信号与系统课后习题与解答第一章

1、若是离散时间信f f(t)只取1, 2, 3, 4值1-1分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信 号是否为数字信号？432 10图1-2解信号分类如下:信号连续离散模拟：幅值、时间均连 量化：幅值离散，时间 抽样：时间离散，幅值 数字：幅值、时间均离续(例见图1 2(a) 连续(例见图1 2(b) 连续(例见图1 2(c) 散(例见图1 2(d)图1-1所示信号分别为号量号号号号 士口 I 士口士口士口 上口 组续>>>> 连连离离离离(a)(b)(c)(d)(e)(f) 1-2分别判断下列各函数式属于何种信号？(重复 1-1题所示问)(1) e at

2、sin( t)；(2) enT;(3) cos(n )；(4) sin(n 0)( 0为任意值)；21(5)-。2解由1-1题的分析可知：(1)连续信号；(2)离散信号；(3)离散信号，数字信号；(4)离散信号；(5)离散信号。1-3分别求下列各周期信号的周期T：(1) cos(10t) cos(30t);(2) ej10t；(3) 5sin(8t)2;(4) ( 1)n u(t nT) u(t nT T)(n为整数)。n 0解判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周

3、期信号。(1)对于分量cos(10t)其周期T1 ;对于分量cos(30t),其周期T2 。由于一5155为、T2的最小公倍数，所以此信号的周期 T(2)由欧拉公式 ej t cos( t) jsin ( t)即 ej10t cos(10t) jsin (10t)得周期T - -o10521 cos(16t)25 25(3)因为 5sin(8t) 25 一 一 cos(16t)222所以周期T 。168(4)由于1,2nT t (2n 1)T原函数n为正整数1,(2n 1)T t (2n 2)T图1-31-4对于教材例1-1所示信号，由f(t)求f(-3t-2),但改变运算顺序，先求f(3t)

4、或先求f(-t), 讨论所得结果是否与原例之结果一致。解原信号参见例1-1 ,下面分别用两种不同于例中所示的运算顺序，由f(t)的波形求得f(-3t-2)的波形。两种方法分别小于图1-4和图1-5中。图1-4图1-51-5已知f(t),为求f(to at)应按下列那种运算求得正确结果(式中to,a都为正值)?(1) f ( at)左移 to ；(2) f(at)右移 to；(3) f (at)左移”； a(4) f( at)右移 t0。a解(1)因为f( at)左移to,得到的是f a(t to)f( at at。)，所以采用此种运算不行。(2)因为f(at)右移to,得到的是f a(t to

5、)f (at at。)，所以采用此运算不行。(3)因为f(at)左移纹，得到的是f a(t左)f(at to),所以采用此运算不行。 aa(4)因为f( at)右移城，得到的是f a(t与 f(to at),所以采用此运算不 aa行。1-6绘出下列各信号的波形：1 、(1) 1 -sin( t) sin(8 t)；(2) 1 sin( t) sin(8 t)。解(1)波形如图1-6所示(图中f(t) 1 -sin( t) sin(8 t) 2f(t)(2)波形如图所示 1-7 (图中 f(t) 1 sin( t) sin(8 t)1-7绘出下列各信号的波形：，_4、(1) u(t) u(t T

6、) sin(t);T4 、(2) u(t) 2u(t T) u(t 2T) sin( -t) 0解sin(土 t)的周期为To T2(1)波形如图1-8 (a)所示(图中u(t) u(t T) sin(4rt) )0在区间0,T ,内，包 含有sin(4t)的两个周期。Tf(t)f(t)(a)(b)图1-84(2)波形如图1-8 (b)所小(图中 u(t) 2u(t T) u(t 2T) siWt)。在区间 T,2T 内是 sin(；t),相当于将sin(；t)倒像。1-8试将教材中描述图1-15波形的表达式（1-16）和（1-17）改用阶越信号表示。 解表达式（1-16）为当 0 t t0t

7、o）当 t0 tf(t)ateat a(te e这是一个分段函数。若借助阶越信号，则可将其表示为f(t) e at u(t) u(t t°) eat ea(tt0)u(t表达式(1-17)为t1(1 eat)(09dl a 11(1 eat) -(1 ea(tt0) (t0 aat0) e atu(t) e a(t t0)u(ttt。)t )t°)借助阶越信号，可将其表示为tf( )d1at-(1 e )u(t) u(t t°) a1at 1a(t t°) i(1 e ) 一 1 e u(t aat0)1(a eat)u(t) -1 ea(tt0)u(t

