同济能量守恒定律

1、2-4-1 功和功率功和功率 功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间积累作用。对空间积累作用。功的定义： 在力在力 的作用下，的作用下，物体发生了位移物体发生了位移 ，则，则把力在位移方向的分力与把力在位移方向的分力与位移位移 大小的乘积称为大小的乘积称为功。功。FrrxyzO1rrFF 2. . 变力的功变力的功a元功：元功：a a元位移：元位移：rd1. 恒力的功恒力的功rdFWrdr rFWacosrF rdF rdFdWacosFFF功：力对空间的积累国际单位：焦耳（J ）Nm（1 1）平面直角坐标系）平面直角坐标系)0, 1(,jijj

2、iijdyidxrdjFiFFyx其中.dyFdxFdwyxxyO xr0r1 yF rs0s1F sa.a.在不同坐标系中元功表示：在不同坐标系中元功表示：（2 2）平面）平面“自然自然”坐标系坐标系)0, 1(ntnntt其中dsFtdsnFtFdwtnt) (对元功积分即得到变力作的总功。对元功积分即得到变力作的总功。acosFdsrFFFrFWbanbadd21banbabarFrFrFddd21n21WWWW结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和作功之代数和 。b.b.合力的功等于各个分力功的代数和合力的功等于各个分力功的代数和在直

3、角坐标系在直角坐标系Oxyz中中 kFjFiFFzyxk zj yi xr zFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWzybaxbazyxbaxxddddddd表明合力对质点所作的功等于每个分力对质点作之代数和。表明合力对质点所作的功等于每个分力对质点作之代数和。 c. 功的几何意义：功的几何意义：功在数值上等于示功图功在数值上等于示功图曲线下的面积。曲线下的面积。 3. 功率功率平均功率平均功率: :瞬时功率瞬时功率: :Fx0示功图dxF2x1xFdxdW 21xxFdxWtWNtWNtlim0tddWtdrdF vF 力的功率等于力与受力点速度的标积力的功率等于力与受力点速度的标积力

4、的功率等于力与受力点速度的标积瓦特（瓦特（W）= =（J/sJ/s）(1)(1)功是过程量，一般与路径有关。功是过程量，一般与路径有关。(2)(2)功是标量，但有正负。功是标量，但有正负。(3)合力的功为各分力的功的代数和。合力的功为各分力的功的代数和。4.4.功的性质：功的性质：dyFdxFrdFdAyx例例1. 设作用在质量为设作用在质量为2kg的质点上的力是的质点上的力是 N。当质点从原点移动到位矢为。当质点从原点移动到位矢为 m处时，此处时，此力所作的功有多大？它与路径有无关系？力所作的功有多大？它与路径有无关系？jiF53 jir32 1010yyyxxxdyFdxFA)()(010

5、1yyFxxFyx)03(5)02(3J9解：解：TFsin=0Fmg tg=T cosmg=0cos=mg tgLdFcosds.drF=dW. .=dsLd. .dmL 例例2. 有一单摆，用一水平力作用于有一单摆，用一水平力作用于m使其使其缓慢缓慢上升。上升。求求: 此力的功。此力的功。0当当由由增大到增大到0时，时，cos=()1mg L0sinmg=00WLd 解解TrdFgm2-4-2 2-4-2 动能和动能定理动能和动能定理 质点因有速度而具有的作功本领。质点因有速度而具有的作功本领。221vmEk单位：（J）设质点设质点m在力的作用下沿在力的作用下沿曲线从曲线从a点移动到点移动

6、到b点点sFrFWdcosddardaFab1质点动能定理质点动能定理)(21dd212221vvvvvvmmWW质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。1221222121kkEEmmWvvvvvdddddcosdmstmsFWatmmaFddcosva2质点系的动能定理质点系的动能定理iFif一个由一个由n个质点组成的质点系，考察第个质点组成的质点系，考察第i个质点。个质点。 质点的动能定理：质点的动能定理： iiEE1k2k内外iiWW对系统内所有质点求和对系统内所有质点求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外内12

7、kkEE外内WW 质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力内力作功之代数和。作功之代数和。例例3.有一面为有一面为1/4凹圆柱面（半径凹圆柱面（半径R）的物体（质量）的物体（质量M）放置在光滑水平面，一小柱面（质量放置在光滑水平面，一小柱面（质量m），从静止开），从静止开始沿圆面从始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图），小柱面从水平顶端无摩擦下落（如图），小柱面从水平方向飞离大物体方向飞离大物体时速度为时速度为v.求（求（1）重力所做的功；）重力所做的功；（2）内力所做的功。）内力所做的功。解：重力只对小球做功解：重力只对小球做功0 MVmv水平方向无

