第3讲 随机变量的分布函数,连续型随机变量

1、一、随机变量的分布函数一、随机变量的分布函数二、连续型随机变量二、连续型随机变量三、常见连续型随机变量三、常见连续型随机变量1. 1. 分布函数的概念分布函数的概念对于随机变量对于随机变量X, , 我们不仅要知道我们不仅要知道X取哪些值取哪些值, , 还需还需要知道要知道X 在数轴取这些值的概率在数轴取这些值的概率; ;更重要的是想知道更重要的是想知道X 在在任意区间内取值的概率任意区间内取值的概率. .21xXxP 例如例如 求随机变量求随机变量X 落在区间落在区间 内的概率。内的概率。12(,xx12xXPxXP )(2xF)(1xF分布函数分布函数 ?1. 1. 分布函数的概念分布函数的

2、概念为为 X 的分布函数的分布函数.定义定义1 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, x 是任意实数是任意实数, 称函数称函数( )(),F xP Xxx 说明说明: (1) : (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况内取值的概率情况. .即即 . .21xXxP 12xXPxXP 因此如果已知的分布函数就可以求出因此如果已知的分布函数就可以求出它落在任一区间上的它落在任一区间上的概率概率, ,从这个意义上说从这个意义上说, ,分布函数完整的描述了随机变量的分布函数完整的描述了随机变量的统计规律性统计规律性. .1. 1. 分布函数的概

3、念分布函数的概念为为 X 的分布函数的分布函数.定义定义1 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, x 是任意实数是任意实数, 称函数称函数( )(),F xP Xxx (2) (2) 分布函数分布函数F(x)是是x一个普通的实值函数一个普通的实值函数. . 说明说明: (1) : (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况内取值的概率情况. .即即 . .21xXxP 12xXPxXP 例例1 1 设盒中有设盒中有5 5个球个球 (2(2白白3 3红红), ), 从中任抽从中任抽3 3个个, ,以以X表示取得白球的个数，试求随机变量表示取得

4、白球的个数，试求随机变量X的分布函数的分布函数. . 解解 随机变量随机变量X 的所有可能取值为的所有可能取值为: 0， 1，2. 随机随机变量变量X的分布率：的分布率：X 0 1 2P 0.1 0.6 0.3当当x0.1 0.1 ；（；（3 3）求）求X的分的分布函数布函数F(x). 3,0,( )0,0,xaexf xx ( )d1f xx 00( )d( )d( )df xxf xxf xx 解解 （1） 因为因为30dxaex 3300d( 3 )|1333xxaaaexe 例例7 7 设随机变量设随机变量X具有密度函数具有密度函数 （1 1）试确定常数）试确定常数a ；（；（2 2）

5、求）求P X 0.1 0.1 ；（；（3 3）求）求X的分的分布函数布函数F(x). 3,0,( )0,0,xaexf xx 解解 （2）30.10.10.1( )d3dxP Xf xxex 30.30.1|xee 例例7 7 设随机变量设随机变量X具有密度函数具有密度函数 （1 1）试确定常数）试确定常数a ；（；（2 2）求）求P X 0.1 0.1 ；（；（3 3）求）求X的分的分布函数布函数F(x). 3,0,( )0,0,xaexf xx 解解 （3） 根据定义根据定义( )( )dxF xf tt 当当 时时, ,0 x ( )( )d0 xF xf tt 当当 时时, ,0 x

6、330( )( )d3d1xxxxF xf ttexe 31,0;( )0,0 .xexF xx 当当 时时, ,0 x 下面考察连续型随机变量在一点处的概率下面考察连续型随机变量在一点处的概率设设 a 是随机变量是随机变量 X 的一个可能的取值的一个可能的取值.()Xa ()axXa 当当 时时, ,0 x 0()()P XaP axXa ( )daaxf xx 00()lim( )d0aaxxP Xaf xx ()0P Xa结论结论：连续型随机变量在任意一点处的概率为连续型随机变量在任意一点处的概率为0.结论结论：连续型随机变量在任意一点处的概率为连续型随机变量在任意一点处的概率为0.()

