运筹学讲义——影子价格

1、对偶最优解的经济含义对偶最优解的经济含义影子价格影子价格 *22*11*mmybybybZ 代表着当第代表着当第i i个右端常数增加一个个右端常数增加一个单位时，最优目标函数值的相应增量。单位时，最优目标函数值的相应增量。 其含义是在目前已给定的情况下，最其含义是在目前已给定的情况下，最优目标值随资源数量变化的变化率；优目标值随资源数量变化的变化率； 其其经济含义经济含义是为约束条件所付出的代是为约束条件所付出的代价。价。 当当B B是原问题的最优基时，是原问题的最优基时，Y=CBB-1就是影子价格向量就是影子价格向量。iiZybABC拥有量工 时1113材 料1479单件利润23312min

2、39Wyy12121212243. .730,0yyyystyyyy y*1=5/3, y*2=1/3 即工时的影子价格为即工时的影子价格为5/3，材料的影子价格为，材料的影子价格为1/3。分析分析： 1. y1=5/3说明在现有的资源限量的条件下，说明在现有的资源限量的条件下，增加一个单位第一种资源可以给企业带来增加一个单位第一种资源可以给企业带来5/3元元的利润；如果要出售该资源，其价格至少在成本的利润；如果要出售该资源，其价格至少在成本价上加价上加5/3元。元。 如果如果y1为为0，则表示增加第一种资源不会增加利，则表示增加第一种资源不会增加利润，因为第一种资源还润，因为第一种资源还 没

3、有用完。没有用完。|影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而作出的估价，这种估价不是资源的市场价格。 它反映了在最优经济结构中，在资源得到最优配置前提下，资源的边际使用价值。单纯形表中松弛变量所对应的检验数的相反数是在该经济结构中的影子价格，也可以说对偶问题的最优解向量是结构中的影子价格。|定理1：在某项经济活动中，在资源得到最优配置条件下， 此定理的经济意义：（1）若生产一个单位第j种产品按消耗资源的影子价格计算的支出等于销售一个单位该产品所得收入，则可生产此产品。（2）如果生产一个单位的第j种产品按所消耗资源的影子价格计算的支出大于销售一个单位该产品得到的收入，则不宜生产此产品。i=i=0;

4、,=0jjjjaycaycmjij1mijj1若 x ， 则 有若则 有 x|定理2：在某项经济活动中，在资源得到最优配置条件下，（1）若第种资源供大于求，即则该项资源的影子价格为0（2）若第种资源供求平衡，即则该项资源的影子价格大于等于0。影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺（根据影子价格确定资源采购,当市场价格低于影子价格，就买进资源，当市场价格高于影子价格，就卖出资源）影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子价格一定等于0j=jia xbnij1j=jia xbnij1ABC拥有量工 时1113材 料1479单件利润233 y*1=5/3,

5、y*2=1/3 即工时的影子价格为即工时的影子价格为5/3，材料的影子价格为材料的影子价格为1/3。如果目前市场上材料的价如果目前市场上材料的价格低于格低于1/3，则企业可以，则企业可以购进材料来扩大生产，反购进材料来扩大生产，反之可以卖掉部分材料。之可以卖掉部分材料。 如果有客户以高于如果有客户以高于5/3的价格购买工时，则可以的价格购买工时，则可以出售一些工时，反之则反出售一些工时，反之则反12min39Wyy12121212243. .730,0yyyystyyyy和市场价格的比较市场价格影子价格商品的价值的货币表现资源最优利用时的边际价值随着市场的供求情况和有关方针，政策的变化而变化。

6、随着经济结构的变化而变化，同一资源在不同的经济结构中影子价格不同。它的制定含定价者的主观因素它的形成完全由经济结构的客观条件确定。它的制定是个比较复杂的过程，不存在统一的计算公式。它的计算是比较容易的。用单纯形法求得|继续比较任何一种商品的市场价格都不可能为0影子价格可以为0，当资源过剩是，其影子价格为0市场价格为已知数，相对比较稳定。影子价格则有赖于资源利用情况，是未知数。因企业生产任务，产品的结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之改变。 在生产计划问题的一般形式中，A代表企业的技术状况，b代表企业的资源状况，而C代表企业产品的市场状况，在这些因素不变的情况下企业的最优生产计划和最大利润由

7、线性规划的最优解和最优值决定。在实际生产过程中，上述三类因素均是在不断变化的，如果按照初始的状况制订了最佳的生产计划，而在计划实施前或实施中上述状况发生了改变，则决策者所关心的是目前所执行的计划还是不是最优，如果不是应该如何修订原来的最优计划。更进一步，为了防止在各类状况发生时，来不及随时对其变化作出反应，即所谓“计划不如变化快”，企业应当预先了解，当各项因素变化时，应当作出什么样的反应。 设线性规划问题： maxZ=CX s.t. AX=bA代表企业技术状况b 代表企业资源状况C代表企业产品市场状况（利润) 这些因素不 变的情况下，企业最优生产计划和最大利润由线性规划的最优解和最优值决定。最

