向量的线性相关性

1、线性代数下页结束返回第七节第七节 向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关 线性组合与线性表示线性组合与线性表示线性相关与线性无关线性相关与线性无关线性相关性判定定理线性相关性判定定理极大线性无关组的概念极大线性无关组的概念下页线性代数下页结束返回7.1 7.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示 例例1设设 a a1= =(1, 0, 0)，a a2= =(0, 1, 0)，a a3= =(0, 0, 1)， b b= =(2, - -1, 1)，则则b b= =(2, - -1, 1)是向量组是向量组a a1，a a2 ，a a3的线性组合的线性组合. .即即 b b= =(

2、2, - -1, 1)是向量组是向量组a a1，a a2 ，a a3的线性组合，也就是说的线性组合，也就是说b b可由可由a a1，a a2 ，a a3线性表示线性表示. . 因为因为 2a a1- -a a2 + + a a3= =2(1, 0, 0)- -(0, 1, 0)+ +(0, 0, 1) = =(2, - -1, 1)= b b ， 定义定义1 给定给定n维向量维向量b b，a a1，a a2， ，a am，如果存在一组数，如果存在一组数k1，k2， ，km，使，使 b b= =k1a a1+ +k2a a2+ + + + kma am，则称向量则称向量b b是向量组是向量组a

3、a1，a a2 ， ，a am的线性组合，或称的线性组合，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2 ， ，a am线性表示线性表示. .下页线性代数下页结束返回 例例2任何一个任何一个n维向量维向量a a= =(a1, a2, , an)都是都是n维向量组维向量组 e1= =(1, 0, , 0)，e2= =(0, 1, , 0)， ，en= =(0, 0, , 1)的线性组合的线性组合. . 这是因为这是因为a a= =a1e1+ + a2e2+ + + + an en . .注：注：向量组向量组 e1，e2， ，en称为称为 n 维单位（或维单位（或基本基本）向量组）向量组. .下

4、页7.1 7.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示 定义定义1 给定给定n维向量维向量b b，a a1，a a2， ，a am，如果存在一组数，如果存在一组数k1，k2， ，km，使，使 b b= =k1a a1+ +k2a a2+ + + + kma am，则称向量则称向量b b是向量组是向量组a a1，a a2 ， ，a am的线性组合，或称的线性组合，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2 ， ，a am线性表示线性表示. .线性代数下页结束返回 例例3零向量是任何一组向量的线性组合零向量是任何一组向量的线性组合. . 这是因为这是因为o=0 a a1+ + 0 a a2+

5、 + + + 0 a am . . 例例4向量组向量组a a1，a a2 ， ，a am中的任一向量中的任一向量a ai(1 i m)都是此都是此向量组的线性组合向量组的线性组合. . 这是因为这是因为a ai= =0 a a1+ + + + 1 a ai + + + + 0 a am . .下页7.1 7.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示 定义定义1 给定给定n维向量维向量b b，a a1，a a2， ，a am，如果存在一组数，如果存在一组数k1，k2， ，km，使，使 b b= =k1a a1+ +k2a a2+ + + + kma am，则称向量则称向量b b是向量组是向量组a

6、 a1，a a2 ， ，a am的线性组合，或称的线性组合，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2 ， ，a am线性表示线性表示. .线性代数下页结束返回例例5线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示(向量方程向量方程)a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+下页a11a21am1x1a12a22am2x2+xna1na2namn+ +b1b2bm =1122,nnxxxbaaa+=1122.nnxxxbaaa+=或或即即其中其中,12,1,2,.,;jjjmjaajnaa=12.mbbbb=线性代数下页结束返回

7、 定义定义2 设有设有n维向量组维向量组a a1，a a2， ，a am，如果存在一组如果存在一组不全为零的数不全为零的数 k1，k2， ，km，使使 k1a a1+ +k2a a2+ + + + kma am= =o 成立成立，则称向量组则称向量组a a1，a a2， ，a am线性相关线性相关，否则否则，即只有即只有当当k1，k2， ，km全为全为0时时 k1a a1+ +k2a a2+ + + + kma am= =o才成立才成立，则称向量组则称向量组a a1，a a2， ，a am线性无关线性无关. .下页7.2 7.2 线性相关与线性无关线性相关与线性无关线性相关性判定方法线性相关性