8、外力，水平方向无外力，m,M组成的组成的系统保持水平方向动量守恒。系统保持水平方向动量守恒。mgdhrdmgdWcos重力mgRmgdhW重力RMm rddhmg对对m，合力所做的功，合力所做的功mgRmvMVWWWNN222121内力221mvWWGN对对M，合力（合力（内力）所做的功内力）所做的功222221MvmMVWN*本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。mgRmvMV 222121为什么？为什么？ 见下面一对力的功的讨论。见下面一对力的功的讨论。（说明，利用上式和前面动量守恒定律式可以求得（说明，利用上式和前面动量守恒定律式可以求得

9、小球脱离时的速度）小球脱离时的速度）由动能定理：由动能定理：对系统，对系统，内力所做的功内力所做的功对对m，内力所做的功，内力所做的功mgRmvWmvWGN2221212-4-3 一对力的功一对力的功 系统内力总是成对出现系统内力总是成对出现212122)(rdfrrdf 一对力所做功之和，等一对力所做功之和，等于其中一个物体所受的于其中一个物体所受的力力沿着两个物体相对移沿着两个物体相对移动的路径所做的功，而动的路径所做的功，而和确定两质点的位置时和确定两质点的位置时所选的参考系无关。所选的参考系无关。OA1A21r2r21r1f2f1rd2rd上一例，内力与相对位移上一例，内力与相对位移总

10、垂直，故内力所做的功总垂直，故内力所做的功总和为零。总和为零。2211rdfrdfdWRMmN计算一对力的功的方法：计算一对力的功的方法： 以一个质点为坐标原点设定坐标系，计算以一个质点为坐标原点设定坐标系，计算出另一质点相对于该质点运动时所受的力做的出另一质点相对于该质点运动时所受的力做的功。功。例例1：物体下落：物体下落h高度，它受的重力和地球受它的引高度，它受的重力和地球受它的引力力 这一对力做的功之和等于这一对力做的功之和等于mgh.例例2：物体沿斜面下滑，它和斜面间相互作用的一对：物体沿斜面下滑，它和斜面间相互作用的一对 压力所做功之和总等于零。压力所做功之和总等于零。例例3：一个物

11、体在另一个物体表面滑动时，它们之间：一个物体在另一个物体表面滑动时，它们之间 相互作用的一对相互作用的一对摩擦力摩擦力所做功之和就等于其中所做功之和就等于其中 一个力和两物体相对位移的乘积而总为负值。一个力和两物体相对位移的乘积而总为负值。例题例题1、如图，在光滑的水平面上，有一质量为、如图，在光滑的水平面上，有一质量为mB的静止物体的静止物体B，在，在B上又有一质量为上又有一质量为mA的物体的物体A。今有一小球从左边射到。今有一小球从左边射到A上并被弹上并被弹回，于是回，于是A以初速度以初速度VA（相对水平面）开始向右运动。（相对水平面）开始向右运动。A、B间的摩擦系数为间的摩擦系数为 ,A

12、慢慢带动慢慢带动B运动，最后运动，最后A和和B以相同的速度一起运动，问以相同的速度一起运动，问A从开始运动从开始运动到相对于到相对于B静止，在静止，在B上移动了多少距离？上移动了多少距离？AVABAVABBf解：选解：选mA和和mB为系统，利用系统的动能定理为系统，利用系统的动能定理AfAfWBfW 2)(2共共VmmBA 22AAVm AfWxfWAfBAABAVmVmm 共共)()(22BAABmmgVmx 例题例题2.如图，在光滑的水平地面上放着一辆小车，小如图，在光滑的水平地面上放着一辆小车，小车左车左端放着一只箱子，今用同样的水平恒力端放着一只箱子，今用同样的水平恒力F拉箱子，拉箱子

