同角或等角的余角相等找相等的角

1、用同角或等角的余角相等找相用同角或等角的余角相等找相等的角等的角 RT RTABCABC中，中，ADAD是斜边是斜边CBCB上的高，上的高，DEACDEAC于于E E， DFABDFAB于于F F，图中与，图中与CC相等的角有相等的角有 ( )( )个个. .ABCDEF3 3 已知已知AB=AC ,BAC=90AB=AC ,BAC=90,AE,AE是过是过A A点的一条点的一条直线，且直线，且B B、C C在在AEAE的的异侧，异侧，BDAEBDAE于于D D，CE CE AEAE于于E E，求证：求证：BD=DE+CEBD=DE+CEA AB BC CD DE E学会把已知表现在图形中学会

2、把已知表现在图形中A AB BC CD DE E求证：求证：BDBD=DE+=DE+CECE证明：证明： BDAEBDAE，CEAECEAEBDA=AEC=90BDA=AEC=90( )( )1+1+BADBAD=90=90( )( )1 1BAC=90BAC=90( )( )2 22+2+BADBAD=90=901=1=2 2（等角的余角相等等角的余角相等） A AB BC CD DE E求证：求证：BDBD=DE+=DE+CECE1 12 2在在ABDABD和和CAECAE中中1=2 1=2 （已证）（已证）BDA=AEC BDA=AEC （已证）（已证）AB=AC AB=AC （已知（已

3、知 ）ABDABDCAECAE（AASAAS）BDBD= =AE,AD=AE,AD=CECE（ ）AE=AD+DEAE=AD+DEBDBD= =CECE+DE+DE（ ）求证中涉及求证中涉及BDBD和和CECE已知：已知：ABBCABBC于于B B， EFACEFAC于于G, G, DFBCDFBC于于D,BC=DF,ACD,BC=DF,AC等于等于EFEF吗？，说吗？，说明理由。明理由。ABCFDGEO解法解法1 1： AC=EFAC=EFABCFDGEABBCABBC，DFBCB=DFBCB=EDF=90EDF=90( )( )1 11+F=90+F=90( ) ( ) EFAC EGC=

4、90 EFAC EGC=90( ) ( ) 11+C=90+C=90( )( ) C=F C=F（ ）F=C是同角是同角1的余角的余角同角的余角相等同角的余角相等 OABCFDGE AC=EF（ ）C=F （已（已 证证 ）在在ABC和和EDF中中 ABC EDF （ASA）BC=DF （已知（已知 ）B= EDF（已（已 证证 ） O1 C=F C=F（ ）解法解法2 2： AC=EFAC=EFABCFDGEABBCABBC，DFBCDFBCB=B=EDF= CDF=90EDF= CDF=90( )( ) DOCDOC+C=90+C=90( ) ( ) EFAC FGO=90 EFAC FG

5、O=90( ) ( ) F和和C是是等角等角2和和DOC 的余角的余角等角等角的余角相等的余角相等 O2 22+F=90+F=90( )( ) DOC=2DOC=2( (对顶角相等对顶角相等) )ABCFDGE AC=EF（ ）C=F （已（已 证证 ）在在ABC和和EDF中中 ABC EDF （ASA）BC=DF （已知（已知 ）B= EDF（已（已 证证 ） O1解法解法3 3： AC=EFAC=EFABCFDGEABBCABBC，DFBCB=DFBCB=EDF=90EDF=90( )( )1 A+ A+CC=90=90( ) ( ) EFAC EFAC EGCEGC=90=90( ) (

6、 ) 1+ 1+CC=90=90( )( ) A=1 A=1（ ）同角的余角相等同角的余角相等 OA和和1是同角是同角C的余角的余角A=1 （已（已 证证 ） B= EDF（已（已 证证 ） 在在ABC和和EDF中中 ABC EDF （AAS）ABCFDGE AC=EF（ ）OBC=DF （已知（已知 ）1两条线段的数量关系包括两条线段的数量关系包括相等、相等、线段的和差、长线段等于短线段线段的和差、长线段等于短线段的几倍、短线段是长线段的几分的几倍、短线段是长线段的几分之几。之几。两条线段的位置关系包括两条线段的位置关系包括平行、平行、垂直垂直两条线段的关系既要回答两条线段的关系既要回答数量

7、关数量关系系，又要，又要回答回答位置关系位置关系已知已知:AD/BC:AD/BC，AD=BCAD=BC，AE=BFAE=BF。问问DFDF与与CECE的的关系关系解法解法1 1：DF=CEDF=CE且且DFDFCECE AD/BC A=B( )A=B( ) AE=BF AE-EF=BF-EF即即AF=BE ADFADF和和BCEBCE（SASSAS）AD=BC AD=BC （已知（已知 ）在在ADFADF和和BCEBCE中中A=B A=B （已证（已证 ）AF=BEAF=BE（已证（已证 ）数量关系与位置关系数量关系与位置关系 DF=CE ,1=21=2( )( )1 12 23 34 411

8、+3=180+3=18022+4=180+4=180（平角定义）（平角定义）3=43=4（等角的补角相等）（等角的补角相等）DFCE （ ）已知已知:AD/BC:AD/BC，AD=BCAD=BC，AE=BFAE=BF。问问DFDF与与CECE的的关系关系解法解法2 2：DF=CEDF=CE且且DFDFCECE延长延长DFDF到到H, H, AD/BC A=B( )A=B( ) AE=BF AE-EF=BF-EF即即AF=BE ADFADF和和BCEBCE（SASSAS）AD=BC AD=BC （已知（已知 ）在在ADFADF和和BCEBCE中中A=B A=B （已证（已证 ）AF=BEAF=B