8、判定方法 一般方法，用于一般方法，用于m 个个n维向量组的情形维向量组的情形. 一般可通过定义、一般可通过定义、判判定定理及定定理及后面向量组的秩后面向量组的秩等内容进行判定，特别当利用定义时可等内容进行判定，特别当利用定义时可使用观察法使用观察法. 特殊方法，用于特殊方法，用于n 个个n维向量组的情形维向量组的情形. 可通过行列式判定可通过行列式判定.线性代数下页结束返回例例6.6. 讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性. .123102124,113135 = 解解: : 对于向量组，显然有对于向量组，显然有 12321( 1), o+ -=即存在一组不全为零的数即存在一组

9、不全为零的数 练习：练习：讨论下列向量组的线性讨论下列向量组的线性 相关性，其中：相关性，其中：下页3122,=+整理得整理得1232,1,1,kkk= -使得使得112233,kkko+=所以向量组所以向量组a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, ,线性相关线性相关. .12341026,.0126 = 一般方法（举例）一般方法（举例）线性代数下页结束返回 对于对于n个个n维向量组成的向量组维向量组成的向量组a a1，a a2， ，a an，设有一组数设有一组数 k1，k2， ，kn，使使 k1a a1+ +k2a a2+ + + + kna an= =o 成立成立 . 由向

10、量的运算性质可得由向量的运算性质可得 k1a a1+ +k2a a2+ + + +kn a an=o，即即1112112222121200.0nnnnnnnaaaaaakkkaaa += 从而得向量组从而得向量组a a1，a a2， ，a an，线性无关线性无关(相关相关)的充分必要条件是的充分必要条件是:11 1212112 122221122000nnnnnnnnna ka ka ka ka ka ka ka ka k+=+=+=下页特殊方法（推导）特殊方法（推导）112112122212( )0.nnnnnnaaaaaaDaaa= =线性代数下页结束返回设有一组数设有一组数k1，k2，

11、，kn，使使 k1a a1+ +k2a a2+ + + + kna an= =o 成立成立. . (1)通过向量的线性运算通过向量的线性运算, ,将将(1)式化为如下齐次方程组式化为如下齐次方程组(2)11 1212112 122221122000nnnnnnnnna ka ka ka ka ka ka ka ka k+=+=+=下页特殊方法（解题步骤）特殊方法（解题步骤）判断上面关于判断上面关于k1, k2, , kn方程组方程组(2)(2)有无有无非零解非零解?若方程组若方程组(2)(2)有非零解有非零解，则则a a1,a a2, ,a an线性相关；否则线性相关；否则, ,线性无关线性无

12、关. .1121121222120?nnnnnnaaaaaaDaaa=即行列式即行列式1112112222121200.0nnnnnnnaaaaaakkkaaa += 或或核心问题核心问题！线性代数下页结束返回例例7 7. . 证明下列单位向量组线性无关证明下列单位向量组线性无关. .123410000100,00100001 = 11223344,kkkko+=即即 从而得从而得 即只有当即只有当k1= =k2= =k3= =k4=0=0时，上时，上 式才成立，所以向量组式才成立，所以向量组a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, , a a4 4, ,线性无关线性无关. .下

13、页特殊方法（举例）特殊方法（举例）证证: : 对于向量组对于向量组a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, , a a4 4, ,设有设有一组数一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立使得下式成立12341000001000,0010000010kkkk += 亦即亦即1122334400000000,00000000kkkkkkkk += 123400,00kkkk = 线性代数下页结束返回例例8 8. . 讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性. .123410321214,11032317 - = - - 11223344,kkkko+=即方程组即方程组

14、因该方程组的系数行列式因该方程组的系数行列式103212140,11032317-=- 所以，线性方程组有非零解所以，线性方程组有非零解， 从而从而，向量组向量组a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, , a a4 4, ,线性线性 相关相关. .下页特殊方法（举例）特殊方法（举例） 解解: : 对于向量组对于向量组a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, , a a4 4, ,设有一组数设有一组数k1,k2 ,k3,k4,使得使得12341032012140,1103023170kkkk - += - - 亦即方程组亦即方程组12341032012140.110

15、3023170kkkk - += - - 解题要点：解题要点：找向量方程的找向量方程的非零解非零解.线性代数下页结束返回 例例9设向量组设向量组a a1，a a2，a a3线性无关线性无关，令令 b b1= =a a1+ +a a2，b b2= =a a2+ +a a3，b b3= =a a3+ +a a1 . .试证向量组试证向量组b b1，b b2，b b3也线性无关也线性无关. . 证明证明：设有一组数设有一组数k1 ,k2 ,k3 ,使使 k1b b1+ + k2b b2+ +k3 b b3 = =o，即即 k1(a a1+ +a a2)+ + k2(a a2+ +a a3)+ +k3

