3-2530基阵P1,P2,Pm称为，与其对应的变量x1,x2,xm称为，模型中的其它变量称为。在约束条件中令所有的非基变量等于零，即可得到一个解：X(x1,x2,xm,xm+1,xn)T（b1,b2, ,bm,0, ,0)T因b0，所以X满足非负约束，是一个基可行解。定义：定义：两个基可行解称为相邻的，如果它们之间变换且仅变换一个基变量。18.

21、 1100010001,21mPPP运筹学教程2022-3-2531设初始基可行解中的前m个为基变量为：X(0)(x10,x20,xm0,0,，0)T将其代入约束条件（1.16）有19. 110bxPmiiimmnmjmmnjmnjmnjmmbaaabaaabaaabPPPPPP1,2221, 21111, 1121100010001miiijjPaP120101miiijjPaP或运筹学教程2022-3-2532miiijjPaP120. 101miiijjPaP21. 101miiijjPaP22.110bPPaxjmiiijibxPnjjj124. 10min00ljlijijiiaxa

22、ax运筹学教程2022-3-2533由式（1.24）知因alj0，故由矩阵元素组成的行列式不为零，P1,P2,Pl-1,Pl,Pl+1,Pm是一个基。在上述增广矩阵中作初等变换，将第l行乘上（1/alj),再分别乘以（-aij)(i=1,2,l-1,l+1,m)加到各行去，则增广矩阵左半部分变成单位矩阵。)(,0)(,00liliaxiji所以，X(1)是一个可行解。与变量xl1,x1l-1,x1l+1,xm,xj对应的向量经重新排列后得mmjljllljljljjmlllbababababababPPPPPP0000001000000000010000010000011, 11, 12211

23、1121又因又因bl/alj ，所以所以 b=(b1- a1j,bl-1- al-1,j,bl+1- al+1,j,bm- amj)T 由此由此X(1)是同是同X(0)相邻的基可行解，且由基向量组成的矩阵仍为单相邻的基可行解，且由基向量组成的矩阵仍为单位矩阵位矩阵。运筹学教程2022-3-2534将基本可行解X(0)和X(1)分别代入目标函数得25. 11)0(11010)1(10)0(miijijmiijijmiiijmiijiimiiiacczaccxccaxczxcz式中，因为0,所以只要01miijijacc就有。或简写为通常将jjjmiijijzcacc)(1运筹学教程2022-3-

24、2535（1）当所有j0时，当前基可行解是线性规划问题的最优解；（2）当所有j0，若对某个非基变量xj有cjzj0,则该线性规划问题有无穷多个最优解；若对所有非基变量有j0，线性规划问题有唯一最优解。（3） 若存在j0，又Pj0，则表明线性规划问题有无界解。miijijjjjacczc1检验数：运筹学教程2022-3-25361-4 1-4 单纯形法计算步骤单纯形法计算步骤第一步：求初始基可行解，列出初始单纯形表。第一步：求初始基可行解，列出初始单纯形表。cjc1 cmcjcnCB基bx1 xmxjxnc1x1b110a1ja1nc2x2b200a2ja2n cmxmbm01amjamncjz

25、j00miijijacc1miininacc1返回第一章目录运筹学教程2022-3-2537若单纯形表中所有检验数cjzj0，且基变量中不含有人工变量，则得到线性规划问题的最优解，计算结束；若存在cjzj0，而Pj0，则问题为无界解，计算结束；否则转下一步。1. 确定换入基的变量。只要有检验数j0，其对应的xj就可以作为换入基的变量，当有一个以上检验数大于零时，从中找出最大的一个k，其对应的变量xk为换入基的变量（简称换入变量）。2. 确定换出基的变量。用Pk列的系数分别去除常数项，找出最小比值0maxjjjj27. 10minlklikikiabaab确定xl为换出基的变量，元素alk 决定