9、E（已证（已证 ）数量关系与位置关系数量关系与位置关系 DF=CE ,1=2( )1=2( )1 12 21=3(1=3(对顶角相等对顶角相等 ) ) 2=3 2=3（ 等量代换等量代换 ）DFCE （ ）3 3 在在CDECDE中，中，DCE=90DCE=90，CD=ECCD=EC，DAABDAAB于于A A，EBABEBAB 于于B B，判断，判断ABAB与与ADAD，BEBE之间之间的关系，并证明的关系，并证明 解：解：AB=BE+ADAB=BE+ADDAABDAAB于于A A，EBABEBABA=B=90A=B=90( )( )1+1+22=90=90( )( )12DCE+3+2=1

10、80DCE+3+2=180且且DCE=90DCE=90 3+ 3+22=180=180-DCE=90-DCE=90 31=3(1=3(同角的余角相等同角的余角相等 ) )123A=B （已证（已证 ） 1=3（已证（已证 ） CD=EC （已知（已知 ）在在ADC和和BCE中中 ABC DEF（AAS） AD=BC,AC=BE（ ） AB=AC+BC, AB=BE+AD （ ）结论涉及结论涉及AB与与AD，BE在在ABCABC中，中，ABAB= =ACAC，DEDE是过点是过点A A的直线，的直线，BDBDDEDE于于D D，CECEDEDE于于E E（1 1）若）若BCBC在在DEDE的的同

11、侧同侧且且ADAD= =CECE，说明：，说明：BABA与与A AC C的的位置关系位置关系（2 2）若）若BCBC在在DEDE的的两侧两侧（如图（如图）其他条件其他条件不变不变，ABAB与与ACAC位置关系位置关系怎样？若是请予证怎样？若是请予证明，若不是请说明理由明，若不是请说明理由 AEDBCAEBDC典典型型例例题题AEDBCAEBDC解解（1 1） BAAC BDDE,CEDEBDDE,CEDEBDA=AEC=90BDA=AEC=90( )( )在在RTRTABDABD和和 RTRTCAECAE中中AB=AC （已知）（已知）AD=CE （已知（已知 ）RTRTABDABD RT R

12、TCAECAE（HLHL）AEDBCAEBDC1=2( )1=2( )12AEC=90AEC=90( )( )2+32+3=90( )( )31+31+3=90( )( )1+3+BAC=1801+3+BAC=180( ) ( ) BAC=180BAC=180-(1+3)=90-(1+3)=90BAAC( )BAAC( )AEDBCAEBDC在在RTRTABDABD和和 RTRTCAECAE中中AB=AC （已知）（已知）AD=CE （已知（已知 ）RTRTABDABD RT RTCAECAE（HLHL） BDDE,CEDEBDDE,CEDEBDA=AEC=90BDA=AEC=90( )( )

13、其他条件不变其他条件不变（2 2） BAACBAACAEDBCAEBDC1=1=22( )( )AEC=90AEC=90( )( )22+3+3=90( (直角三角形两个锐角直角三角形两个锐角互余互余 ) )1+31+3=90( )( )即即BAC=90BAC=90BAAC( )BAAC( )123如图如图,AD,AD是是BACBAC的角平分线的角平分线,BD=CD,DE,BD=CD,DE、DFDF分别垂直于分别垂直于ABAB和和AC,AC,垂足为垂足为E E、F,F,试猜想试猜想BEBE和和 CFCF有何关系有何关系? ?并请说明理由并请说明理由. .DABCEF解：解：BE= BE= CF

14、CF ADAD是是 BACBAC的角平分线的角平分线1=2(1=2(角平分线定义角平分线定义) )12 DE DE、DFDF分别垂直于分别垂直于ABAB和和ACACAED=AFD(AED=AFD(垂直定义垂直定义) )DABCEF12在在AEDAED和和 AFDAFD中中AD=AD （公共边（公共边 ）1=2 1=2 （已证）（已证）AED=AFD AED=AFD （已证）（已证）AEDAEDAFDAFD中（中（AASAAS）ED=FDED=FD（ ）在在RTRTEBDEBD和和 RTRTFCDFCD中中ED=FD ED=FD （已证）（已证）BD=CDBD=CD（已知（已知 ）RTRTEBD

15、 EBD RTRTFCD(HL)FCD(HL) BE= BE= CF( )CF( ) 如图如图, ,在在ABCABC中，中，CC9090，ACACBCBC，ADAD平分平分CABCAB，交，交BCBC于于 D,DEABD,DEAB于于E E，且，且ABAB6 cm6 cm，则，则DEBDEB的周长为的周长为_cm._cm.6 在在ABCABC中，已知中，已知D D是是BCBC中点，中点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E、F F，DEDEDF. DF. 求证：求证：AB=ACAB=AC D B C A E F提示：用提示：用HLHL证明证明AED AED AFDA

16、FD得得AE=AFAE=AF再用再用HLHL证明证明BED BED CFDCFD得得BE=CFBE=CFAE+BE=AF+CFAE+BE=AF+CF即即AB=ACAB=AC AC AC平分平分BADBAD，CEABCEAB于于E E，CFADCFAD于于F F，且，且BCBCDC.DC.你能说明你能说明BEBE与与DFDF相等吗？相等吗？BACDEF12提示：用提示：用AASAAS证明证明AFC AFC AECAEC得得CF=CECF=CE再用再用HLHL证明证明RtRtCFDCFD RtRt CEBCEB得得DF=BEDF=BE 如图，如图，ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADAD是是BACBAC角平分角平分线，线，BE=CFBE=CF，则下列说法正确的有几个，则下列说法正确的有几个（ ）（1 1）ADAD平分平分EDFEDF；（；（