随机变量及其概率分布

1、二、随机变量及其概率分布二、随机变量及其概率分布 考试内容考试内容 随机变量随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质随机变量分布函数的概念及其性质 离散型离散型随机变量概率分布随机变量概率分布 连续型随机变量概率密度连续型随机变量概率密度 常见随机变量的分布常见随机变量的分布 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 给定一个试验, 所有可能的结果的全体构成一个集合,这个集合称作样本空间, 用大写的希腊字母表示, 这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个样本点, 可以用小写的希腊字母表示. 建立一个从样本空间到实数集合的一个映射, 即每给定一个实验结果或者样本点, 存在着唯一的一个实数()

2、与之对应.这样就建立了一个自变量为而函数值则为实数的一个特殊的函数. 我们称之为随机变量随机变量.1.1.随机变量随机变量（一）随机变量及其分布函数（一）随机变量及其分布函数3421xabc 四个样本点的一个样本空间映射到实数a,b,c的一种映射. 注意1和2映射到同一个实数b, 这是一种常见的情况. 每一种映射方法, 被称为一个随机变量. 一般用希腊字母 或大写字母X,Y,Z等表示, 当我们看到一个随机变量X时, 可以想到一种在实数轴上进行的随机试验, 每次试验的结果的样本空间就是实数集合, 每一次试验都将产生一个具体的实数, 但具体产生哪个实数不可预知.这就是随机的意思.一些随机变量的例(

3、1) 一个射手对目标进行射击, 击中目标记为1分, 未中目标记为0分. 如果用X表示射手在一次射击中的得分, 则它是一个随机变量, 可以取0和1两个可能的值.(3)单位面积上某农作物的产量X是一个随机变量, 它可以取一个区间内的一切实数值, 即X 0,T, T是一个常数.(2) 某段时间内候车室的旅客数目记为X,它是一个随机变量, 可以取0及一切不大于M的自然数, M为候车室的最大容量. 给定一随机变量X, 它有可能取某些值, 而没有可能取另一些值. 因此可按取值情况将随机变量分为两类:定义 如果随机变量X只取有限个或可列个可能值, 而且以确定的概率取这些不同的值,则称为离散型随机变量.(2)

4、 非离散型随机变量非离散型随机变量 可能取任何实数. 非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量.(1) 离散型随机变量离散型随机变量 只可能取有限个或无限可列个值:2.离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律（两种表示）1）将X可能取的值及相应概率列成概率分布表Xx1x2xkPp1p2pk2）用一系列等式表示: P(X =xk)=pk (k=1,2,)这被称作随机变量X的概率函数(或概率分布).其中X =x1, X =x2, , X =xk, 构成完备事件组.1)2(,.2, 10)1 (kkkpkp 两个性质经常在解题中构成解方程的一个条件.尤其是性质(2).分布律具有如下性质:（非负

5、性）（归一性）1)两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布, 称为两点分布. 其概率函数为P(X=xk) = pk(k =1,2)3.常用离散型分布常用离散型分布Xx1x2Pp1p2分布律图示为p1p2x1x2概率分布表为:两点分布的特殊情况 0-1分布：只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称为01分布. 其概率函数为P(X =k)=pk(1-p)1-k(k=0,1)X01P1-pp分布律图示为x1-pp011概率分布表为:2)二项分布： XB(n,p)(1)kkn knP XkC pp-.模型：n次贝努里独立试验概型中, 事件A发生k次.3)超几何分布12()kn kNNnNC C

6、P XkC-模型：将N个元素分为N1个和N2个两类, N1+N2=N, 从中任取n个, 其中N1个元素的个数是一随机变量, 服从超几何分布, 且有4)泊松分布（Poisson）(),0,1,2,!kP Xkekk-分布律交换台一定时间内收到的用户呼叫次数;到某机场降落的飞机数；某售票窗口接待的顾客数;一段时间内某器皿内的细菌数.0 二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似：当n很大，p接近于0或1时，有近似公式(),k0,1,2,kkkn-k-nC p1- pek!P X = k =(1)kkn knP XkC pp-(),0,1,2,!kP Xkekk-二项分布泊松分布4.随机变量的分布函数随机

