二次函数与方程不等式

1、1.一般式一般式: y=ax2+bx+c( (a0) );一、二次函数的解析式一、二次函数的解析式2.顶点式顶点式: y=a(x - -m)2+n( (其中其中(m, n)为抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标) );3.两根式两根式: y=a(x - -x1)(x - -x2)( (其中其中x1, x2为抛物线与为抛物线与 x 轴两交点轴两交点 的横坐标的横坐标) ); 注注: 求二次函数的解析式求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法一般都采用待定系数法. 做题时做题时,要根据题设条件要根据题设条件, 合理地设出解析式合理地设出解析式. 二、二次函数的图象二、二次函数的图象有关知识有关知识

2、: 图象形状图象形状; 对称轴对称轴; 顶点坐标顶点坐标; 与与 x 轴交点坐标轴交点坐标;截截 x 轴线段长轴线段长.三、二次函数的性质三、二次函数的性质1.当当 a0 时时, 抛物线开口向上抛物线开口向上, 函数在函数在(-(-, - - 上单调递上单调递减减, 在在- - , +)上单调递增上单调递增, 当当 x= - - 时时, f(x) 取得最小值取得最小值,为为 .2ab2ab2ab4a4ac- -b2 2.当当 a0)在在m, n上的最值上的最值2.若若 x0 m, n, 则则(1)当当 x0n 时时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).五、不等式五、不等式

3、ax2+bx+c0 恒成立问题恒成立问题1.若若 x0=- - m, n, 则则 f(x)min=f(x0)= , f(m), f(n) 中中的较大者即为的较大者即为 f(x) 在在 m, n 上的最大值上的最大值.2ab4a4ac- -b2 1. ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立. a0=b2- -4ac0. 或或ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立. a0=b2- -4ac0, a=b=0 c0(a0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立. f(m)0, - - m 2ab=b2- -4ac0. - - n 2ab或或 f(x)min0( (xm, n) ) f(x)=ax2+b

4、x+c0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立. f(n)0. f(m)0) 的实根分布问题的实根分布问题记记 f(x)=ax2+bx+c(a0),=b2- -4ac0. x1+x2=- - 0 abacx1x2= 0 =b2- -4ac0 f(0)0. - - 0 2ab2.方程方程 f(x)=0 有两负根有两负根 =b2- -4ac0. x1+x2=- - 0 =b2- -4ac0 f(0)0. - - 0. - - k 2ab3.方程方程 f(x)=0 有一正根一负根有一正根一负根 c0.5.方程方程 f(x)=0 的两实根一个大于的两实根一个大于 k, 另一个小于另一个小于 k f(k)

5、0. - - k 2ab7.方程方程 f(x)=0 的两实根都在区间的两实根都在区间(m, n)内内 f(m)0 =b2- -4ac0 m - - 0. 8.方程方程 f(x)=0 的两实根中的两实根中, 有且只有一个在区间有且只有一个在区间(m, n)内内. f(m)f(n)0, 或或f(m)=0 m - - , 2abm+n 2 - - n. 2abm+n 2f(n)=0 或或 思考思考 方程的两根有且只有一个在区间方程的两根有且只有一个在区间m, n上时等价于上时等价于?9.方程方程 f(x)=0 的两根分别在区间的两根分别在区间(m, n)和和(p, q)( (n0 f(n)0 f(p

6、)0. 注注 涉及方程涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a0)的实根分的实根分布问题布问题, 一般情况下要从四个方面考虑一般情况下要从四个方面考虑: f(x) 图象的开口方向图象的开口方向; 方程方程 f(x)=0的判别式的判别式; 区间端点处函数值的符号区间端点处函数值的符号. f(x) 图象的对称轴与区间的关系图象的对称轴与区间的关系; 0=00)的图象的图象二次函数二次函数y=ax2+bx+cxyx1x2x1=x2xyooxy(a0)的解集的解集ax2+bx+c0 x | x1x0) 的根的根有两相异实根有两相异实根 x1, x2 (x10)的解集的解集Rax2+bx+c0 x

7、| xx2x | x- - 2ab八、典型例题八、典型例题1.已知二次函数已知二次函数 f(x) 满足满足 f(2)=- -1, f(- -1)=- -1, 且且 f(x) 的最大值的最大值是是 8, 试确定此二次函数的解析式试确定此二次函数的解析式.解法一解法一: 利用二次函数的一般式利用二次函数的一般式.故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为 f(x)=- -4x2+4x+7. 设设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则则4a+2b+c=- -1, a- -b+c=- -1, =8. 4a4ac- -b2 a=- -4, b=4, c=7. 解得解得解法二解法二: 利用二次函数的顶点式