13、，使它由小车的左端达到右端，一次小车固定，另一次使它由小车的左端达到右端，一次小车固定，另一次小车没有固定，试以水平地面为参照系，则下面的说小车没有固定，试以水平地面为参照系，则下面的说法中正确的是：法中正确的是：（1）两次）两次F做的功相同；做的功相同；（2）两次摩擦力对木箱做的功相同；）两次摩擦力对木箱做的功相同；（3）两次箱子获得的动能相同；）两次箱子获得的动能相同；（4）两次由于摩擦而产生的热量相同。）两次由于摩擦而产生的热量相同。LF444LFfLAFLAf ,11)(),(22xLfAxLFAf f2213mvfLFL 221)()(vmxLfxLF 221)(vmxfLfxLF

14、222121vmMvM 热热量量FfxLM例例3.在在光滑的光滑的水平桌面上，水平桌面上，平放有如图所示的平放有如图所示的固定固定半圆半圆屏障，质量为屏障，质量为m的滑块以初速度的滑块以初速度V0沿切线方向进入屏沿切线方向进入屏障，滑块与屏之间的摩擦系数为障，滑块与屏之间的摩擦系数为 ，试，试证明当滑块从证明当滑块从另一端滑出时，摩擦力作的功为另一端滑出时，摩擦力作的功为) 1(21220 emvW解解)1(2RvmN dtdvmNfdtdsdsdvm 由式（由式（1）代入上式得：）代入上式得：vdsdvmRvm 20Nf0vvS俯视图俯视图vdsdvm Nf0vvSvdsdvmRvm 2ds

15、Rvdv evv0 2022121mvmvW俯视图俯视图 RVVdsRvdv 00) 1(21220 emv（1）重力的功）重力的功bzazxyzOabrgm),(aaazyxa初始位置初始位置),(bbbzyxb末了位置末了位置baabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力做功仅取决于质点的始、末位置重力做功仅取决于质点的始、末位置z za a和和z zb b，与质点经过的具体路径无关。与质点经过的具体路径无关。 （2） 万有引力作功万有引力作功两个质点之间在万有引力两个质点之间在万有引力作用下相对运动时作用下相对运动时 ，以，以M所在处为原点所在处为原点,

16、, m在在M的万有引力的作用下从的万有引力的作用下从a 点运动到点运动到b b点。点。rerMmGF20barrrrerMmGWd20rrrerdcosddarrdrrda acrdMabarbrbarrrrMmGrrMmGWba11d020 万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。与具体路径无关。 （3）弹性力的功）弹性力的功x2box1mxamFx由胡克定律：由胡克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与

17、弹性变形的过程无关。而与弹性变形的过程无关。作功与路径无关，只与始末位置有关的力。作功与路径无关，只与始末位置有关的力。保守力沿任何闭合路径作功等于零。保守力沿任何闭合路径作功等于零。0drF设保守力沿闭合路径设保守力沿闭合路径acbda作功作功abcd按保守力的特点：按保守力的特点：因为：因为：所以：所以：adbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacbWWWWWabbapbpaWrFEEdppapbabEEEW)(质点在保守力场中运动时，保守力对质点所作的功既质点在保守力场中运动时，保守力对质点所作的功既然与中间途径无关，一般地说，必可表为质点状态的然与中间途径无关，一般地说，必

18、可表为质点状态的某个函数某个函数EP所减少的值，该状态函数所减少的值，该状态函数EP就称为质点在就称为质点在该势力场中的势能或该系统的势能。简言之，该势力场中的势能或该系统的势能。简言之，势能势能就就是由物体的相对位置所确定的系统能量。是由物体的相对位置所确定的系统能量。物体在保守力场中由物体在保守力场中由a点移动到点移动到b点过程中：点过程中：以势能的减少来表达以势能的减少来表达保守保守力作的功，简化力作的功，简化保守保守力功的计算。力功的计算。势能的确切定义仅指势能的势能的确切定义仅指势能的差差，没有绝对势能。，没有绝对势能。（在保守场中势能普遍加或减同一（在保守场中势能普遍加或减同一任意

19、常数任意常数，势，势能的差保持不变）能的差保持不变）4为使势能取确定值为使势能取确定值, ,只需将质点在某个指定位只需将质点在某个指定位置置r r0 0处的势能规定为处的势能规定为0 0. .则空间任意一点则空间任意一点r的势能为：的势能为：orrprFrEd)(空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。动到势能零点时保守力做的功。mghEp（地面为势能零点）（地面为势能零点）221kxEp（弹簧自由端为势能零点）（弹簧自由端为势能零点）rMmGEp0（无限远处为势能零点）（无限远处为势能零点）(1) (1) 质点高度变化不大：

