两角和与差的正弦余弦正切公式

1、两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用(重点)2能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式(难点)3掌握两角和与差的正切公式及变形应用(难点、易错点)基础初探教材整理 1两角和与差的余弦公式阅读教材 P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()coscossinsin，R两角和的余弦公式C()cos()coscossinsin，Rcos 75cos 15sin 75sin 15的值等于_【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75cos 15sin

2、 75sin 15cos(7515)cos 900.【答案】0教材整理 2两角和与差的正弦公式阅读教材 P128“探究”以下内容，完成下列问题1公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S()sin()sincoscossin、R两角差的正弦S()sin()sincoscossin、R2.重要结论辅助角公式yasin xbcos x a2b2sin(x)(a，b 不同时为 0)，其中 cosaa2b2，sinba2b2判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得 sin()sinsin成立()(3)对于任意，R，sin()sinsin

3、都不成立()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()解：(1).根据公式的推导过程可得(2).当45，0时，sin()sinsin.(3).当30，30时， sin()sinsin成立(4).因为 sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正确【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理 3两角和与差的正切公式阅读教材 P129“探究”以下至“例 3”以上内容，完成下列问题名称简记符号公式使用条件两角和的正切T()tan()tantan1tantan，k2(kZ) 且tant

4、an1两角差的正切T()tan()tantan1tantan，k2(kZ) 且tan tan1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在，R，使 tan()tantan成立()(2)对任意，R，tan()tantan1tantan都成立()(3)tan()tantan1tantan等价于 tantantan()(1tantan)()解：(1).当0，3时，tan()tan03 tan 0tan3，但一般情况下不成立(2).两角和的正切公式的适用范围是，k2(kZ)(3).当k2(kZ)，k2(kZ)，k2(kZ)时， 由前一个式子两边同乘以 1tantan可得后一个式子【答案】(1)(2)(

5、3)小组合作型灵活应用和、差角公式化简三角函数式(1)(2016济宁高一检测)sin 47sin 17cos 30cos 17()A32B12C12D32(2)化简求值：1tan 751tan 75；sin(75)cos(45) 3cos(15)；(2016遵义四中期末)tan 20tan 40 3tan 20tan 40.(1)化简求值应注意公式的逆用(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值解：(1)sin 47sin 17cos 30cos 17sin（1730）sin 17cos 30cos 17sin 17cos 30cos 17sin 30sin 17cos 30

6、cos 17cos 17sin 30cos 17sin 3012.【答案】C(2)原式tan 45tan 751tan 45tan 75tan(4575)tan 120 3.原式 3.设15，则原式sin(60)cos(30) 3cos12sin32cos32cos12sin 3cos0.原式0.原式tan 60(1tan 20tan 40) 3tan 20tan 40 3.原式 3.1 公式 T()， T()是变形较多的两个公式， 公式中有 tan tan，tantan(或 tantan)，tan()(或 tan()三者知二可表示出或求出第三个2化简过程中注意“1”与“tan4” 、“ 3”

7、与“tan3” 、“12”与“cos3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化再练一题1化简求值：(1)cos 61cos 16sin 61sin 16；(2)sin 13cos 17cos 13sin 17；(3)1tan 12tan 72tan 12tan 72.解：(1)原式cos(6116)cos 4522.(2)原式sin(1317)sin 3012.(3)原式1tan 12tan 72tan 12tan 721tan（7212）33.给值求值(2016普宁高一检测)已知434，04，cos435，sin34513，求 sin()的值. 【导学号：00680069】可先考虑拆角， 344

8、， 然后再利用 sin()sin()求值解：因为434，所以24.所以 sin41cos2445.又因为 04，3434，所以 cos341sin2341213，所以 sin()sin()sin434 sin4cos34cos4sin34451213 35 5136365.1本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系如本题中巧用()这一关系2常见角的变换为(1)2()，2()；(2)22 2，22 2；(3)442()；(4)442()再练一题2 已知 cos45，32， tan13，2，求 cos()解：因为，32，cos45，所以 sin35.因为

9、2，tan13，所以 cos3 1010，sin1010.所以 cos()coscossinsin453 101035 10103 1010.给值求角已知 sin55，sin1010，且，为锐角，求的值sin，sin求 cos，cos求 cos（）确定的范围求的值解：sin55，为锐角，cos 1sin2255.又 sin1010，为锐角，cos 1sin231010.cos()coscossinsin2 553 101055101022.又，0，2 ，0，因此4.1 求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)， 导致求出的角不合题意或者漏解2求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角

