弹塑性力学5极坐标解答1

1、第一节第一节 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程第二节第二节 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程第三节第三节 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程第四节第四节 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式第五节第五节 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移第六节第六节 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力第八节第八节 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中第九节第九节 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力第十节第十节 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力例题例题第七节第七节 压力隧洞压力隧洞5 51 1 极坐标中的

2、平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 微分体上的作用力有微分体上的作用力有：体力- ， 以坐标正向为正。应力- 面， 面分别表示应力及其 增量。ff , 应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负 。()(d )dddd(d)dsindsin22dd(d)dcosdcosdd0,22f 其中可取dcos1,2ddsin.22-通过形心C的 向合力为0，0F上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得10 (a)f。dd()d cosd cos22(d )(d )dddd(d )d sind sind d0,22f 略去三阶微量，保留到二阶微量，得210 (b)f。-通过形心C的 向合力为0，

3、0F。(c) -通过形心C的力矩为0，当 考虑到二阶微量时，得0CM 几何方程几何方程-表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式 。,dPA 。dPB 5 52 2 极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程 及物理方程及物理方程 过任一点 作两个沿正标向沿正标向的微分线段 ,1.1.只有径向位移只有径向位移 ，求形变。，求形变。uP,A,B变形后为 ，各点的位移如图。BAP, 1cos,P BP C,sintan。,d)d(uuuuPAPAAP线应变PBPA线应变在小变形假定 下，1转角PA, 0转角PB。uuuuPBBCCPBC1d)d(所以切应变为。u12. 只有环向位移只有环向位移 , ,求

4、形变。求形变。uP,A,B变形后为 ，各点的位移如图BAP ，线应变PA0 ，（略去高阶小量）.线应变PB;d)d(u1uuuPBPBBP 转角PA,dduuPAAD 转角PB, OPOP变形前切线变形后切线.uP O P ）（使直角扩大，为负值切应变为。uu 3.3.当当 和和 同时存在时，几何方程为同时存在时，几何方程为。uuuuuu1,1,(a)uu 平面应力问题的物理方程：平面应力问题的物理方程：。EEE)1(2),(1),(1 对于平面应变问题，只须作如下同样变换，,12EE。1 边界条件边界条件-应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：,常数常数，或故边界条件形式简单。5

5、53 3 极坐标中的应力函极坐标中的应力函数数 与相容方程与相容方程函数函数的变换：将式 或 代入，坐标变量坐标变量的变换：,cosx;siny反之,222yx 。xyarctan( , )(). x y ,(a)(b) 1. 1.从直角坐标系到极坐标系的变换从直角坐标系到极坐标系的变换)(a)(b。cossin,sincosuuvuuu或。cossin,sincosvuuvuu(d)(c)矢量矢量的变换：位移),(),(uuvud将对 的导数，变换为对 的导数： yx,xxx.yyy 可看成是 ，而 又是 的函数，即 是通过中间变量 ，为 的复合函数。),(yx(,),yx,yx,有:导数导

6、数的变换：而,cosx;siny,sinx。cosy代入，即得一阶导数的变换公式,(e)sin(cossincosx)cos(sincossiny ，。 展开即得： 二阶导数二阶导数的变换公式，可以从式(e) 导出。例如. )sin)(cossin(cos)x(xx22).1(sincos2)11(cos),1(sincos2)11(sin22222222)(sin)(cos2222222222yx)11(sincos222222yx。)1()sin(cos22(f)。)11(2222222222yx)(g拉普拉斯算子拉普拉斯算子的变换：由式（f）得3.3.极坐标中应力用应力函数极坐标中应力用

7、应力函数 表示表示0,224(h)2.2.极坐标中的相容方程极坐标中的相容方程)(,应用应力变换公式（下节）.sincossincossincossincos2222yx2xy222222xyyx22, ().2221 11 4.4.极坐标系中按应力函数极坐标系中按应力函数 求解，应满足求解，应满足：(1)(1) A 内相容方程. 04 (2) 上的应力边界条件（设全部为应 力边界条件）。ss(3)(3) 多连体中的位移单值条件。 应力分量的坐标变换关系：5 54 4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式1、已知 ，求 。xyyx,d ,d cos,d sin,bcsabsacs设则由 ,

8、（含 ）的三角形微分体，厚度为1，如下图 A，考虑其平衡条件。取出一个包含x面y(含 )和 面xyyx,0,Fsinsincoscosdsdsdsyx, 0cossinsincosdsdsyxxy得22cossin2cossin .xyxy同理，由(a), 0F22()cossin(cossin).yxxy(b)得, 0F22sincos2cossin .xyxy(c) 类似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件，得 应用相似的方法，可得到2、已知 ，求.,xyyx,).sin(coscossin)(,cossin2cossin,cossin2sinco

9、s222222xyyx轴对称应力问题：轴对称应力问题：5 55 5 轴对称应力和相应的轴对称应力和相应的位移位移. 0应力数值轴对称应力数值轴对称- - 仅为仅为 的函数，的函数，应力方向轴对称应力方向轴对称- ,dd1,dd22.0(a)0,)dddd(2212其中 ),dd(dddddd22112应力函数 （1 1）相容方程4dddd()0, (b)dddd11 22lnln (c)ABCD。 相容方程成为常微分方程，积分4次得 的通解，22(1 2ln)2 ,(32ln)2 , (d)0.ABCABC (2) 应力通解应力通解 将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，,u; )(df

10、u(3) 应变通解：将应力(d)代入物理方程，得 对应的应变分量的通解。应变 也为轴对称。,(4)(4)求对应的位移：,u1u, uu()d)1uuf (。分开变量，两边均应等于同一常量F, ,dddddFffff11,0uuu1将 代入第三式，,uu由两个常微分方程，,d)(d)(11Fff1 ( );f HF,)d(d)(dFff22d( )( )0,df f 。得：KIfsincos)( 其中1 (1)2(1)(ln1) (1 3 )2(1)cossin (e)4sincosAuBBECIKBuHIKE ，。代入 ，得轴对称应力对应的位移通解，轴对称应力对应的位移通解，,uuI，K为x、

11、y向的刚体平移，H 为绕o点的刚体转动角度。说明说明（2）在轴对称应力条件下，形变也是轴对称 的,但位移不是轴对称的。（3）实现轴对称应力的条件是，物体形状、 体力和面力应为轴对称。（1）在轴对称应力条件下，式 (c),(d),(e) 为应力函数、应力和位移的通解，适用 于任何轴对称应力问题。(4) 轴对称应力及对应的位移的通解 (d) 、(e) 已满足相容方程，它们还必须满足边界 条件及多连体中的位移单值条件，并由 此求出其系数A、B及C。(5) 轴对称应力及位移的通解(d) 、 (e) ， 可以用于求解应力或位移边界条件下的 任何轴对称问题。(6) 对于平面应变问题，只须将 换为E,。1,12E 圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均布压力，属于轴对称应力轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。 5 56 6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力边界条件是12(),()0,(b)(),()0. r r R Rqq22(12ln)2 ,1(32ln)2 ,(a)0.ABCBC 考察多连体中的位移单值条件多连体中的位移单值条件： 圆环或圆筒，是有两个连续边界的多连体。而在位移解答中， 4,(c)BuE是一个多值函数：对于 和 是同一点，但式(c)却得出两个位移值。由于同一点的位移只能为单值，因此 ,2B = 0。由B=0 和边界条件 (b)