20、质点高度变化不大：(2) (2) 质点高度变化很大：质点高度变化很大： （无限远处为势能零点）（无限远处为势能零点）rmgRrGMmEp/2保守力与势能的积分关系：pEW保守力与势能的微分关系：pEWddzFyFxFrFWzyxdddddzzEyyExxEEzyppdddd所以：所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式： 保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。指向势能降低的方向。 结论：12ppEEW保内12k

21、kEE外内WW质点系的动能定理：质点系的动能定理：非保内保内内WWW其中其中12kkEEWWW非保内保内外 1p1k2p2kEEEEWW非保内外pkEEE机械能12EEWW非保内外 质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所作功的代数和。守内力所作功的代数和。 质点系的功能原理0外W如果如果0非保内W，pkEEE恒量 当系统只受保守内力作功时，质点系的总机当系统只受保守内力作功时，质点系的总机械能保持不变。械能保持不变。机械能守恒定律 注意：（1 1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。这是因为惯

22、性力可能作功。非惯性系。这是因为惯性力可能作功。（2 2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。在另一参考系中外力功也许不为零。 例例1 设地球半径为设地球半径为R 。一质量为。一质量为m的物体，从静的物体，从静止开始在距地面止开始在距地面 R 处自由下落。处自由下落。 求：它到达地球表面时的速度。求：它到达地球表面时的速度。解：解： =EpBEpA=GMm

23、R2GMmR由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：GMm2=+R0GM=vRGMmR221+mvMRRmAB地球地球例例3：链条总长为：链条总长为L，质量为，质量为m，初始时刻如图悬挂，链条，初始时刻如图悬挂，链条与桌面间的摩擦系数为与桌面间的摩擦系数为 ，链条由静止开始运动，求：，链条由静止开始运动，求：（1）链条离开桌边时，摩擦力作的功？）链条离开桌边时，摩擦力作的功？（2）这时候链条的速度？）这时候链条的速度？解：解：把链条分把链条分割成无限多的质元，割成无限多的质元，则当则当dm在桌面上移动的长度在桌面上移动的长度为为x时，摩擦力作的功为时，摩擦力作的功为xdmgdAf （1）dxLxm

24、gdAf 20)(2aLLmgdxLxmgAaLf （2）由功能原理由功能原理)2()21(212aaLmgmgLmvAf)()(222aLaLLgv xdxLaaX取桌面为零势能面取桌面为零势能面例例4：质量为：质量为mkg,长长l=40cm的链条，放在光滑的的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮，挂着质量为水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮，挂着质量为m1=10kg的物体，如图，开始时的物体，如图，开始时l1=l2=20cml，速度，速度为零。设绳子不伸长，轮、绳的质量和轮轴桌面的摩擦为零。设绳子不伸长，轮、绳的质量和轮轴桌面的摩擦不计。求当链条全部滑到桌面上时，系统的速

25、度和加速不计。求当链条全部滑到桌面上时，系统的速度和加速度。度。m1g1l3l2lXoTTaax解：（一）先求加速度：选如图坐标系，设解：（一）先求加速度：选如图坐标系，设链条在桌边挂的部分为链条在桌边挂的部分为x,则：则：)1(11amTgm)2(malmgxT 解（）、（）得解（）、（）得)1(21lxga m1g1l3l2loTTaaxx（二）求速度（法（二）求速度（法1）：当链条全部）：当链条全部滑到桌面时滑到桌面时x=02/9.421smga又又dxdvvdtdxdxdvdtdvadxlxgadxvdv)1(21)1(2002vllxgvdv2243glvsmglv/21. 1432

26、m1g1l3l2loTTaaxx221212212121)()2(mvvmlhgmlmgllghm22121222121)2(mvvmglmlmgllmm 122ll smglv/21.1432（二）（法（二）（法2）选桌面为零势能面，由于）选桌面为零势能面，由于T作功为零，作功为零，m1,m,地球组成的系统机械能守恒。地球组成的系统机械能守恒。m1g1l3l2loTTaaxxh例例5：如图当的：如图当的值为多大时，值为多大时，m2才能跳起？才能跳起？m2m1解：选解：选m1、m2地球、弹簧为系统，地球、弹簧为系统，则系统的机械能在态到态过程中则系统的机械能在态到态过程中守恒，选如图水平线守恒