7、变量的分布函数定义 若X是一个随机变量(可以是离散型的, 也可以是非离散型的), 对任何实数x, 令 F(x)=P( X x)称F(x)是随机变量X的分布函数.分布函数与概率函数满足关系:()(1,2,3,.)kkP Xxpk:( )kkk xxF xp(由分布律可求出一个随机变量的分布函数)概率函数分布函数33123112122215 .02 .00)(xxpppxxxppxxxpxxxF例 假设 x1=0, x2=1, x3=1 P(x1)=0.2=p1, P(x2)=0.3=p2, P(x3)=0.5=p3,则分布函数为F(x)的图形为x2x1x3F(x) 对任意实数x1x2, 因X x

8、2X x1,故x1X x2=X x2X x1于是 P(x1X x2)=P(X x2)P(X x1)即 P(x1a)和B=(Ya)独立,且P(AB)=,43试求常数a.解 由已知条件P(A)=P(B),且P(AB)=P(A)P(B),于是P(AB)= P(A)P(B) P(AB)=2 P(A)P2(A),43即 P2(A) 2 P(A)304解方程，得23)(,21)(APAP(舍去)又 22331( )()( )(8)88aaP AP Xaf x dxx dxa-3384,4.aa-故考点四：求随机变量函数的分布考点四：求随机变量函数的分布对离散型随机变量按公式直接求；对连续型随机变量则用分布

9、函数法或直接带公式（重点和难点）例12 已知离散型随机变量X的分布率为X 1 1 3pi 0.4 0.4 0.2求YX2 的分布律.解 因 X2 1 1 9pi 0.4 0.4 0.2X2 1 9 pi 0.8 0.2 故（合并）例13 已知随机变量X的概率密度f X(x),求随机变量Y=minX,X2的概率密度f Y(y).解 Y=minX,X2 ) 1 , 0(,) 1 , 0(,2XXXX2(),0( )()(min,)(),01(),1YP XyyF yP YyPXXyP XyyP Xyy( ),0( ),01( ),1yXyXyXfx dxyfx dxyfx dxy-的分布函数为(

10、),0( )( ),01( ),1yXyYXyXfx dxyF yfx dxyfx dxy-于是，Y的密度函数为1( ),(0,1)2( )( )( ),(0,1)XYYXfxyyfyF yfxy（不必积分出来）注注：若f X(x)是具体的分段函数，计算时注意分段函数的积分.1( )3f x 2( )9f x 136Oyx解解: 绘出f(x)的图形. 可知应填1,3.1.(003)若k使得23P Xk, 则k的取值范围是_.设随机变量X的概率密度为 考研题与练习题考研题与练习题1,2142P X 2.(021) 设随机变量 且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为 则应填4.解解 二次方程的

11、判别式为42-4X4,依题意有),0(),(2NX._43.(06134) 设222(,),YN 211(,),XN 且,1121-xPxP. (D) . (C) .)( .)(2212121BA则必有解 选A.11111222221212111()111()11()()xP xPxP xP- - 231,1,8.( )30,Xxfxx若其它. FX(x)是X的分布函数,求随机变量Y=F(X)的分布函数.4.(03) 设随机变量X的概率密度为21333111( )( )dd13xxxF xf ttttxt-解解 当x8时, F(x)=1.当x1,8时,X的分布函数30,1( )1,181,8X

12、xFxxxx- 设Y=F(X)的分布函数为GY(y), 因0Y1. 因此, 当y0时, GY(y)=0, 当y1时, G(y)=1, 当0y1时333( ) ()1(1) (1) .YGyP YyP F XyPXyP XyFyy- 0,0,( ),01,1,1,YyGyyyy即Y=F(X)服从在0,1上的均匀分布.所以, Y=F(X)的分布函数为11( )( ).P XFyG Fyy-因Y=F(X)的分布函数,于是有0F(X)1. 因此，方法二( ) ()YGyP YyP F Xy当y0时, GY(y)=0, 当y1时, GY(y)=1, 当0 y1时,( ) ()YGyP YyP F Xy0,0,( ),01,1,1,YyGyyyy所以, Y=F(X)的分布函数为注注：Y=F(X)的分布函数与X服从什么分布没有关系.结论结论: 连续型随机变量X的分布函数Y=F(X)服从 0,1上的均匀分布.1,1021( ),0140,Xxfxx- 其其它它5.（06134） 设随机变量X的概率密度求Y=X 2 的概率密度f Y(y).解 2(