第三章 --第三讲--同坡屋顶的画法及本章重点难点解析

1、同坡屋顶的画法及本章重点难点解析2013年10月22日同坡屋顶的画法 在坡屋顶中，如果各屋面有相同的水平倾角，且屋檐各处同高，则由这种屋面构成的屋顶称为同坡屋顶，如下图：概述： 点击图形放大同坡屋面同坡屋面同同 坡坡 屋屋 顶顶 画画 法法同坡屋顶同坡屋顶-每个屋面的每个屋面的坡度相同坡度相同 四周四周屋檐同高屋檐同高的屋顶。的屋顶。屋面底边：屋面底边：屋檐屋檐屋顶要素屋顶要素-屋面屋面交线交线：屋脊屋脊斜脊斜脊天沟天沟同坡屋面三维展示屋檐屋檐脊脊斜斜屋脊屋脊天天沟沟 同坡屋顶的同坡屋顶的特点特点屋檐平行的两屋面屋檐平行的两屋面相交于相交于屋脊屋脊。屋屋檐檐斜斜脊脊屋脊屋脊天天沟沟 相邻两屋面

2、必相邻两屋面必交交于斜脊于斜脊或或天沟天沟，其，其水平投影必过屋檐水平投影必过屋檐水平投影的交点且水平投影的交点且呈呈角平分线角平分线。屋顶上有两条交屋顶上有两条交线时线时必有必有第三条交第三条交线存在，且线存在，且三交线三交线共点共点。 屋顶三交线中必屋顶三交线中必有一条水平的有一条水平的屋脊屋脊和另和另两条傾斜两条傾斜 的斜脊的斜脊或或一条斜脊一条斜脊及及一条天沟一条天沟。例例 已知同坡屋顶的已知同坡屋顶的水平投影轮廓水平投影轮廓和和屋面坡屋面坡角角为为45度度，求其，求其水平投影水平投影及及正面投影正面投影。例例 已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角为已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角

3、为45度，度，求其水平投影及正面投影。求其水平投影及正面投影。解解：例例 已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角为为45度，求其水平投影及正面投影。度，求其水平投影及正面投影。解：解：1 作部分作部分斜脊斜脊和和天沟天沟-过屋檐过屋檐交点交点作作斜脊斜脊和和天天沟沟例例 已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角为已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角为45度，求其水平投影及正面投影。度，求其水平投影及正面投影。解：解：1 作部分作部分斜脊斜脊 和和天沟天沟。注意封口注意封口!4545方向方向 2 作部分作部分屋脊屋脊-屋脊屋脊平行平行相应相应屋檐屋檐解：解：1 作部

4、分斜脊作部分斜脊 和天沟。和天沟。 2 作部分屋脊。作部分屋脊。 3 作作剩余剩余斜脊斜脊- 45度方向度方向例例 已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角为已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角为45度，度，求其水平投影及正面投影。求其水平投影及正面投影。例例 已知同坡屋顶的水已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角平投影轮廓和屋面坡角为为45度，求其水平投影度，求其水平投影及正面投影。及正面投影。解：解：1 作部分斜脊和天沟。作部分斜脊和天沟。 2 作部分屋脊。作部分屋脊。 3 作剩余斜脊。作剩余斜脊。屋脊！屋脊！ 4 作正面投影作正面投影- 注意注意屋脊屋脊和和四个屋面四个屋面5 注意注意积聚性积

5、聚性和和长对正长对正屋面！屋面！例例 已知同坡屋顶的水已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角平投影轮廓和屋面坡角为为45度，求其水平投影度，求其水平投影及正面投影。及正面投影。解：解：1 作部分斜脊和天沟。作部分斜脊和天沟。 2 作部分屋脊。作部分屋脊。 4 作正面投影。作正面投影。 3 作剩余斜脊。作剩余斜脊。5 加深加深例例 已知同坡屋顶的水已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角平投影轮廓和屋面坡角为为45度，求其水平投影度，求其水平投影及正面投影。及正面投影。解：解：注意点注意点：画图原则画图原则-1 先交先画先交先画。2 注意封口符合注意封口符合同坡屋顶的同坡屋顶的 投影特投影特 点。点。