8、优化后分析，可归为以下两类问题： 1）当系数A，b，C发生改变时，目前 最优基是否还最优？2） 为保持目前最优基还是最优，系 数A，b，C的允许变化范围是什么？假设每次只有一种系数变化灵敏度分析包括以下五种：目标系数C变化 基变量系数发生变化； 非基变量系数发生变化；右端常数b变化增加一个变量增加一个约束技术系数A发生变化 CB XB cjCBCN xj b XBTXNTCBTXBB-1b B-1BB-1N- CB B-1b CB- CB B-1BCN- CB B-1N若B是最优基，则最优表形式如下灵敏度分析总是在最优表上进行 例27 线性规划 5432100332maxxxxxxZ39743

9、5153214321xxxxxxxxxx CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4X50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3例27 线性规划 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4X50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/34111),(21PPB3/13/13/13/4,1070111BN219331313134931B3131231341107011313131341NB例27 线

10、性规划 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4X50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/33-2*（-1）-3*2=-1例27 线性规划 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3价值系数CN发生改变 C3C3-4如果C34,则目前解不再是最优解,应该用单纯形方法继续求解,否则解不变。即对于C3而言,使最优解不变的条件是C34。例27 线性规划

11、CB XB cj23500 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/31-8001-5/3-1/3价值系数CN发生改变 2x1211/20 7/6-1/65x3101/21-1/61/6-90-0.50-3/2-1/2例27 线性规划 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3价值系数CB发生改变 C1-3C1C11-4/3C11/3C1-1C1-3 0, 1-

12、4/3C10, 1/3C1-10 C13若C13/4 则x4进基，x1出基若3 C1 则x3或x5进基，x2出基例27 线性规划 CB XB cj1/23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147011/2x1110-1 4/3-1/33/43x22012-1/31/3-13/200-5/21/3-5/6价值系数CB发生改变 0 x43/43/40-3/4 1-1/43x29/41/417/401/4-27/4-1/40-9/40-3/4例27 线性规划 CB XB cj43300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147014x1

13、110-1 4/3-1/33x22012-1/31/33/2-10001-13/31/3价值系数CB发生改变 4X13111 100X56036-11-120-1-1-40例27 线性规划 右端常数b发生改变 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3b14b1/3-33/3334931313134911111bbbbB3-b1/39/4b1 9-3-5b1/3例27 线性规划 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x4211

14、1 100 x59147012x1-1/310-1 4/3-1/33x27/3012-1/31/3-19/300-1-5/3-1/3右端常数b发生改变 0X51-303 -413X2211110-6-100-30最小比值1 1例27 线性规划 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x412111 100 x59147012x11310-1 4/3-1/33x2-1012-1/31/3-2300-1-5/3-1/3右端常数b发生改变 2X19147 010X430-3-61-1-180-5-110-2最小比值5例27 线性规划 右端常数b发生改变 CB XB cj2330

15、0 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3b24-b2/313/3/4331313134322221bbbbBb2/3-13b2 12-b2/3-5增加一个变量增加一个变量若企业在计划期内，有新的产品可以生产，则在知道新产品的单位利润，单件资源消耗量时，可以在最优表中补充一列，其中的前m行可以由基矩阵的逆矩阵得到，而检验数行也可以由与其它列相同的方法计算得到。若检验数非正，则原最优解仍为最优，原生产计划不变，不生产这种新产品；否则，当检验数为正时，则应以该变量进基，作单纯形

16、迭代，从而找出新的最优解。 例211 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33/53x22012-1/31/36-800-1-5/3-1/35x623x65/31/32/35x63/53/50-3/5 4/5-1/513x29/5-1/5111/5-3/52/50-42/5-2/50-3/5-11/5-1/50 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3增加

17、一个约束增加一个约束在企业的生产过程中，经常有一些突发事件产生，造成原本不紧缺的某种资源变成为紧缺资源，对生产计划造成影响，所以需要增加约束条件。1）若把目前的最优解代入新增加的约束，能满足约束条件，则说明该增加的约束对最优解不构成影响，即不影响最优生产计划的实施。2)若当前最优解不满足新增加的约束，则应把新的约束添到原问题的最优表内新的一行中去，用对偶单纯形方法来进行迭代，求出新的最优解。 例212增加约束 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147010 x65221002x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/30 x6522100-800-1-5/3-1/30 x60010010522321xxx CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50