16、 (a a3+ +a a1)= =o，整理得整理得 (k1+ +k3)a a1+ +(k1+ +k2)a a2+ +(k2+ +k3)a a3= =o . . 因为向量组因为向量组a a1，a a2，a a3线性无关线性无关，所以必有所以必有，k1k1k1x2k2k2k3x3k3000=+ 1 1 0 0 1 1 1 0 1由于由于=20，从而从而b b1，b b2，b b3线性无关线性无关.所以方程组只有零解所以方程组只有零解 k1=k2=k3=0 ，下页即代数方程组只有零解： k1=k2=k3=0.亦即向量方程只有零解： k1=k2=k3=0.线性代数下页结束返回讨论：讨论： 3. 3.仅

17、有两个向量构成的向量组，线性相关的条件仅有两个向量构成的向量组，线性相关的条件. . 1. 1.含有零向量的向量组是否线性相关含有零向量的向量组是否线性相关. . 2. 2.仅有一个向量构成的向量组，线性相关的条件仅有一个向量构成的向量组，线性相关的条件. .结论：结论：1.1.含有零向量的向量组一定线性相关含有零向量的向量组一定线性相关. . 2. 2.仅有一个向量构成的向量组，线性相关当且仅当该仅有一个向量构成的向量组，线性相关当且仅当该向量为零向量向量为零向量. . 3. 3.仅有两个向量构成的向量组，线性相关当且仅当这仅有两个向量构成的向量组，线性相关当且仅当这两个向量的分量对应成比例

18、两个向量的分量对应成比例. . 4. 4.单位向量组单位向量组e e1 1，e e2 2， ，e en n是否线性相关？是否线性相关？4.4.单位向量组单位向量组e e1 1，e e2 2， ，e en n线性无关线性无关. .下页线性代数下页结束返回 定理定理1 1 向量组向量组a a1，a a2， ，a am线性相关的充要条件是：向线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示. 定理定理3 3 如果向量组中有一部分向量如果向量组中有一部分向量(称为部分组称为部分组)线性相关线性相关,则整个向量组线性相关则整个向量组线性相关.

19、定理定理2 2 设向量组设向量组 a a1，a a2， ，a am ，b b 线性相关线性相关，而而a a1，a a2， ，a am线性无关线性无关，则则b b 可可由由a a1，a a2， ，a am线性表示，线性表示，且表示式是唯一的且表示式是唯一的. 定理定理5 5 若向量组若向量组 a ai=(a ai i1 1, a ai i2, ,a ai in) (i=1,2,m)线性无关，线性无关，则向量组则向量组 b b i=(a ai i1 1, a ai i2, ,a ai in , a ai in+1 ) (i=1,2,m)也线性无关也线性无关. .下页7.3 7.3 线性相关性判定定

20、理线性相关性判定定理 定理定理4 4 由由n个个n维向量组成的向量组，其线性无关的充分维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要条件是矩阵必要条件是矩阵A=(a a1 1, , a a2 2, ., .,a an, ,) 可逆可逆.线性代数下页结束返回 证明：证明：必要性必要性. 因为因为a a1，a a2， ，a am线性相关线性相关, 故存在故存在不全为零的数不全为零的数l l1，l l2， ， l lm，使使 l l1a a1+ +l l2a a2+ + + + l lma am= =o . . 不妨设不妨设l l1 0，于是于是 mm)()()(13132121llllll-+ +-+-

21、=， 即即a a1为为a a2，a a3， ，a am的线性组合的线性组合. . 充分性充分性. 不妨设不妨设a a1可由其余向量线性表示可由其余向量线性表示, 即即 a a1= =l l2a a2+ +l l3a a3+ + + + l lma am，则存在不全为零的数则存在不全为零的数- -1，l l2，l l3， ， l lm，使使 (- -1)a a1+ +l l2a a2+ +l l3a a3+ + + + l lma am= =o ，即即a a1，a a2， ，a am线性相关线性相关.下页 定理定理1 1 向量组向量组a a1，a a2， ，a am线性相关的充要条件是：向线性相

22、关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.线性代数下页结束返回 先证明先证明b b可由向量组可由向量组a a1，a a2， ，a am线性表示线性表示. . 因为向量组因为向量组a a1，a a2， ，a am，b b线性相关，因而存在一线性相关，因而存在一组不全为零的数组不全为零的数l l1，l l2， ， l lm及及l l，使使 l l1a a1+ +l l2a a2+ + + + l lma am+ + lblb= =o ，这里必有这里必有l l 0，否则，上式成为否则，上式成为 l l1a a1+ +l l2a a2+ +