7、P aX b ()P aXb()P aXb ()P aXb ( )( )F bF a ( )dbaf xx ()()( )P XbP XbF b ()()1( )P XaP XaF a 例例8 8 已知某型号电子管的使用寿命已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续为连续随机变随机变量量, , 其密度函数为其密度函数为2,1000,( )0,cxxf x 其其他他. . (1) 求常数求常数 c. (3) 已知一设备装有已知一设备装有3个这样的电子管个这样的电子管, 每个电子管能否每个电子管能否正常工作相互独立正常工作相互独立, 求在使用的最初求在使用的最初1500小时只有一个损小时只有一个损坏的

8、概率坏的概率. (2) 计算计算 . (1700 15002000)P XX 解解 （1）因为）因为2,1000,( )0,cxxf x 其其他他. .100021000( )dd|1000cccf xxxxx c = 1000根据密度函数的性质：根据密度函数的性质： 得得( )d1f xx (1700 15002000)P XX (1700,15002000)(15002000)P XXPX (15001700)(15002000)PXPX 1700215002000215001000d1000dxxxx 4/51241/651 ()(|)( )P ABP A BP B 解解 解解 （3）

9、设设A 表示一个电子管的寿命小于表示一个电子管的寿命小于 1500 小小时时( )(01500)P APX 15002100010001d3xx 设在使用的最初设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为小时三个电子管中损坏的个数为 Y，那么那么1(3,)3YB2133124(1)(1)339P YPC 于是于是解解 因为密度函数是一个非负函数因为密度函数是一个非负函数 ，所以，所以 2( )0( )0f xh xaxbx c 例例9 9 设设 是随机变量是随机变量X 的密度的密度函数，那么函数，那么a, b , c 必须且只需满足何条件？必须且只需满足何条件？21( )()f xaxb

10、xc ( )2,( )2h xaxbh xa 当当0( )20ah xa 2min( )/ 4hxcba 有最小值有最小值( )h x当且仅当当且仅当 时时2/40cba 2( )0h xaxbxc 得得2244.acb 所以系数所以系数 a, b , c 必须且只需满足下列条件必须且只需满足下列条件0,a 2/40,cba 2244.acb 2214ac b 又又21( )df x dxxaxbx c 221d4()24xbac ba xaa 220,44.aacb 1. 1. 均匀分布均匀分布三、常见的连续型随机变量的分布三、常见的连续型随机变量的分布如果随机变量如果随机变量 X 的密度函

11、数为的密度函数为1,( )0,axbf xba 其其他他, ,则称则称 X 服从区间服从区间( a , b)上的上的均匀分布均匀分布或称或称X 服从参数为服从参数为a , b的的均匀分布均匀分布. .记作记作 。( , )XU a b ( )( )dxF xf tt 0,1,.x ax aax bb ax b X 的分布函数为的分布函数为xf ( x)abxF( x)ba( , )( , ),c da b 1()ddcP cXdxb a dcb a 即即 X 落在落在(a,b)内任何长为内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的小区间的概率与小区间的位置无关的位置无关, 只与其长度成正比只与

12、其长度成正比. 这正是几何概型的情形这正是几何概型的情形. 进行大量数值计算时进行大量数值计算时, 若在小数点后第若在小数点后第k 位进行四舍五位进行四舍五入入, 则产生的误差可以看作服从则产生的误差可以看作服从 的的 连续型连续型 随机变量随机变量.1110,1022kkU 应用场合应用场合 例例1010 秒表最小刻度值为秒表最小刻度值为0.01秒秒. 若计时精度是取最若计时精度是取最近的刻度值，求使用该表计时产生的随机误差近的刻度值，求使用该表计时产生的随机误差X 的密度函的密度函数，并计算误差的绝对值不超过数，并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率秒的概率. 解解 X 等可能地取得区