27、，选如图水平线o1o2为零势能面为零势能面。mx0 x1x201o2（）m2（）m2m2210101)(21)(xxkxxgmEA 222121kxgxmEB 又2201,kxgmkxgmEEAB )(211mmkgx gmmkxF)(211 mx0 x1x201o2（）m2（）m2m2例例6：如图，：如图，m1和和m2之间只有万有引力的作用，假设之间只有万有引力的作用，假设现有一力作用在上，使以现有一力作用在上，使以向右匀速运动，向右匀速运动，试求；（）、试求；（）、m1、m2之间的最大距离之间的最大距离lmax;(2)、从地面观察，当从地面观察，当l=lmax时，外力做的功是多少？时，外力

28、做的功是多少？At=0m1ml0BFV0(静止静止）解解:(1)选选B为参照系，则为一惯性系，系统的机械能守恒为参照系，则为一惯性系，系统的机械能守恒max21021201)(21lmmGlmmGvm 02022max22lvlGmGml （）选地面为参照系，则当（）选地面为参照系，则当m1、m2以共同速度以共同速度运动运动时两者之间距离最大，运用功能原理，外力时两者之间距离最大，运用功能原理，外力做的功为：做的功为：)21()(2121021202max21202201lmmGvmlmmGvmvmAF201021max2120121vmlmmGlmmGvmAFm1ml0BFV0V0例例7.已

29、知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如图，已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如图，求质点由静止下滑至最低点时给木块的压力求质点由静止下滑至最低点时给木块的压力.解：解： 设质点下滑至最低点时的速度为设质点下滑至最低点时的速度为Vm,凹槽的速度为凹槽的速度为VM0MmMVmV机械能守恒机械能守恒222121MmMVmVmgR m相对相对M作圆周运动，作圆周运动，m在最低点时，木槽加速度为在最低点时，木槽加速度为0此时此时M为为惯性系惯性系，以，以M为参照系，利用牛顿定律为参照系，利用牛顿定律RVmmgNmM2 而而MmmMVVV mgMmN)32( 联立求解各式可得联立求解各式可得xmM

30、RNmg水平方向动量守恒水平方向动量守恒mvMv例例8.航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙速航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙速度度，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度，设地球，设地球的半径为的半径为，地球绕太阳公转的速度，地球绕太阳公转的速度为为，试求，试求、。m61037. 6skm/8 .29skm/8 .29vmr9010SES解：解：EEERvmRmMG212 （）（）02122 EERmMGmvskm /8 .29vmr9010SES(1)smgRv

31、E/109 . 731 smvgRvE/102 .1122312 （）、设脱离地球引力圈时，航天器的速度为（相（）、设脱离地球引力圈时，航天器的速度为（相对地面），此时不考虑太阳的引力，则：对地面），此时不考虑太阳的引力，则：2232121mvRmMGmvE )021(22 EERmMGmv22223vvv skm /8 .29vmr9010SES以太阳为参照系，设它相对太阳以速度以太阳为参照系，设它相对太阳以速度运动时可脱离太阳系，运动时可脱离太阳系，则则2v021022 rmMGvmS式中式中r0是地球到太阳的距离，为了充分利用地球公转速度，使航天是地球到太阳的距离，为了充分利用地球公转速

32、度，使航天器在脱离地球引力圈时，速度方向沿地球公转方向，这样航天器相器在脱离地球引力圈时，速度方向沿地球公转方向，这样航天器相对地球的速度应为对地球的速度应为42.1-29.8=12.3Km/sskmvvv/7 .162223smrGMvS/1 .428 .292202 skm /8 .29vmr9010SES例例9.一颗星体在引力作用下不断坍缩，当它的半径一颗星体在引力作用下不断坍缩，当它的半径R小于小于某一某一值值R0时，我们就再也看不到该时，我们就再也看不到该星体了，即星体上的星体了，即星体上的任何粒子（包括光子），均不逃离该星体，这样一个以任何粒子（包括光子），均不逃离该星体，这样一个