23、 + + l lma am= =o ， 且且l l1，l l2， ，l lm不全为零，这与线性无关矛盾不全为零，这与线性无关矛盾.因此因此l l 0 . .故 mm)()()(2211llllll-+ +-+-=， 即即b b可由向量组可由向量组a a1，a a2， ，a am线性表示线性表示. .证明：证明：下页 定理定理2 2 设向量组设向量组 a a1，a a2， ，a am ，b b 线性相关线性相关，而而a a1，a a2， ，a am线性无关线性无关，则则b b 可可由由a a1，a a2， ，a am线性表示，线性表示，且表示式是唯一的且表示式是唯一的.线性代数下页结束返回再证表

24、示法唯一再证表示法唯一. . 设设b b可表示成以下两种形式，可表示成以下两种形式， b b = =l l1a a1+ +l l2a a2+ + + + l lma am， 及及 b b= =m m1a a1+ +m m2a a2+ + + + m mma am，两式相减得两式相减得 (l l1- -m m1)a a1+ +(l l2- -m m2)a a2+ + + + (l lm- -m mm)a am = =o ，由由a a1，a a2， ，a am线性无关可知线性无关可知 l l1- -m m1= =l l2- -m m2= = = =l lm- -m mm= =0，从而从而 l l1

25、= =m m1，l l2= =m m2， ，l lm= =m mm，所以表示法是唯一的所以表示法是唯一的.下页 定理定理2 2 设向量组设向量组 a a1，a a2， ，a am ，b b 线性相关线性相关，而而a a1，a a2， ，a am线性无关线性无关，则则b b 可可由由a a1，a a2， ，a am线性表示，线性表示，且表示式是唯一的且表示式是唯一的.证明：证明：线性代数下页结束返回 设向量组设向量组a a1，a a2， ，a am中有中有r个向量的部分组个向量的部分组 线性相关线性相关，不妨设不妨设a a1，a a2， ，a ar线性相关，则存在一组线性相关，则存在一组 不全为

26、零的数不全为零的数l l1，l l2， ， l lr使使 l l1a a1+ +l l2a a2+ + + + l lra ar= =o， 因而存在一组不全为零的数因而存在一组不全为零的数 l l1，l l2， ，l lr，0，0， ，0使使 l l1a a1+ +l l2a a2+ + + + l lra ar + +0 a ar+ +1+ + + + 0 a am= =o，即即a a1，a a2， ，a am线性相关线性相关.证明：证明：下页 定理定理3 3 如果向量组中有一部分向量如果向量组中有一部分向量(称为部分组称为部分组)线性相关线性相关,则整个向量组线性相关则整个向量组线性相关.

27、 定理定理4 4 由由n个个n维向量组成的向量组，其线性无关的充分维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要条件是矩阵必要条件是矩阵A=(a a1 1, , a a2 2, ., .,a an, ,) 可逆可逆. 证明：证明：略略.线性代数下页结束返回证明：证明：（反证反证） 若向量组若向量组 b b1, b b2, b bm线性相关线性相关，则存在一组不全为零的数则存在一组不全为零的数k1, k2, km ,使得使得 k1 b b1 +k2 b b2 +km b bm=o （1 1）即即（2 2）显然显然，方程方程(2)的前的前 n 行就是行就是 k1a a1 +k2a a2 +kma am=

28、o ，从而得从而得，a a1 ，a a2 ，a am线性相关，矛盾线性相关，矛盾.证毕证毕.下页+11112111nnaaaak+12222212nnaaaak+121mnmnmmmaaaak=0000 定理定理5 5 若向量组若向量组 a ai=(a ai i1 1, a ai i2, ,a ai in) (i=1,2,m)线性无关，线性无关，则向量组则向量组 b b i=(a ai i1 1, a ai i2, ,a ai in , a ai in+1 ) (i=1,2,m)也线性无关也线性无关. .线性代数下页结束返回例例10. 讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性(要求