8、 t°) aa1-9粗略绘出下列各函数式的波形图：(1) f(t) (2 e t)u(t);(2) f(t) (3e t 6e2t)u(t)；(3) f(t) (5e t 5e3t)u(t)；(4) f(t) e tcos(10 t)u(t 1) u(t 2)图1-9(1)信号波形如图1-9 (a)所示(2)信号波形如图1-9 (b)所示(3)信号波形如图1-9(4)信号波形如图1-9(c)所示。(d)所示。在区间1 , 2包含cos(10 t)的5个周期1-10写出如图所示各波形的函数式。图1-10(c)解(a)由图1-10 (a)可写出11-t ( 2 t 0)2.1f112t(

9、0 t 2)0(其它)于是 f(t) 1 M u(t 2) u(t 2) 2(b)由图1-10 (b)可写出0 (t 0)f(t)1(0t1)2(1t2)3 t 2于是 f(t) u(t) u(t 1) 2u(t 1) u(t 2) 3u(t 2) u(t) u(t 1) u(t 2)实际上，可看作三个阶越信号u(t), u(t 1), u(t 2)的叠加，见图1-11,因而可直接 写出其函数表达式为u u(t)“ u(t-1)U u(t-2)t 01t 0t图1-11f(t) u(t) u(t 1) u(t 2)(c)由图1-10 (a)可写出f(t)Esin -t (0 t T)0(其它)

10、于是 f(t) Esin t u(t) u(t T) T1-11绘出下列各时间函数的波形图:(1) tetu(t)；(2) e(t1)u(t 1) u(t 2)；(3) 1 cos( t)u(t) u(t 2)；(4)(5)u(t) 2u(t 1) u(t 2)； sin a(t t0)(6)a(t to)'d .一e t sin tu(t) o dt图 1-12(2)(3)(4)信号波形如图信号波形如图信号波形如图1-12(b)1-12(c)1-12(d)所示,所示,所示,图中图中图中f(t) f(t) f(t)e1(t1)u(t 1) u(t 2)。cos( t)u(t) u(t

11、2)。u(t) 2u(t 1) u(t 2)。(5)信号波形如图1-12(e)所示,图中f(t)sin a(t to)a(t to)，信号关于t to偶对称。(6)因为t sin tu (t)e t sin tu(t) e t cos tu (t)t sin t (t)e t sin tu(t)t .1cos tu(t)cost 2e tu(t)所以该信号是衰减正弦波。其波形如图1-12(f)所示，图中f(t) e tsin tu(t) dt1-12绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区间:(1) tu(t) u(t 1)；(2) t u(t 1);(3) tu(t) u(t 1) u(t

12、1);(4) (t 1)u(t 1);(5) (t 1)u(t) u(t 1);(6) tu(t 2) u(t 3)；(t 2)u(t 2) u(t 3)0图1-13(2)信号波形如图1-13(b)所示, (3)信号波形如图1-13(c)所示, (4)信号波形如图1-13(d)所示, (5)信号波形如图1-13(e)所示, (6)信号波形如图1-13 所示, (7)信号波形如图1-13(g)所示,图中 f (t) t u(t 1)。图中 f(t) tu(t) u(t 1) u(t 1)图中 f(t) (t 1)u(t 1)。图中 f(t) (t 1)u(t) u(t 1) o图中 f(t) t

13、u(t 2) u(t 3)。图中 f(t) (t 2)u(t 2) u(t 3)1-13绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别:(1) f1 (t)sin(t)u(t);(2) f2(t)sin(t to)u(t);(3) f3(t)sin(t)u(tto);(4) f1(t)sin(tto)u(tto)。to图1-14(d)(2)信号波形如图1-14(b)所示(3)信号波形如图1-14(c)所示。(4)信号波形如图1-14(d)所示。1-14应用冲激函数的抽样特性，求下列表示式的函数值:(1) f(t to) (t)dt ;(2) f(to t) (t)dt;(3) (t to)u(t

14、0)dt；2(4) (t to)u(t 2to)dt;(5) (e t t) (t 2)出；(6) (t sint) (t )dt；6 e jt (t) (t to) dto解有冲激信号的抽样特性f(t) (t to) dt f(to)得(1) f(t to) (t)dt f( to)(2) f(to t) (t)dt f (to)(3)设 too ,则(tto )u(t"2) dtu to _2' u 彳(4)设 to。，则(tto)u(t2to) dtu( to)o(5) (e t t) (t 2)出 e2 21(6) (t sin t) (t ) dt sin 一 66