13、间等可能地取得区间 上的任一上的任一值，则值，则 . 0.005,0.005XU 0.005,0.005 100,|0.005,()0,xf x 其其他他, ,0.0040.004(0.004)100d0.8PXx 所以所以2. 2. 指数分布指数分布X 的分布函数为的分布函数为1,0,( )0,0.xexF xx 如果随机变量如果随机变量 X 的密度函数为的密度函数为,0,( )0,xexf x 其其他他. .则称则称 X 服从服从 参数为参数为 的的指数分布指数分布. 记作记作 。( )XE 0 为常数为常数三、常见的连续型随机变量的分布三、常见的连续型随机变量的分布( )f xxy( )

14、F x,0,( )0,xexf x 其其他他. .1,0,( )0,0.xexF xx 对于任意的对于任意的 0 a 0，则称则称 X 服从参数为服从参数为 , 2 的的正态分正态分布布.记作记作 X N ( , 2 ). 正态分布亦称高斯正态分布亦称高斯(Gauss)分布分布3. 3. 正态分布正态分布三、常见的连续型随机变量的分布三、常见的连续型随机变量的分布( )f x（2） 密度函数密度函数f (x) 的性质的性质图形关于直线图形关于直线 x = 对称对称, 即即f ( + x) = f ( - x) x ( )f x在在 x = 时时, f (x) 取得最大值取得最大值21x （2）

15、 密度函数密度函数f (x) 的性质的性质( )f xxx在在 x = 时时, 曲线曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点在对应的点处有拐点.（2） 密度函数密度函数f (x) 的性质的性质( )f x曲线曲线 y = f (x) 以以 x 轴为渐近线轴为渐近线曲线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状的图形呈单峰状（2） 密度函数密度函数f (x) 的性质的性质( )f x1()( ) 1( )()2P XFFP X （2） 密度函数密度函数f (x) 的性质的性质( )f x（3 3） 密度函数密度函数f ( x) 的两个参数意义的两个参数意义 位置参数位置参数 即固定即固定 ,

16、对于不同的对于不同的 , 对应的对应的 f (x)的形状不变化，的形状不变化，只是位置不同。只是位置不同。 xy1 2 （3 3） 密度函数密度函数f ( x) 的两个参数意义的两个参数意义 形状参数形状参数xy 大大 小小 固定固定 , 对于不同的对于不同的 , 对应对应f (x)位置不变化位置不变化, 只是只是 越越小，靠近小，靠近 附近取值的概率越大附近取值的概率越大. .（3 3） 密度函数密度函数f ( x) 的两个参数意义的两个参数意义 形状参数形状参数xy 大大 小小几何意义几何意义 : 大小与曲线陡峭程度成反比大小与曲线陡峭程度成反比数据意义数据意义: 大小与数据分散程度成正比

17、大小与数据分散程度成正比正态变量的条件正态变量的条件 若随机变量若随机变量 X满足：满足： 受众多相互独立的随机因素受众多相互独立的随机因素影响；影响； 每一因素的影响都是微小的每一因素的影响都是微小的 ； 这些正、负这些正、负影响可以叠加，则称影响可以叠加，则称X为正态随机变量为正态随机变量. . 应用场合应用场合各种测量的误差；各种测量的误差； 人体的生理特征；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度； 学生的考试成绩；学生的考试成绩；。 。221( )

18、()2xxex 是偶函数，是偶函数，分布函数记为分布函数记为221( )d()2txxetx 其值有专门的表供查用其值有专门的表供查用.（4）标准正态分布）标准正态分布N (0,1)密度函数密度函数（4）标准正态分布）标准正态分布N (0,1)-3-2-1123x0.10.20.30.4y221( )()2xxex （4）标准正态分布）标准正态分布N (0,1)(0)0.5x x()1( )xx (|)12 ()PXxx 2 ( )1x （5）一般正态分布与标准正态分布的关系）一般正态分布与标准正态分布的关系(0,1).XZN 定理定理2 2 如果如果 ， 则则2( ,)XN 证证( )()Z