29、用要求用“观察法观察法”).)3 ,2, 1 (1=a)6 ,4,2(,2=a)9 ,8 ,7(,3=a(1)下页(2)=680011b=33010,2b=33100,3b解：解：对于对于(1)组，显然有组，显然有31202aaa+=,由定理由定理1知知(1)组相关组相关. (2)组中每一个向量的前组中每一个向量的前3个分量构成无关组，由定理个分量构成无关组，由定理5知知(2)组无关组无关.线性代数下页结束返回练习题练习题 一、填空题：一、填空题：在向量组在向量组a a1 ,a a2 , a ar中，如果有部分向量线中，如果有部分向量线性相关，则向量组必（性相关，则向量组必（ ）二、多选题：二

30、、多选题：下列命题中正确的有（下列命题中正确的有（ ） 非零向量组成的向量组一定线性无关非零向量组成的向量组一定线性无关 含零向量的向量组一定线性相关含零向量的向量组一定线性相关 由一个零向量组成的向量组一定线性无关由一个零向量组成的向量组一定线性无关 由零向量组成的向量组一定线性相关由零向量组成的向量组一定线性相关 线性相关的向量组一定含有零向量线性相关的向量组一定含有零向量三、分析判断题三、分析判断题 ：若若a a1不能被不能被a a2 ,a a3 , a ar 线性表示，线性表示，则向量则向量a a1 , a a2 ,a a3 , a ar线性无关（线性无关（）四、证明题：四、证明题：设

31、设b b可由设可由设a a1 ,a a2 , a ar线性表示，但不能线性表示，但不能由由a a1 ,a a2 , a ar-1线性表示，证明线性表示，证明a ar可由可由a a1 ,a a2 , a ar-1 ,b b线性表示线性表示下页线性代数下页结束返回等价向量组等价向量组定义定义3 3 设有两个向量组设有两个向量组(I)12,ra aa(II)sbbb,21 如果如果(I)(I)中每一个向量都可由向量组中每一个向量都可由向量组(II)(II)线性表示，则称线性表示，则称(I)(I)可由可由(II)(II)线性表示；如果向量线性表示；如果向量(I)(I)与向量组与向量组(II)(II)可

32、以相互线性表示，则称可以相互线性表示，则称向量组向量组(I)(I)与向量组与向量组(II)(II)等价等价. .例例11.11. (I) a a=(1, 0) , , a a 2=(0, 1)(II) b b=(1, ) , b b 2=(, -1), b b 3=(, 5)两组等价两组等价.因为因为,321102121bbba+=321202121,bbba+-=b b=a aa a所以所以(I)(I)和和(II)(II)可以相互线性表示，可以相互线性表示，, b b 2=a aa a, b b 3=a aa a,即向量组即向量组(I)(I)与向量组与向量组(II)(II)等价等价. .下页

33、7.4 7.4 极大线性无关组极大线性无关组线性代数下页结束返回等价向量组的性质等价向量组的性质（1 1）自反性：向量组与其自身等价；）自反性：向量组与其自身等价；（2 2）对称性：若向量组）对称性：若向量组(I)(I)等价于等价于(II)(II)，则向量组，则向量组(II)(II)等价于等价于(I)(I)；（3 3）传递性：若向量组）传递性：若向量组(I)(I)等价于等价于(II) (II) ，向量组，向量组(II)(II)等价于等价于(III)(III)，则向量组则向量组(I)(I)等价于等价于(III).(III). 引例引例. 向量组向量组a a=(1,1,1), a a2=(0,2,

34、5), a a3=(1,3,6), 等价于其部分向等价于其部分向量组量组a a a a2 . 事实上，事实上，a a，a a，a a3中的每一个向量可由中的每一个向量可由a a，a a线性表示线性表示,即即1122123120,0,.=+=+=+而而 a a，a a中的每一个向量可由中的每一个向量可由a，a，a3线性表示，即线性表示，即1123212300,00.=+=+下页向量组的极大无关组向量组的极大无关组线性代数下页结束返回 例例12在向量组在向量组a a1= =(0, 1)，a a2= =(1, 0)，a a3= =(1, 1)，a a4= =(0, 2)中中，向量组向量组a a1= =(0, 1)， a a2= =(1, 0)线性无关线性无关，且有且有 同样同样a a2，a a4也是一个极大无关组也是一个极大无关组. .所以所以a a1，a a2是向量组是向量组a a1，a a2，a a3，a a4的一个极大无关组的一个极大无关组. a a4= =(0, 2)= =2(0, 1)= =2a a1 1+0+0a a2，a a3= =(1, 1)= =(0, 1)+ +(1, 0)= =a a1+ +a a2， 定义定义4 如果向量组如果向量组a a1，a a2 , ,am的一个部分向量向量组的一个部分向量向量组 a a