15、66 2(7) e j t (t) (t to) dt 1 e j b此题的(3)、(4)两小题还可用另一种方法求解：(3)冲激(t to)位于b处，阶越信号ut ：始于因而(t to)u t， (t to)则原式二 (t t0) dt 12to)始于2to ,也就是说在to处，u(tto)(4)冲激仍位于to ,而u(t(t to)u(t 2to) 0则原式二0dt 01-15电容C1和C2串联，以阶越电压源v(t) Eu串联接入，试分别写出回路中的 电流i(t),每个电容两端电压vC1(t)、vC2(t)的表达式。i(t) + 0 oC-CViL1(t);12代)1II,v4)LL1LL2

16、C2-0 0图1-15图1-16解 由题意可画出如图1-15所示的串联电路，两电容两端的电压分别为 VC1(t), VC2(t),则回路电流C1C2 dv(t) CiC E (t)其中，生-为C1、C2的串联等效电容值。 C1 C2 dt C1 C2C1C2再由电容的电流和电压关系，有VC1(t) J i(t)dt，E u(t)C1C1C2VC2(t)； t i(t)dt J1： u(t)C2C1C21-16电感L1与L2并联，以阶越电流源i(t)山(t)并联接入，试分别写出电感两端电压v(t)、每个电感支路电流iL1(t)、iL2(t)的表示式。解 由题意可画出图1-16所示并联电路，两条电

17、感支路的电流分别为iL1(t)和iL2(t), 则电感两端电压v(t)LL di(t)L1 L2 dtL1 L2L1 L2其中工为LL1L2L2的并联等效电感值。再由电感的电流和电压关系，有iL1(t) v(t)dt u(t) L1L1L2iL2(t)L2v(t)dtLiIL1L2u(t)1-17分别指出下列各波形的直流分量等于多少？(1)全波整流 f(t) |sin( t)；(2) f(t) sin2( t);(3) f (t) cos( t) sin( t);(4)升余弦 f(t) K1 cos( t) o解(1) sin( t)的周期为2-, |sin( t)的周期为一，因而f(t)的直

18、流分量1 T1.12fD T 0 f(t)dt 0 sin( t)dt - cos( t)|0( 1 1)一211(2) f(t) sin ( t) cos(2 t)由于cos(2 t)在一个周期内的平均值为0,因而 2 21f(t)的直流分量fD - o222 .一(3) f(t)的两个分室cos( t)和sin( t)的周期均为 ,因而的周期也为 o但由于cos( t)和sin( t)在一个周期内的均值都为0,所以f(t)的直流分量fD 0。(4) f(t)与(2)中f(t)类似，所以fD K ,理由同(2)。1-18粗略绘出图1-17所示各波形的偶分量和奇分量(c)(d)图 1-17解(

19、a)信号f(t)的反褶f( t)及其偶、奇分量fe(t)、fo(t)如图1-18 (a)、(b)、(c)所示。(b)因为f(t)是偶函数，所以f(t)只包含偶分量，没有奇分量，即fe(t) f(t), fo(t)0(c)信号f(t)的反褶f( t)及其偶、奇分量fe(t)、fo(t)如图1-19 (a)、(b)、(d)信号f(t)的反褶f( t)及其偶、奇分量fe(t)、 fo(t)如图1-20 (a)、(b)、图 1-209 fo (t)1-19绘出下列系统的仿真框图：(1) -d-r (t)aOr b。e bi -d-e(t) ;dtdt(2) dyr(t) ai r(t) aor(t)

20、b0e(t) bi e(t) dt出dt解(1)选取中间变量q(t),使之与激励满足关系:dq) a°q(t)&t)dte(t) a0q(t),易画出如图1-21 (a)所示的方框图。再将代a°q(t)bq"(t)aoq'(t)b0q(t) bq"(t)a。b0q(t)bq'(t)将此式改写成ddt入原微分方程，有r'(t) aor(t) boq'(t)对比两边，可以得到q(t)与r(t)之间的关系式:r(t)b0q(t) b1q'(t)将此关系式在图1-21 (a)中实现，从而得到系统的仿真框图，如图1-

21、21 (b)所示图 1-22ao图 1-21(2)方法同(1)。先取中间变量q(t),使q(t)与e(t)满足:q"(t) aq。) a°q(t)e(t)将式代入原微分方程后，易看出q(t)与r(t)满足：r(t) b°q(t) “q'(t)将、式用方框图实现，就得到如图1-22所示的系统仿真框图 bi1-20判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的?(1) r(t) det);dt(2) r(t) e(t)u(t);(3) r(t) sine(t)u(t)；(4) r(t) e(1 t)；(5) r(t) e(2t)；(6) r(t) e2；t . r