8、利用二次函数的顶点式.设设f(x)=a(x- -m)2+n, f(2)=f(- -1)=- -1, 抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线 x= , 12m= . 12又又 f(x) 的最大值是的最大值是 8, n=8. f(x)=a(x - - )2+8, 12f(2)=- -1, a(2 - - )2+8=- -1, 12a=- -4. 故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为f(x)=- -4(x- - )2+8=- -4x2+4x+7. 12解法三解法三: 利用二次函数的两根式利用二次函数的两根式.由已知由已知 f(x)+1=0 的两根为的两根为 2 和和 - -1, 故可设故可设

9、f(x)+1=a(x- -2)(x+1), 从而从而 f(x)=a(x- -2)(x+1)- -1. 即即 f(x)=ax2- -ax- -2a- -1. 又又 f(x) 的最大值是的最大值是 8,4a4a(- -2a- -1)- -a2 =8, 解得解得 a=- -4 或或 a=0(舍去舍去). 故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为f(x)=- -4(x- -2)(x+1)=- -4x2+4x+7. f(x) 在区间在区间 0, 2 上的最小上的最小值为值为 3, 可分情况讨论如下可分情况讨论如下:2.已知函数已知函数 f(x)=4x2- -4ax+a2- -2a+2 在区间在区间 0,

10、 2 上有最小值上有最小值 3, 求实数求实数 a 的值的值.解解: 由已知由已知 f(x)=4(x - - )2 - - 2a+2. a2a2(1)当当 0, 即即 a0 时时, 函数函数 f(x) 在在 0, 2 上是增函数上是增函数. f(x)min=f(0)=a2- -2a+2. a2(2)当当 0 2, 即即 0a0, 且当且当 xa 时时, S=(x - -3)2+y2 的最小值的最小值为为 4, 求参数求参数 a 的值的值.解解: 由已知由已知 S=(x - -3)2+y2=(x - -3)2+4a(x - -a)=x- -(3- -2a)2+12a- -8a2. 当当 xa 时

11、时, S(x)=x- -(3- -2a)2+12a- -8a2 的最小值为的最小值为 4, 对正数对正数 a, 可分情况讨论如下可分情况讨论如下: (1)当当 3- -2a1 时时, 函数函数 S(x) 在在 a, +上是增函数上是增函数. S(x)min=S(a)=(a- -3)2. 由由 (a- -3)2=4 得得: a=1 或或 5. a1, a=5. (2)当当 3- -2aa, 即即 0a1 时时, S(x)min=S(3- -2a)=12a- -8a2. 由由 12a- -8a2=4 得得: a=1 或或 , 12均满足均满足 00 的解集是的解集是(- (- , ) ), 求求

12、a, b, c 的取值范围的取值范围.1213解解: 由已知由已知, 二次方程二次方程 ax2+bx+c - -250 有实根有实根. = =b2- -4a(c - -25)0. 又不等式又不等式 ax2+bx+c0 的解集是的解集是(- (- , ) ),1213 a0. 1616 b=- -c, c2+24c(c - -25)0. 解得解得: c24. b- -24, a- -144. 故故 a, b, c 的取值范围分别是的取值范围分别是 a- -144, b- -24, c24. 代入代入 b2- -4a(c - -25)0 得得: 5.已知已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点的图

13、象过点(- -1, 0), 是否存在常数是否存在常数 a, b, c, 使不等式使不等式 xf(x) 对一切实数对一切实数 x 都成立都成立?x2+1 2则由则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点的图象过点(- -1, 0), 得得 a- -b+c=0. xf(x) 对一切实数对一切实数 x 都成立都成立, 当当 x=1 时也成立时也成立, x2+1 2 1f(1)1, 即即 f(1)=1, 得得 a+b+c=1. 由由 , 得得: a+c=b= . 121212 f(x)=ax2+ x+ - -a. 解解: 假设假设存在常数存在常数 a, b, c, 使题中不等式对一切实数使题中不等式对一

14、切实数 x 都成立都成立. 1212故应故应xax2+ x+ - -a 对一切实数对一切实数 x 都成立都成立. x2+1 2即即2ax2- -x+1- -2a0与与(1- -2a)x2- -x+2a0对一切实数对一切实数 x 都成立都成立.则必有则必有: 1- -8a(1- -2a)0, 即即 (4a- -1)20. 14 a= . 1214 c = - -a = . x2+1 214故存在一组常数故存在一组常数: a= , b= , c= , 使不等式使不等式 xf(x)对一切实数对一切实数 x 都成立都成立.1412其中其中, 0a0, 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围; (2)若