6、3 正面投影中左正面投影中左右四屋面为正垂面。右四屋面为正垂面。 4 注意三等关系注意三等关系 （长对正）！（长对正）！注意注意3.5 同坡屋顶的画法 例：根据屋檐的水平投影及屋面的水平倾角，作出屋根据屋檐的水平投影及屋面的水平倾角，作出屋顶的两面投影图。顶的两面投影图。3.5 同坡屋顶的画法 自动演播已知已知作图作图描粗描粗 例：根据屋檐的水平投影及屋面的水平倾角，作出根据屋檐的水平投影及屋面的水平倾角，作出屋顶的两面投影图。屋顶的两面投影图。 水平投影作图过程动画水平投影作图过程动画1、投影的概念及分类；、投影的概念及分类；4、三面体系中点的投影规律；、三面体系中点的投影规律；5、点的投影

7、与直角坐标的关系；、点的投影与直角坐标的关系；2、正投影的概念；、正投影的概念；3、平行投影的基本特性；、平行投影的基本特性；重点、难点重点、难点：6 6、掌握两点的相对位置关系及、掌握两点的相对位置关系及及及本章关键点：直线与平面、本章关键点：直线与平面、平面与平面的相对位置平面与平面的相对位置 3.1 平行问题平行问题3.1 平行问题平行问题3.2 相交问题相交问题3.3 垂直问题垂直问题3.4 综合问题分析综合问题分析3.1 3.1 平行问题平行问题3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行3.1.2 平面与平面平行平面与平面平行3.1.1 3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行 若平面

8、外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。PCDBA例例1 试判断直线试判断直线AB是否平行于平面是否平行于平面 CDE。fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面XO例例2 过点过点K作一水平线作一水平线AB平行于已知平面平行于已知平面 CDE。b a af fbc e d edk kcXO3.1.2 3.1.2 平面与平面平行平面与平面平行 若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。直线，则这两个平面平行。PSEFDACBf e d edfc a ac

9、b bm n mnr rss 结论：两平面平行结论：两平面平行XO例例3 3 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行例例4 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试过点给定。试过点K作作一平面平行于已知平面一平面平行于已知平面 。em n mnf e fsr s rd dc a acb bk kXO例例5 5 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行结论：两平面平行结论：两平面平行ef e fsr s d dc a acb brPHSHXO3.2 相交问题相交问题3.2.1 积聚性法积聚性法3.2.2 辅助平面法辅助平面法交点与交线的性质交点与交线的性质 直线与平面、

10、平面与平面不平行则必相交。直线与平面直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有相交有交点交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的与平面的共有点。两平面的交线交线是直线，它是两个平面的共是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。线的投影。 PABKDBCALKEF3.2.1 3.2.1 积聚性法积聚性法 当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与

11、平面积聚性投影的交点，另一个投影点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM直线可见性的判别b ba acc m mn k n 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性判别直线的可见性-观察法观察法 VHPHPABCacbkNKMk在平面之前XOaa(b)bcedcefdfkk例例6 铅垂线铅垂线AB与一般位置平面与一般位置平面CDE相交，求交点并判别相交，求交点并判别可见性。可见性。（2 2） 两平面相交两平面相交f k 求两平面交线的

12、问题可以看作是求两个共有点的问题求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。交线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm l n bacc a b XOfk平面可见性的判别平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk过过AB作平面作平面P垂直于垂直于H投影面投影面3.2.2 3.2.2 辅助平面法辅助平面法DECP12KBA2PH1 作题步骤：作题步骤：1、 过过

13、AB作铅作铅垂平面垂平面P。2、求、求P平面与平面与CDE的交线的交线。3、求交线、求交线与与AB的的交点交点K。XOa b bacd e edc 12 kk 直线直线ABAB与平面与平面CDECDE相交，判别可见性。相交，判别可见性。( )a b bace edc d 124 （ ）kk XO3 342 1 以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点1 2 QV21步骤：步骤：1、 过过EF作正作正垂平面垂平面Q。2、求、求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3、求交线、求交线与与EF的交的交点点K。f e efba acb c k k 利用求一般位利用求一般位置线面交点的方法置