19、FzP Zz 2()221d2xzex ()XPz ()P Xz 22()2d( )1( )()d2zZZFzfzezz 2212ze （5）一般正态分布与标准正态分布的关系）一般正态分布与标准正态分布的关系(0,1).XZN 定理定理2 2 如果如果 ， 则则2( ,)XN 1212()()xxXP xXxP ()()()XxxP XxP 12()()xx ()1( )1()xP XxF x 例例1111 设设 X N(1,4) , 求求(1) P (0 X 1.6), (2) P (X 2), P (|X| 4). 解解 (1)1.6101(01.6)()()22PX (0.3)( 0.5

20、) (0.3)1(0.5) 0.6179 10.6915 0.3094 P240 附表附表31212()()()xxP xXx 解解 (2) 例例1111 设设 X N(1,4) , 求求(1) P (0 X 1.6), (2) P (X 2), P (|X| 4). (2)1(2)P XP X 211()1(0.5)2 10.69150.3085 ()1( )1()xP XxF x 解解 (3) 例例1111 设设 X N(1,4) , 求求(1) P (0 X 1.6), (2) P (X 2), P (|X| 4). (| 4)( 44)PXPX (1.5)1(2.5) 4141()()

21、(1.5)( 2.5)22 (1.5)1(2.5)0.3935 1212()()()xxP xXx 例例1212 已知已知2(2,)XN , 且且 P( 2 X 4 ) = 0.3, 求求P ( X 0 ).解解 方法一方法一02(0)()P X 21() 4222(24)()()PX 2()(0) 3 . 02()0.8 (0)0.2P X (0)0.2P X 例例1212 已知已知2(2,)XN , 且且 P( 2 X 4 ) = 0.3, 求求P ( X 0 ).解解 方法二方法二（6） 3 3 原理原理设设 X N ( , 2), 那么那么()PX 22 (2)( 2)0.954 4P

22、X (1)( 1)2 (1)1 0.682 6 （6） 3 3 原理原理设设 X N ( , 2), 那么那么()PX (22 )(2)( 2)0.954 4PX 2 2 (1)( 1)2 (1)1 0.682 6 （6） 3 3 原理原理设设 X N ( , 2), 那么那么()PX (22 )(2)( 2)0.954 4PX (33 )(3)( 3)0.997 4PX 3 3 (1)( 1)2 (1)1 0.682 6 （6） 3 3 原理原理设设 X N ( , 2), 那么那么()PX (22 )(2)( 2)0.954 4PX (33 )(3)( 3)0.997 4PX 一次试验中一

23、次试验中, X 的取值落入区间的取值落入区间( - 3 , +3 )的的概率为概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小而超出此区间可能性很小.（7）标准正态分布的上）标准正态分布的上 分位数分位数 z 设设 X N (0,1) , 0 1, 称满足称满足)(zXP的点的点 z 为为X 的的上上 分位数分位数. 常用数据常用数据0.051.645z 0.0251.96z 例例1313 设测量的误差设测量的误差 X N(7.5, 100) (单位单位:米米) , 问问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过值不超过10米的概率大

24、于米的概率大于0.9 ?解解10 7.510 7.5(| 10)()()1010P X (0.25)( 1.75) (0.25) 1(1.75) 0.5586 设设 A 表示进行表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝对次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过值不超过10米米.( )1(10.5586)0.9nP A 故至少要进行故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求次独立测量才能满足要求.3n 例例1313 设测量的误差设测量的误差 X N(7.5, 100) (单位单位:米米) , 问问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超

25、过值不超过10米的概率大于米的概率大于0.9 ?解解10 7.510 7.5(| 10)()()1010P X 0.5586 X , 求其密度函数 f (x). ABCh.M 问问 题题在高为在高为 h 的的 ABC 中任取一点中任取一点M , 点点 M 到到 AB 的距离为随机变量的距离为随机变量X , 求其密度函数求其密度函数 f (x). 问问 题题ABCh.M 问问 题题 上海某年有上海某年有 9万名高中毕业生万名高中毕业生参加高考参加高考, 结果有结果有5.4万名被各类高万名被各类高校录取校录取. 考试满分为考试满分为600分，分，540分分以上有以上有2025人人 , 360分以下有分以下有13500人人. 试估计高校录取最低分试估计高校录取最低分. 高斯（高斯（177