第十章行列式

1、第第 十十 章章 行行 列列 式式(一) 本 章 内 容 小 结(二) 常见问题分类及解法(三) 思 考 题(四) 课 堂 练 习( (一一) ) 本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容1、二阶行列式和三阶行列式的定义。2、二阶行列式和三阶行列式的性质，共有八个，灵活地运 用这些性质可以简化行列式的计算。3、二阶行列式和三阶行列式的计算：1112112212212122,aaa aa aaa111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332. a a aa a aa a aa a aa a aa a

2、a4、二阶行列式和三阶行列式的应用，主要运用克莱姆法则求 解二元线性方程组和三元线性方程组。5、 阶行列式的定义、性质。n6、 阶行列式的展开式定理n11,( ,1,2, )0,nnikjkkikjkkD ija Aa Ai jnij7、利用克莱姆法则求解线性方程组：(1,2, ).iiDxinD二、本章重点、难点内容二、本章重点、难点内容1、行列式的计算。2、利用克莱姆法则求解线性方程组。三、本章关键词三、本章关键词行列式克莱姆法则( (二二) ) 常见问题分类及解法常见问题分类及解法n一、利用三角形法计算一、利用三角形法计算 阶行列式阶行列式利用行列式的性质，化为上三角形行列式，具体步骤如

3、下： 11221,1 以， ，所在行为准将其下方的元素化为零，直至化为一个上三角形行列式，这时主对角线上的元素的乘积就是所求 阶行列式的值.nnaaan例例1 1 计算行列式的值0112110212102110D解解0112110212102110D121102011212102110 rr431102011200240002 rr1 ( 1) ( 2) ( 2) 4. 110201120112031431 rr412rr321102011200240022 rr423rr二、利用降阶法计算二、利用降阶法计算 阶行列式阶行列式n 利用行列式性质(特别是性质8)将行列式中某一行(列)化为仅含有一

4、个非零元素，然后再利用定理按此行(列)展开，变为低一阶的行列式，如此继续下去，直至降为一个三阶或二阶行列式。例例2 2 计算行列式的值15213016.21024716D解解1521301621024716D750133016210277012 按第三列展开 2 375131 ( 1)2127712 353010772 按第2行展开 2 233( 1) ( 1)72 3 ( 2)3 ( 7) 27.122 rr42rr122 cc322cc三、利用元素排布具有某种特征的行列式的特定解法三、利用元素排布具有某种特征的行列式的特定解法 如果行列式的元素排布具有某种明显规律特征，就要考虑用一些特殊的

5、计算方法，这样可以简化行列式的计算，提高准确性。 计算 阶行列式n例例3 30111101111011110 .D 解解0111101111011110D 1111101111011110nnnn11111011(1) 11011110n 其余各列分别 加到第一列 提出第一列公 (1)因子 n 11110100(1) 00100001n1( 1)(1) . nn 元素排列特征：各行元素之和相同，主对角线上的元素相同。 特定计算方法：除第一列外，其余各列均加到第一列，然后提取第一列公因子，再按三角形法化为上三角形行列式。( 1) 第1行分别 加到其余各行 计算 阶行列式n例例4 41333323

6、3(3)3333333 .Dnn 由于行列式中大部分元素均为3，若将行列式的第三行的(-1)倍分别加到其余各行，将使这些行中的3全部化为零，运算因此得到简化。解解133332333333333Dn2000010033330003n2200010000330003n6(3)!.n 通过以下两例可以看出，对于不同特征的行列式灵活采用不同的计算方法，会使运算简便快捷，望读者在学习过程中注意方法的积累。( 1) 第3行分 别加到其余各行21 cc12cc(三) 思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、行列式的本质是什么？2、克莱姆法则的内容是什么？3 、阶行列式的值与它的元素及元素对应

7、的代数余nD4 ?、阶行列式的性质中有哪几个性质使行列式的值为零n?子式有何种关系(四) 课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案1201211 .100、计算行列式: D=12123123123243472、已知线性方程组，xxxxxxxx2 .写出系数行列式及DD1233312 .231、计算行列式：D 111213111213212223212223313233313233234 4 23.23、若，求aaaaaaaaaaaaaaaaaa答答 案案返返 回回1.、行列式是一种运算的形式返返 回回2 0 、克莱姆法则的内容是：一个含有个未知数，个方程的线性方程组，当它的系数行列式

8、，方程组有唯一解.nnD ,1,2, .jjDxjnD 12 , .其中表示将系数行列式中的第 列元素用方程组右端常数替换而得到的行列式jnDDjb bb返返 回回11223 (1,2, .) 、阶行列式的值等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即： ，iiiiininnDDa Aa Aa Ain返返 回回4 .、行列式中有一行 列 各元素全为零；行列式有两行 列元素对应相同；行列式有两行 列 元素对应成比例都会使行列式的值为零返返 回回1、：解120211100D 按第3行展开202.11返返 回回2、：解2210210321 341 .134174由的定义可知jDDD返返 回回3