14、线面交点的方法找出交线上的两个找出交线上的两个点，将其连线即为点，将其连线即为两平面的交线。两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法 1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。baccbadd eff e PVQV21k kl l2、连接两个共有点，画出交线KL。XO作题步骤12利用重影点判别可见性baccballnmmnkeek3 4 ( )3 4 21( )1 2XO两平面相交，判别可见性例例7 试过试过K点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线，并与直线EF相相交交 。ac ba cb f e ef

15、k kXO分析FPCABEKH 过已知点过已知点K K作平面作平面P P平行平行于于 ABCABC；直线；直线EFEF与平面与平面P P交交于于H H；连接；连接KHKH，KHKH即为所求。即为所求。作图步骤作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点、过点K作平面作平面KMN/ ABC平面。平面。2、过直线、过直线EF作正垂作正垂平面平面P。3、求平面、求平面P与平面与平面KMN的交线的交线。4、求交线、求交线 与与EF的交点的交点H。5、连接、连接KH，KH即即为所求。为所求。3. 3 垂直问题垂直问题3.3.1 直线与平面垂直直线与平面垂直3.3.2 平面与平面垂直平

16、面与平面垂直3.3.1 3.3.1 直线与平面垂直直线与平面垂直VHPAKLDCBE 几何条件几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。平面的一切直线。 定理定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO 定理定理2（逆）：（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投

17、若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。则直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXOacacnnmfdbdbfm例例8 平面由平面由BDF给定，试过定点给定，试过定点M作平面的垂线。作平面的垂线。hhhhhhkkSVkkPVkkQH例例9 试过定点试过定点K作特殊位置平面的法线。作特殊位置平面的法线。efemnmncaadbcdbfXO例例10 平面由两平行线平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN是否垂是否垂直于定平面。

18、直于定平面。例例11 试过点试过点N作一平面，使该平面与作一平面，使该平面与V面的夹角为面的夹角为60 ，与，与H面的夹角为面的夹角为45 。nnXO平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角HPAKFDCBEf分析直径任取NM|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|3045m nmnkhnnXO作图过程3.3.2 3.3.2 两平面垂直两平面垂直 几何条件：几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。所有平面都垂直于该平面。PAB 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第

19、二个平面作的垂线必属于第一个平面。AB两平面垂直两平面不垂直ABghacachkkfdbdbfgXO例例12 平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点K作已知平面的垂面作已知平面的垂面ghachackkbbgffdd结论：两平面不平行。XO例例13 试判断试判断 ABC与相交两直线与相交两直线KG和和KH所给定的平面是否所给定的平面是否垂直。垂直。3.4 综合问题分析及解法综合问题分析及解法3.4.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题3.4.2 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题 平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特

20、性、作图原理与方法。一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。要多种作图方法才能解决。 求解综合问题主要包括：空间几何元素求解综合问题主要包括：空间几何元素的的定位问题定位问题（交点、交线）和空间几何元素（交点、交线）和空间几何元素的的度量问题度量问题（如距离、角度）。（如距离、角度）。 综合问题解题的一般步骤：综合问题解题的一般步骤： 1. 分析题意分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤拟定解题步骤例例14 已知三条直线已知三条直线CD、EF和和

21、GH，求作一直线，求作一直线AB与与CD平行，并且与平行，并且与EF、GH均相交。均相交。cghefdcefghdXO3.4.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题分析分析 所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF作图过程作图过程kkcghefdcefghdXOPV11 2 2aabb例例15 试过定点试过定点A作直线与已知直线作直线与已知直线EF正交。正交。aefafeXO分析分析EQFAK过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。作图过程作图过程2 1aefafe1 22 PVaefafe1 kk21例例16 求点求点C到直线到直线AB的距离。的距离。cabcabXO分析分析PABCK 过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。作图过程作图过程cabcabXOeded1212kk所求距离所求距离例例17 求交叉直线求交叉直线AB和和CD的公垂线。的公垂线。ccababXOdd3.4.1 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题分析分析LKAB