15、若对对 - -1, 1 上的一切实数上的一切实数 m, 都有都有 f(m)0, 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围.解解: f(x) 的图象是开口向上的抛物线的图象是开口向上的抛物线, 其对称轴为直线其对称轴为直线 x=a- -1. (1)问题等价于问题等价于“对于对于 x- -1, 1, 有有 f(x)max0.”讨论如下讨论如下: 当当 a- -10 即即 a1 时时, f(x)max=f(1)=- -a2- -2a+15. 由由 - -a2- -2a+150 得得: - -5a3. a1, - -50 即即 a1 时时, f(x)max=f(- -1)=- -a2+6a+7. 由由

16、- -a2+6a+70 得得: - -1a1, 1a7. 综上所述综上所述, - -5a0.”讨论如下讨论如下: 当当 a- -1- -1 即即 a0 得得: - -1a7. a0, - -1a0 恒成立恒成立. 0a2. 注注: 亦可亦可用补集法用补集法求解求解. 综上所述综上所述, - -1a1 即即 a2 时时, f(x)min=f(1)=- -a2- -2a+15. 由由 - -a2- -2a+150 得得: - -5a2, 2a0), 方程方程 f(x) - -x=0 的两根的两根x1, x2 满足满足 0 x1x2 . (1)当当 x(0, x1) 时时, 证明证明: xf(x)x

17、1; (2)设函设函数数 f(x) 的图象关于直线的图象关于直线 x=x0 对称对称, 证明证明: x0 . 1a2x10 x1x20, 1+a(x- -x2)=1+ax- -ax21- -ax20. 1a当当 x(0, x1) 时时, 由由 x10 有有: F(x)=a(x- -x1)(x- -x2)0. 即即 f(x) - -x0, 从而从而 f(x)x. 又又 x1- -f(x)=x1- -x+F(x)=x1- -x- -a(x- -x1)(x- -x2)=(x1- -x)1+a(x- -x2). x1- -f(x)0, 从而从而 x1f(x).故当故当 x(0, x1) 时时, 有有

18、xf(x)x1; (2)依题意依题意 x0=- - . 2ab由于由于 x1, x2 是方程是方程 f(x)- -x=0 即即 ax2+(b- -1)x+c=0 的两根的两根, x1+x2=- - , b=1- -a(x1+x2). b- -1 a x0=- - 2ab1- -a(x1+x2) 2a =- -a(x1+x2)- -1 2a = . ax21, 即即ax2- -10, 2x1a(x1+x2)- -1 2a = = . x0 2aax1故故 x00 在在 0, 上恒成立上恒成立, 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围.解解: (1)令令 t=sinx, 则方程则方程 2sin2x

19、- -4asinx+1- -a=0 在在 0, 上有两个上有两个 不同的解等价于不同的解等价于:方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 有一根为有一根为 0, 另一根不在另一根不在 (0, 1) 内内; 或方程或方程 2t2- -4at+1- -a=0 在在 (0, 1) 内有两等根内有两等根; 或方程或方程 2t2- -4at+1- -a=0 有一解在有一解在 (0, 1) 内内, 另一解在另一解在 0, 1 外外. 当当 t=0 时时, a=1, 方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 的另一根为的另一根为 2 且且 2 (0, 1), a=1 适合题意适合题意; 方程方程 2

20、t2- -4at+1- -a=0 有两等根时有两等根时, 由由 =16a2- -8(1- -a)=0 得得: a=- -1 或或 . 12a=- -1时时, 方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 的两等根为的两等根为- -1 但但 - - 1 (0, 1), a=- -1 不合题意不合题意, 舍去舍去; 12又又a=时时, 方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 的两等根为的两等根为 且且 (0, 1), 1212a= 适合题意适合题意; 12 设设 f(t)=2t2- -4at+1- -a, 则方程则方程 2t2- -4at+1- -a=0有一解在有一解在(0, 1)内内, 另一解在另一解在 0, 1 外等价于外等价于: f(0)f(1)0, 即即 (1- -a)(3- -5a)0. 解得解得 a1. 35综上所述综上所述, 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是 a= , 或或 0 在在 0, 上恒上恒成立等价于不等式成立等价于不等式 2t2- -4at+1- -a0 在在 0, 1 上恒成立上恒成立.等价于等价于 或或 或或a0 0a1 f(a)0 a1 f(1)0. 即即 或或 或或a0 0a1 2a2+a- -11 3- -5a0. 解得解得 a , 12此即为所求实数此即为所求实数 a 的取值范围的取值范围.解法二解法二: 分离参数分离参数: a