26、了从一个基可行解到相邻基可行解的转移去向，所以，称alk为主元。运筹学教程2022-3-25383. 用换入变量xk替换换出变量xl，作初等变换，得到一个新的单纯形表。初等变换的方法是： 用单纯形法求解线性规划问题0,524261552max212121221xxxxxxxxxz解：在约束方程中加松弛变量，将该线性规划问题化为标准形式5 , 2 , 10524261550002max5214213254321jxxxxxxxxxxxxxxzj其约束条件系数矩阵的增广矩阵为：51001124010261500150P1P2P3P4bP5基变量为x3、x4、x5 ；非基变量为x1、x2。单位矩阵构

27、成一个基运筹学教程2022-3-2539令非基变量x1、x2等于零，的初始基本可行解为：X(0)(0,0,15,24,5)T初始单纯形表cj 21000CB基bx1x2x3x4x50 x315051000 x424620100 x5511001cjzj210005 , 2 , 10524261550002max5214213254321jxxxxxxxxxxxxxxzj因为存在120，210。所以初始基可行解不是最优解。选择最大检验数对应的非基变量作为换入变量。求最小比值，确定换入变量。主元列462415,624,min主元行运筹学教程2022-3-2540迭代运算x3x1x5020141/3

28、01/60015510006161012456113261212/30616110-1/610623103131211/30-1/3023321,314,515mini运筹学教程2022-3-2541迭代运算第二次迭代的单纯形表cj 21000CB基bx1x2x3x4x5cjzjx3x1x2021103/204132)61(-1/43/2021323101210112721147/204121)61(611/4-1/202153250021521511515/2145215)61(05/4-15/20)000112(2)(313212111111acacaccacczcmiijijjjj00)

29、001102(1)(323222121221acacaccacczcmiijijjjj0041450)41(14120)(343242141441acacaccacczcmiijijjjj-1/421)215(0)23(1)21(20)(353252151551acacaccacczcmiijijjjj-1/2运筹学教程2022-3-2542迭代运算结果因为所有检验数j0，且基变量中不含人工变量，所以得到线性规划问题的最优解为：TX0 , 0 ,215,23,27代入目标函数得：21723272221xxz运筹学教程2022-3-25431-5 单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论线性规划

30、模型化为标准形式后，若其约束条件的系数矩阵中不含有单位矩阵，需加人工变量，以便求解。 用单纯形法求解线性规划问题0,431243max3213232132131xxxxxxxxxxxxxz0,)32. 1 (43)32. 1 (12)32. 1 (4003max32132532143215431xxxcxxbxxxxaxxxxxxxxz)7 , 2 , 1(043124003max732653214321765431jxxxxxxxxxxxxxMxMxxxxxzj100010001P4P6P7人工变量返回第一章目录运筹学教程2022-3-2544单纯形法求解过程1-21-10-11003321

31、1-100313063)2(0631966403-3113030(2)+(M)66M36M3200001+(M)00031020(1)+(M)44M14M1400100+(M)00050010(1)+(M)33M3M6M0(1)01+(M)(3)4M4M7M0000+(M)100运筹学教程2022-3-2545单纯形法求解过程1102/301/2-1/21/60)31(6203)31(6131)31(01131)31(411/300)31(3100)31()3(1031)31(101/3021630000214201212131-1/22121)3(11/2212110-1/20 1) 3(0

32、0003100 0) 3(1000020332)3(3100013300)3(00100402321)3(00)21(0053/223)21()3(2102106MM2161)3(3102107MM-M-3/2-M+1/2运筹学教程2022-3-2546单纯形法求解过程103/23/203/4-3/41/4021323101-1/22521135/204121210-1/44121)21(01/4412161311/400001-1/21/2-1/20293230029000292910-9/202900043292123-3/44329)21()23(MM-M+3/4412961)21(MM

33、-M-1/4所有检验数均0，且人工变量为零，得到问题的最优解。X(0,5/2,3/2,0,0)T; z3x1x33/2运筹学教程2022-3-2547检验数计算320)2(1037176164141)7, 6, 4111MMMacacaccaccaccacczciijisiijijmiijijjjjMMMacacaccaccaccacczciijisiijijmiijijjjj4)3() 1(1007276264242)7, 6, 4221MMMacacaccaccaccacczciijisiijijmiijijjjj)0()1(0007576564545)7, 6, 4551单纯形法求解过程