10、的范围，(2)求角的某一三角函数值， 特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值再练一题3 若把本例题的条件改为“0，2 ，2，0， 且 cos()35，sin210” ，试求角的大小解：0，2 ，2，0，(0，)，由 cos()35，知 sin()45.由 sin210，知 cos7 210.sinsin()sin()coscos()sin457 21035210 22.又0，2 ，4.探究共研型辅助角公式的应用探究1函数ysin xcos x(xZ)的最大值为2对吗？为什么？【提示】不对因为 sin xcos x 222sin x22cos x 2sin xcos4cos xsin4

11、 2sinx4 .所以函数的最大值为 2.探究 2函数 y3sin x4cos x 的最大值等于多少？【提示】因为 y3sin x4cos x535sin x45cos x，令 cos35，sin45，则 y5(sin xcoscos xsin)5sin(x)，所以函数 y 的最大值为 5.探究 3如何推导 asin xbcos x a2b2sin(x)tanba公式【提示】asin xbcos x a2b2aa2b2sin xba2b2cos x，令 cosaa2b2，sinba2b2，则asin xbcos x a2b2(sin xcoscos xsin) a2b2sin(x)(其中角所在

12、象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tanba确定，或由 sinba2b2和 cosaa2b2共同确定)当函数 ysin x 3cos x(0 x2)取得最大值时，x_.可先用公式 S将函数化为 yAsin(x)形式再求最大值对应的 x 值解：函数为 ysin x 3cos x212sin x32cos x2sin xcos3cos xsin32sinx3 ，当 0 x2时，3x353，所以当 y 取得最大值时，x32，所以 x56.【答案】561对于形如 sincos， 3sincos的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式2在解法上充分

13、体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则再练一题4函数 f(x)sin xcosx6 的值域为()A2，2B 3， 3C1，1D32，32解：f(x)sin xcosx6sin x32cos x12sin x32sin x32cos x 3sinx6 ，所以函数 f(x)的值域为 3， 3故选 B【答案】B构建体系1(2016清远期末)化简：sin 21cos 81cos 21sin 81等于()A12B12C32D32解：原式sin(2181)sin 6032.故选 D【答案】D2已知是锐角，sin35，则 cos4等于()A210B210C

14、25D25解：因为是锐角，sin35，所以 cos45，所以 cos422452235210.故选 B【答案】B3函数 ysin xcos x 的最小正周期是()A2BC2D4解：ysin xcos x 2sinx4 ，所以 T2.【答案】C4计算3tan 151 3tan 15_解：3tan 151 3tan 15tan 60tan 151tan 60tan 15tan 451.【答案】15已知，均为锐角，sin55，cos1010，求.解：，均为锐角，sin55，cos1010，sin3 1010，cos2 55.sinsin，20，sin()sincoscossin5510102 553

15、 101022，4.学业分层测评学业达标一、选择题1若4，则(1tan)(1tan)等于()A1B1C2D2解：(1tan)(1tan)1(tantan)tantan1tan()(1tantan)tantan1tan4(1tantan)tantan2.【答案】C2cos 3sin化简的结果可以是()A12cos6B2cos3C12cos3D2cos6解：cos 3sin212cos32sin2coscos3sinsin3 2cos3 .【答案】B3(2016北京高一检测)在ABC 中，A4，cos B1010，则sin C 等于()A2 55B2 55C55D55解：因为 cos B1010且

16、 0B，所以 sin B3 1010又 A4，所以 sin Csin(AB)sin4cos Bcos4sin B221010223 10102 55.【答案】A4若 sin35，2，2 ，则 cos54()A210B210C7 210D7 210解：因为 sin35，2，2 ，所以 cos45，故cos54coscos54sinsin544522 3522 210.【答案】A5若 sin35，tan()1，且是第二象限角，则 tan的值为()A43B43C7D17解：由 sin35，且是第二象限角，可得 cos45，则 tan34，所以 tantan()tan（）tan1tan（）tan134

17、1347.【答案】C二、填空题6计算1tan 153tan 60tan 15_.解：原式tan 45tan 153（1tan 45tan 15）13tan(4515)13.【答案】137若 sin()15，sin()35，则tantan_.解：由题意得 sincoscossin15，sincoscossin35，得 sincos25，得 cossin15，得tantan2.【答案】2三、解答题8设方程 12x2x120 的两根分别为，求 coscos 3sincos 3cossinsinsin的值解：由题意知12，故原式cos() 3sin()2sin6（）2sin122sin462sin4c

18、os6cos4sin62223222126 22.9.如图 311，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为210、2 55.图 311(1)求 tan()的值；(2)求2的值解：由条件得 cos210，cos2 55.，为锐角，sin 1cos27 210，sin 1cos255.因此 tan7，tan12.(1)tan()tantan1tantan71217123.(2)tan(2)tan()tan（）tan1tan（）tan3121（3）121，又，为锐角，0232，234.能力提升1 已知 f(x)sin3x3