勾股定理经典例题(含答案)29050

1、经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtA ABC 中，/ C=90(1)已知 a=6, c=10,求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c; (3)已知 c=25, b=15,求 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使 用。解析：(1)在4ABC 中，/ C=90 , a=6, c=10,b=/V-J =*(2)在4ABC 中，/ C=90 , a=40, b=9,c=3+(3)在AABC 中，/ C=90 , c=25, b=15,a一=2。举一反三【变式】：如图/ B=/ACD=90是多少？【答案】/ ACD=90AD = 13

2、, CD=12.AC2 =AD2 CD2,AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长精选文档= 132-122 =25.AC=5又/ ABC=90 且 BC=3由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52 32=16.AB= 4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在必死中，5 = 6尸，AC = 10 . .45=30 .求：BC的长.思路点拨：由条件上夕=6。口，想到构造含3。口角的直角三角形，为此作于D,则 有/B3 30。,2,再由勾股定理计算出 AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作/口，比于D,则因4二5。口，反W = 90。-60。= 30（用的两个锐

3、角互余）B） = -AB=15.2（在E中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在此人口中,AD = JAB2-BD2 =历二于=15、回 .根据勾股定理，在她5中，C7?= 4AC2 - AD2 = go3-必3 = 65 .求证：朋 一E： - 匚 I -二.1-1：举一反三【变式1】如图，已知：Q ,工材产产U2于P.B解析：连结BM ,根据勾股定理，在电中, 国二 RM - PM .而在aAAMF中，则根据勾股定理有MP1 = AM1 一 AP2 . 5F2 = 8M2 - iAM2 = W2 - AM2 +又二期上。肱（已知）， 二1 二；二二

4、1-5.在曲AECM中，根据勾股定理有 二1二二 ,AB=4, CD=2。求：四边形 ABCD【变式2】已知：如图，/B=/D=90 , /A=60的面积分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选 第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E . /A=/60 , / B=90 , ./E=30 。 .AE=2AB=8, CE=2CD=4,BE2=AE 2-AB2=82-42=48, BE=标=4K。: DE 2= CE 2-CD2=42-22=12 ,DE=屈=2眄 .S 四边形

5、abcd=S.abe-Sacde=2AB - BE-2 CD . DE=6g类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A点出发，沿东600方向走了 加国 到达B点，然后再沿北偏西30方向500m到达目的地C点。(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地C在营地A的什么方向解析：(1)过B点作BE/AD./ DAB= /ABE=6030 +/CBA+/ABE=180 ./CBA=90即AABC为直角三角形由已知可得：BC=500m, AB=二由勾股定理可得：，-所以（2）在 RtA ABC 中， . BC=500m, AC=100

6、0m ./CAB=30 / DAB=60 . / DAC=30即点C在点A的北偏东30的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某 工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ？梁 N-工米-【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CDXAB , 与地面交于H.解：OC=1米（大门宽度一半），OD=0.8米 （卡车宽度一半）在RtAOCD中，由勾股定理得：CD=g=0 .6 米，CH=0 .6 + 2 .3 = 2 .9 （米）2 .5 （米）.因此高度上有0.4

7、米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四 个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下, 哪种架设方案最省电线.C B C R C B H (4)思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路 长，然后进行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD =3, AB+BC+CD =3图（3）中，在RtA ABC

8、中AC 二AB/BC2 =近同理,，图（3）中的路线长为图（4）中,延长EF交BC于H ,则FH BC, BH = CH3d 加二-由/FBH=2及勾股定理得：EA=ED = FB= FC= 3 6垂.EF = 1 2FH=1亍此图中总线路的长为4EA+EF =1+后8 2.73232.8282.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm, B C是上底面的直径.只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.解:精选文档cm,根据勾股定理得如图，在RtABC中，B。=底面周长的一半=1 0

9、（提问：勾股定理）.AC= J= 2而=10. 77 （cm）（勾股定理）.答：最短路程约为10.77 cm.类型四：利用勾股定理作长为 近的线段5、作长为陋、也、石的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 也，直角边为上和1的直角三角形斜边长就是 跑,类似地可作右作法：如图所示（1）作直角边为1 （单位长）的等腰直角 ACB,使AB为斜边；（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角用班。斜边为走工；顺次这样做下去，最后做到直角三角形 曲片，这样斜边期、幽、月鸟、幽的长 度就是上、也、石、有。举一反三【变式】在数轴上表示质的点。解析：可以把而 看作是直角三

10、角形的斜边，1。,为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3和1。作法：如图所示在数轴上找到 A点，使OA=3，作ACXOA且截取AC=1 ,以OC为半 径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点 B即为标。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 .原命题：猫有四只脚.（正确）2 .原命题：对顶角相等（正确）3 .原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2.