34、运筹学教程2022-3-2548运筹学教程2022-3-2549用两阶段法求解线性规划问题)7 , 2 , 1(0931243max73265321432131jxxxxxxxxxxxxxxxzj)7 , 2 , 1(093124min73265321432176jxxxxxxxxxxxxxxxwj)7 , 2 , 1(093124min732653214321761jxxxxxxxxxxxxxxxwj运筹学教程2022-3-2550表1-11表1-12运筹学教程2022-3-2551表1-12-3010000303/2x4x2x3001103/403/23/201-1/25/200001-1

35、/20-1/4-9/2000-3/4因为所有j0,所以得到问题的最优解为：X=(0,5/2,3/2,0,5)T; z（-3）03/23/2表1-11运筹学教程2022-3-2552三、单纯形法计算中的几个问题1. 目标函数极小化时解的判别目标函数极小化时解的判别。以所有检验数j0作为判别表中解是否最优的标志，或将其化为极大化问题求解。2. 退化。按最小比值确定换出变量时，有时同时出现两个相同的最小值，从而使下一个表的基可行解出现一个或多个基变量等于0的退化解。原因：是模型中存在多余的约束，使多个基可行解对应同一顶点。存在退化解，就可能出现迭代运算循环。解决办法：在同等条件下，始终选择下标值最小

36、的变量作为换入变量，下标值最大的变量作为换出变量。3. 无可行解的判别。求解过程中，若出现所有检验数j0，而基变量中仍含有非零的人工变量，表明问题无解。运筹学教程2022-3-25530,62222max21212121xxxxxxxxz)5 , 2 , 1(06222002max542132154321jxxxxxxxxMxxxxxzj标准化加人工变量cj2100-MCB基 bx1x2x3x4x50 x3211100-Mx56220-11cj-zj2+2M1+2M0-M02x1-Mx5cj-zj121100020-2-1100-2-2M-M0运筹学教程2022-3-2554四、单纯形法小结1

37、. 一般线性规划模型化为标准形式的方法线性规划模型化为标准形式变量xj0不变xj0令xj xj ，则 xj0 xj无约束令xj xj xj； xj0， xj0约束条件右端项bi0不变bi0约束条件两端乘“-1”形式bixsibibixaibibixsixaibi目标函数极大或极小max z 不变min z 令zz，化为求max z变量前的系数加松弛变量xs时max z0 xsi加人工变量xa时max zMxainjjijxa1njjijxa1njjjxc1njjjxc1运筹学教程2022-3-2555Y单纯形法计算步骤框图找出初始基可行解列出初始单纯形表计算检验数j所有j0对某一j0有Pj0

38、为换入变量kjjkxmax为换出变量为主元，设llklklikikixaabaab0min迭代运算用xk替换xl列出新的单纯形表1.将主元化为1，主元所在列的其他元素化为0。无界解基变量中含非零的人工变量存在非基变量检验数为零无可行解无穷多最优解唯一最优解NNYYNYN运筹学教程2022-3-2556用长8m 的角钢切割钢窗用料。每付钢窗含1.5m的料2根，1.45m的2根，1.3m的6根，0.35m的12根。若需钢窗用料100付，问最少需切割8m长的角钢多少根？试建立其线性规划数学模型。解：为了节省材料，可以考虑各种套裁下料方案（见下表）。 方案 规格 所需材料根数 1.5 1 1 2 1 4 3 0 0 0 2100=200 1.45 1 4 2 0 0 0 0 3 1 2100=200 1.3 2 0 0 5 1 0 4 2 1 6100=600 0.35 7 2 6 0 2 10 8 3 15 12100=1200 合计 8 8 8 8 8 8 8 8 8 料头 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x2x1x3x4x5x6x7x8x9假设变量运筹学教程2022-3-2557假设按表列九个方案切割8m长的角钢分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9根。则该线性规划问题的