多元函数的连续性

1、1. 多元函数的连续性多元函数的连续性6-3 多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义 设设 在点在点 的一个邻域内的一个邻域内有定义有定义,若若 则称则称 在在 点连续点连续.,uf x y00,x y0000,lim,x yx yf x yf x y,f x y00,x y若在区域内有定义且在内每一若在区域内有定义且在内每一点都连续，则称在区域内点都连续，则称在区域内连续连续,uf x y,uf x y0000,lim,x yx yf x yf x y2. 关于二元函数连续性的几个定理关于二元函数连续性的几个定理定理定理1 设设 与与 在点在点 处连续，处连续， ,f x y,g x y0

2、0,x y,uf x yg x y ,vf x yg x y及及在点在点 处也连续处也连续00,x y若若00,0,g x y则则,/,wfx yg x y00,x y在在点连续点连续定理定理 (复合函数的连续性复合函数的连续性) 设设 在点在点 附近内有定义附近内有定义, 且在连续，且在连续，,zf x y00,x y00,x y又设又设 在点在点 的附近有定义的附近有定义,且在点连续，则复合函数且在点连续，则复合函数 u g z000,zf x y0z,ug f x y在在00,x y点连续点连续定理定理 3 二元初等函数在其定义域内是连续的二元初等函数在其定义域内是连续的.映射的连续性映

3、射的连续性0000:0,.mnmmfDRRDRPDDfDRPf UPUP设是中的区域 到的一个映射,又设是区域 中的一点, 称在点是连续的, 如果对于任意给定的都存在 0, 使得 如果在区域中每一点都连续，则称如果在区域中每一点都连续，则称 在在中中连续连续f定义定义 一元连续函数在闭区间上的性质, 推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质.在空间)2( nRn中, 闭区域不一定有界.在一维空间中, 闭区间一定是有界的.有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质定理定理（有界性定理）（有界性定理） 设函数在有界闭区域设函数在有界闭区域 上连续，上连续，则在则在 上有界上有界

4、f PD f PD .f PMPD 即存在常数即存在常数使使0M D0P D 在在 的边界点的边界点 连续连续 0P0, 0,使得当使得当 0P UPD时时, 0.f Pf P有有有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质定理定理 最大最大(小小)值定理值定理 设函数在有界闭区域设函数在有界闭区域 上连续，上连续，则在则在 上达到最大值和最小值上达到最大值和最小值 f PD f PD即存在点即存在点12,P PD 使使 12,.f Pf Pf Pf PPD 有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质定理定理（介值定理）（介值定理） 设函数在闭区域设函数在闭区域 上连续，并假

5、上连续，并假定与定与m m分别是在分别是在 上的最大值和最小上的最大值和最小值，值， f PD f PD则对于任意的则对于任意的:,mM 一定有一点一定有一点0PD使得使得0.f P例例 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 , 0 ,2 当当 时时 220yx 2)0 , 0(),(fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.根据函数连续的定义根据

6、函数连续的定义, ,只需证明只需证明 . 0),(lim00yxfyx 例例解解 : )0 , 0( 处处的的连连续续性性讨讨论论函函数数在在点点),(yxf0 ,|)( |2222yxyxxxy, 0 , 022 yx,222ryx0)0,0(),(ryx运用夹逼定理运用夹逼定理: :rrryxxxy2|cos)cos(sin|)( |022202lim0rr0|)( |lim2200yxxxyyx故函数在点故函数在点( (0, 0) )处连续处连续. .运用极坐标运用极坐标 , cosrx , sinry 例例 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0

7、,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续根据连续性求极限 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则 )()(lim00PfPfPP 例 7 求xyyxyx)2 , 1 (),(lim 例 解 函数xyyxyxf),(是初等函数 它的定义域为 解 因为P0(1 2)为D的内点 所以 D(x y)|x0 y0 23) 2 , 1 (),(lim)2 , 1 (),(fyxfyx23)2 , 1 (),(li

8、m)2 , 1 (),(fyxfyx 例 8 求xyxyyx11lim)0 , 0(),( 例 解 ) 11() 11)(11(lim11lim)0 , 0(),()0 , 0(),(xyxyxyxyxyxyyxyx21111lim)0 , 0(),(xyyx ) 11() 11)(11(lim11lim)0 , 0(),()0 , 0(),(xyxyxyxyxyxyyxyx . 的间断点的间断点求函数求函数yxxyz由分母不能为零由分母不能为零, ,的一切点均为函的一切点均为函数的间断点数的间断点. .Oxy0 yx)D( f 例例解解直线直线上上0 yx多元函数的间断点可以构成一些直线、曲线、曲面等, 也可以是某些点的集合. . 1 22的的间间断断点点求求函函数数yxz由分母不能为零由分母不能为零, , . , 0 22函函数数无无定定义义时