33、以R0为半径的引力极大的球形区域就称为黑洞。若用牛为半径的引力极大的球形区域就称为黑洞。若用牛顿引力顿引力理论估算理论估算R0值与该星体质量值与该星体质量M的关系，则的关系，则R0是多少？是多少？解：光子的动能解：光子的动能22002mccmmcEK 光子与星体构成系统的能量：光子与星体构成系统的能量：RMmGmcEEEPK2光子处于束缚态的条件为：光子处于束缚态的条件为：0E02RMmGmc20cGMR的作用，的作用，：一个质量为：一个质量为m的质点，仅受到的质点，仅受到3rrkFr式中式中k为常数为常数,为从一定点到质点的矢径，该质点在为从一定点到质点的矢径，该质点在r=r0处被释放，由静

34、止开始运动，则当它到达无穷远处时的速处被释放，由静止开始运动，则当它到达无穷远处时的速度为多少？度为多少？（答案答案：）02mrk、一弹簧原长为、一弹簧原长为l 0=0.1m，倔强系数为，倔强系数为Nm,其一端固定，其一端固定，另一端与在半径为另一端与在半径为.1m的圆环上的小环相连，在小环由中点的圆环上的小环相连，在小环由中点移到另一端的过程中，弹簧的拉力对小环作的功为多少？移到另一端的过程中，弹簧的拉力对小环作的功为多少？BAC（答案（答案:.）练习练习3、一固定质点，质量为、一固定质点，质量为，与质量为，与质量为m的质点之间存在万的质点之间存在万有引力，现有质量为有引力，现有质量为m的质

35、点由的质点由a点沿任意曲线移到点沿任意曲线移到b点。点。试证明，万有引力对该质点所做的功与路径无关。试证明，万有引力对该质点所做的功与路径无关。abmbrar4、试根据质点动量定理推导由两个质点组成的质点系的动量、试根据质点动量定理推导由两个质点组成的质点系的动量定理，并定理，并导出动量导出动量守恒的条件。守恒的条件。5在光滑水平面上，有一弹簧，其一端固定于光滑的轴承上，在光滑水平面上，有一弹簧，其一端固定于光滑的轴承上，另一端拴一质量为另一端拴一质量为m=2kg的质点，弹簧的质量很小，原长很的质点，弹簧的质量很小，原长很短，因此可以短，因此可以忽略不计。当质点沿半径为忽略不计。当质点沿半径为

36、r的圆周作匀速运的圆周作匀速运动时，弹簧作用于质点上的弹性力的大小为动时，弹簧作用于质点上的弹性力的大小为3r（N），此时系），此时系统的总能量为统的总能量为12J.求质点的运动速率及圆轨道半径。求质点的运动速率及圆轨道半径。r水平面水平面答案：答案：r=2m,v=2.45m/skrrvm 2rkr3 12212122 krmv62 v2 r6、质量为、质量为m=0.5kg的质点，在的质点，在xoy坐标平面内运动，运动方程为坐标平面内运动，运动方程为,42,5 . 0,52sttytx 这段时间内，外力对质点做的功为多少？这段时间内，外力对质点做的功为多少？（答案：（答案：3J）7、如图，在光

37、滑的水平面上，放有一倾角为、如图，在光滑的水平面上，放有一倾角为 的木块，在楔的木块，在楔块上放有一质量为块上放有一质量为m的质点，开始时，的质点，开始时，m、M均静止，当质点均静止，当质点沿斜面运动时，在竖沿斜面运动时，在竖直方向下降直方向下降h时，试证明该木块对地的速时，试证明该木块对地的速度为：度为：)sin)(cos2222 mMMmghmVM 提示提示:VmM为为相对斜面的速相对斜面的速度度。利用系统水平方向动量利用系统水平方向动量守恒和系统的机械能守恒求守恒和系统的机械能守恒求解解mMMmVVV mMxMmxVVV hM mVmMVM x0MmxMVmV 2222221212121mymxMmMVVMMVmVMVmgh 8.一辆一辆质量为质量为m4kg的雪橇的雪橇,，沿与水平面成，沿与水平面成36.9度的斜坡向下滑动，度的斜坡向下滑动，所受空气阻力与速度所受空气阻力与速度大小成正比，比例系数大小成正比，比例系数K末知，现测得雪橇运末知，现测得雪橇运动的动的Vt关系曲线如关系曲线如示，示，t=0时，时，V0=5m/s,且曲线在该点切线通过的且曲线在该点切线通过的坐标为（坐标为（4s,14.8m/s)的的B点，随着点，随着t的增加，的增加，V趋于趋于10m/s,求阻力系数求阻力系数K和雪橇与斜坡之间的摩擦系数和雪橇与斜坡之间的摩擦系数 .tV(m/s)