11、逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上? （正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果AABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断AABC的形 状。思路点拨：要判断AABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,. （

12、a-3：+（b-4）2+（c-5）2=0。; （a-3j0, （b-4）20, （c-5；20oa=3, b=4, c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形。总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。举一反三【变式 11 四边形 ABCD 中，/B=90 , AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四边形ABCD的面积。【答案】：连结AC /B=90 , AB=3, BC=4 .AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理） .AC=5 . AC2+CD2=169, AD2=169 .AC2+CD

13、2=AD2 . / ACD=90（勾股定理逆定理）S四地&+ mb 二夏. EC H丁匚【变式2已知:ABC的三边分别为m2 n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且m n）判断ABC是否为直角三角形分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明：a2+b2=c2即可证明:（加 一丹二尸+ （2附制丫 - 2掰%*+同*+加，二幽,十2加/十/=（馆。+ /产所以 ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD, E为BC中点，F为AB上一点，且BF=4 AB请问FE与DE是否垂直？青说明。【答案】答：DEXEFo证明：设 BF=a,贝U BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a,.

14、EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE 2=CE 2+CD 2=4a2+16a2=20a2连接DF （如图）DF2=AF 2+AD 2=9a2+16a2=25a2DF2=EF2+DE2FEXDE经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值 设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是 3x, 4x,根据题意得：(3x) 2+ (4x) 2 = 202化简得x2=i6；J直角三角

15、形的面积=2x3xX4x= 6x2 = 96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股 定理列方程(组)求解。举一反三 【变式11等边三角形的边长为2,求它的面积。【答案】如图，等边 ABC,作ADLBC于D2则：BD=之BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)AB = AC=BC= 2 (等边三角形各边都相等).BD = 1在直角三角形 ABD 中，AB2 = AD2+BD2,即：AD2 = AB2-BD2 = 4-1 = 3AD = gSmbc=BC . AD = 世在注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a,则其面积为 彳a。【变式2】直角三角形周长

16、为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是 x, y,根据题意得：支+y+ 5 = 12(1)/ +/ = 53(2)精选文档由(1)得：x+y = 7,(x+y) 2=49, x2+2xy+y2 = 49 (3)(3)(2),得：xy=12J J直角三角形的面积是5xy=5 x 12=6 (cm2)【变式3】若直角三角形的三边长分别是 n+1 , n+2, n+3,求n。思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2= (n+3) 2化简

17、得：n2 = 4.n=2,但当 n= 2 时，n+1 = 10, /. n=2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有 给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()A、8,15,17B、4,5, 6C、5,8,10 D、8, 39, 40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2 = c2a2= (ca) (c+a)来判断 例如：对于选择D,82? (40+39) X (40 39),.以8, 39, 40为边长不能组成直角三角形。同理可

18、以判断其它选项。【答案】：A【变式5】四边形ABCD中，/ B=90 ABCD的面积。解：连结AC/B=90 , AB=3, BC=4.AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理）AC=5. AC2+CD 2=169, AD2=169,AB=3, BC=4, CD=12, AD=13 ,求四边形.AC2+CD2=AD2. / ACD=90（勾股定理逆定理）1 S四边形ABCD=Saabc+Saacd=2AB BC+ 2 AC CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN=30 ,点A处有一所中学,AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m以内会受到

19、噪音的影响，那么拖拉机在公路精选文档MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A,实质上是看A到公路的距离是 否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长 度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作ABLMN,垂足为B。在 RtAABP 中，/ABP=90 , /APB=30 , AP=160, J.AB=3AP=80。(在直角三角形中，30所对的直角边等于

20、斜边的一半)二点A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么 AC=100(m),由勾股定理得：BC2= 1002-802 = 3600/. BC= 60。同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m), BD = 60(m), .CD = 120(m)。拖拉机行驶的速度为：18km/h = 5m/st = 120m+ 5m/s = 24so答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时 间为24秒。总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺

21、少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三 【变式11如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷 径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。路解析：他们原来走的路为3+4 = 7(m)设走“捷径”的路长为xm,则芯=/彳=5 故少走的路长为75= 2(m)又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了 4步路。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长 为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。(1)直接写出单位正三角形的高与面积。(2)图中的平行四边形ABCD

22、含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD的面积是 多少？(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)(1)单位正三角形的高为更 ！小史一包2 ,面积是224(2)如图可直接得出平行四边形 ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积24 乂虫=&币二卜-(三丁二逆(3)过A作AK，BC于点K (如图所示)，则在RtzACK中， 122吠广 1 15 AC - 7AK1 +KC5 = . 4-f-=而KC = 1+ 1+ - = -12 l2 j类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转 化为直角三角形问题来解决.3、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC, D是斜边BC的中点，E、F分别 是AB、AC边上的点，且 DELDF,若BE=12, CF=5.求线段EF的长。思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是 线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.解：连接AD.b因为/ BAC=90 , AB=AC . 又因为AD为AABC的中线，N所以 AD=DC=DB . ADXBC