第4章第1讲《导数的意义及运算》

1、第二章 函数、导数及其应用第10讲 导数的概念及运算考纲要求考情风向标1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义3.能根据导数定义，求函数 y c，yx，yx2 ，y 的导数.4. 能利用给出的 8 个基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.从近两年的试题来看，求导公式和法则，以及导数的几何意义是高考的热点，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，主要考查导数的概念及其运算预测 2015 年高考在考查方式和内容上不会有太大的变化，在保持稳定的基础上可能对条件的设置进行创新，考查方式仍然会以客观题为主，考查内容以运算公式和法则为基础，以导数的几何意义为重点.1x1.函数导

2、数的定义000()()limxf xxf xx 2导数的几何意义和物理意义(1)导数的几何意义：函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 f(x0).相应地，切线方程为_yf(x0)f(x0)(xx0)(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是 ss(t)，那么该物体在时刻 t0 的瞬时速度 v_.如果物体运动的速度随时间变化的规律是 vv(t)，则该物体在时刻 t0 的瞬时加速度为 a_.s(t0)v(t0)原函数导函数f(x)c(c

3、为常数)f (x)_ f(x)xn(nQ* )f (x)_f(x)sin xf (x)_f(x)cos xf (x)_f(x)axf (x)_f(x)exf (x)_f(x)logaxf (x)_f(x)lnxf (x)_3几种常见函数的导数cosxsinxaxlnaexnxn101lnxa1x4.导数的运算法则f(x)g(x)_；f(x)g(x)_；f(x)g(x)_g(x)05复合函数的求导法则f(x)_或_f (x)g(x)f (x)g(x)g(x)f(x)f(u)(x)yxyuux)C1已知函数 f(x)42x2，则 f (x)(A4xB8xC82x D16x解析：函数f(x)42x2

4、 的自变量为x，为常量，所以f(x)82x.A解析：f(x)2ax，f(1)2a2.a1.2已知函数 f(x)ax2c，且 f (1)2，则 a 的值为()A1B. C1D02)3.若 f(x)在 x0 处可导，则 f (x0)等于(A的瞬时速度为_，加速度为_.325已知函数 f(x)xex，则 f(x)_；函数 f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为_.(x1)exyx解析：f (x)exxex(x1)ex，f (0)1，f(0)0，故函数 f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为 yx.4物体的运动方程是s t32t25，则物体在t3时13考点 1 导数的概念例 1：设 f

5、(x)在 x0 处可导，下列式子中与 f (x0)相等的是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)(4)所以(1)(3)正确，故选 B.答案：B【方法与技巧】本题需直接变换出导数的定义式limk 0f(x0k)f(x0)kf (x0).其中k(一般用x 表示)可正可负，定义式的关键是一定要保证分子与分母中 k 的一致性.【互动探究】A.1B.2C.1D.12A考点 2 导数的计算例 2：求下列函数的导数：【方法与技巧】(1)求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧

6、扣求导法则，联系基本函数求导公式求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； (2)第(2)小题给我们的启示是：求含有多个字母的函数的导数时，一定要清楚该函数的自变量是什么，对谁求导，如 f(x)x2sin的自变量为x，而f ()=x2sin的自变量为.【互动探究】2已知 ysinx1cosx，x(0，)，当 y2 时，x()B考点 3 曲线的几何意义例 3：(2012 年辽宁)已知 P，Q 为抛物线 x22y 上的两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，过点 P，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为(

7、)A1B3C4D8程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由x22y，则y x2，yx，解析：点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，代人抛物线方过点 P，Q 的抛物线的切线斜率分别为 4，2，过点 P，Q 的抛物线的切线方程分别为 y4x8，y2x2，联立方程组解得 x1，y4，故点 A 的纵坐标为4.答案：C【方法与技巧】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，利用点斜式写出切线方程，然后求两直线的交点12【互动探究】1,0)为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 tan的取值范围是_则曲线 yf(x)上切点处的切线斜率 k1.又ktan，结合正切函数的图象，可得 ,故

8、tan的取值范围为1,0)3,4易错、易混、易漏 过点求切线方程应注意该点是否为切点(1)求曲线在 x2 处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程在点 P(2,4)处的切线的斜率 ky|x24.曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即4xy40.解：(1)yx2，(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02.故所求的切线方程为 xy20 或 4xy40.【失误与防范】(1)通过此题的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点” “直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y1 与 ysinx 相切，却有无数个公共点”，而“直线 x1 与 yx2 只有一个公共点，显然直线 x1 不是切线”(2)求曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数 yf(x)在 xx0处的导数 f (x0)，即函数yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线斜率；切点为 P(x0，f(x0)，切线方程为 yf(