22、(t)e( )d ；5t(8) r(t)e( )d 。解(1)由于de1(t) j(t) h(t)172dte2(t)r2(t)de2(t)dt而 C1e1(t) C2e2(t)C1rl (t) C2r2(t)C1 de r2(t) C2 de2dtdt所以系统是线性的。当e(t) r(t)胆8,而激励为e(t 1)时，响应为dtr(t to)de(t M)de(t 3)dtd(t t0)所以系统是时不变的。由r(t) de®可知，响应r(t)只与此时的输入e(t)有关，与这之前或之后的输入都无 dt关，所以系统是因果的。(2)由于e1(t)Mt) e(t)u(t)e2(t)2(t)

23、 e2(t)u(t)而 Ce1(t) C2e2(t)Cei(t)u(t) C2O(t)u(t)CE(t) C2r2(t)所以系统是线性的。由于当 e1(t)u(t 1) u(t 1)时，r1(t) u(t) u(t 1)而 e2(t) e1(t 1) u(t) u(t 2)时，搂 u(t) u(t 2) "t 1),即当激励延迟1个单位时，响应并未延迟相同的时间单位，所以系统是时变的。由r(t) e(t)u(t)可知，系统只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。(3)由于e1(t) r1 (t) sine1(t)u(t) e2 (t) r2 (t) sine2 (t)u(t) 而C1

24、e1 (t) C2e2(t)r(t) sin C1e1(t)u(t) C2e2(t)u(t)C1r1(t) C2r2(t)C1sine1(t)u(t) C2sine2(t)u(t)所以系统是非线性的。当激励为e1(tt0 )时，响应 r(t)sin e1 (t)u(t)sin e1 (tt0)u(t t0) r(tt0 )所以系统是时变的。由r(t) sine(t)u(t)可知，响应只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。( 4)由于e1(t) r1 (t) e1(1 t) e2 (t) r2 (t) e2(1 t) 而C1e1 (t) C2e2(t)r(t)C1e1(1 t) C2e2(1

25、t)C1r1 (t) C2r2(t)所以系统是线性的。由于当e1(t)u(t) u(t 1.5)时，r1(t) u(t 0.5) u(t 1)而当e2(t)e1(t0.5) u(t 0.5) u(t 2) 时，r2(t)u(t 1) u(t 0.5) r1(t 0.5)所以系统是时变的。令 r (t) e(1 t) 中 t 0 ，则有，说r (0) e(1) 明响应取决于将来值(0时刻输出取决于 1时刻输入)，所以系统是非因果的。( 5)由于e1(t)r1 (t)e1(2t)e2 (t)r2 (t)e2 (2t)而C1e1 (t) C2e2(t)C1e1(2t)C2e2(2t)C1r1(t)

26、C2r2(t)所以系统是线性的由于当e1(t)u(t) u(t 1)时，r1 (t)u(t) u(t 0.5)而当e2(t)e1(t1) u(t 1) u(t 2) r2(t)u(t 0.5) u(t 1)r1 (t 1)所以系统是时变的。对于r(t) e(2t)，令t 1,有r(1) e(2),即响应先发生，激励后出现，所以系统是 非因果的。( 6)由于e1(t)r1 (t)e12(t)2 e2 (t)r2 (t)e22 (t)而2C1e1 (t) C2e2(t)r(t)C1e1(t) C2e2(t)2C1r1(t) C2r2(t)所以系统是非线性的。由于 e1(t)r1(t) e2(t)2

27、e2(t) 0。 to)/)e2(t to) (t t。)所以系统是时不变的。由r(t) e2知，输出只与现在的输入值有关，所以系统是因果的(7)由于te1(t)r(t)e，)dte2(t)二 e2( )dtt而C©(t) C2e2(t)Ciei( )dC2e?( )dCji(t) C2 r2(t)所以系统是线性的。,tt a t to由于 e(t to)r( to)d ° e(a)da r(t t。)所以系统是时不变的。t由r(t)e( )d可知，t时刻的输出只与t时刻以及t时刻之前的输入有关，所以系统是因果的。(8)由于5tei(t)r1(t)e1( ) d5te2(t

28、)Mt)e2( )d5t而 Ge(t) C2a(t)C©()Ciri(t) C2r2(t)所以系统是线性的。5t由于 e(t to) e(to)dC2e2( )dto a5tCi5te( a) daei( )dC25(t to)e(a)da5te2( )d )r(t to)所以系统是时变的5t5对于 r(t) e( )d，令t i,有 r(i) e( )d即输出与未来时刻的输入有关，所以系统是非因果的i-2i判断下列系统是否是可逆的。若可逆，给出它的逆系统；若不可逆，指出使该 系统产生系统输出的两个输入信号。(D r(t) e(t 5)；(2) r(t) de(t)；dt(3) r(t)e