微分方程的拉氏变换求解方法图文

1、1其中，通常有其中，通常有 n w，F(s) 是是系系统传递函数统传递函数01110111)()()(bsbsbsasasasasXsYsFnnnwwwwzs在零初始条件下，取拉普拉斯变换，可以得到在零初始条件下，取拉普拉斯变换，可以得到为了得到系统的时间响应，需要进行为了得到系统的时间响应，需要进行拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换)()()(1sXsFLtyzs如果如果初始条件不等于零初始条件不等于零，我们能够得到系统的时间响应吗？如何得到？，我们能够得到系统的时间响应吗？如何得到？特征函数特征函数- (s) (s)=0 是系统的特征方程是系统的特征方程01)(0)1(1)()()()()()(

2、atxatxatybtybtywwnnnv 一般地，一般地，n 阶系统阶系统具有如下形式的微分方程具有如下形式的微分方程：2关键点在于如何得到传递函数的部分分式表达关键点在于如何得到传递函数的部分分式表达根据根据 X(s) 的分母，部分分式分解可以分四种情况进行讨论的分母，部分分式分解可以分四种情况进行讨论01110111)()()(bsbsbsasasasasXsYsFnnnwwwwzs)()()()()()(21nzszssssssssYsXsYsFnnzsssAssAssAsXsYsF2211)()()(v 通常可以利用拉氏变换表或计算机程序来进行通常可以利用拉氏变换表或计算机程序来进行

3、拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换暂态响应暂态响应暂态响应暂态响应：拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法3v 对于一个稳定系统，所有与通解相关的实极点必须位于 S 平面的左半平面v 情况情况 1：F(s) 有一阶实极点有一阶实极点2211021)()()()()(ssAssAsAssssssYsXsYsFzszststseAeAAtf21210)(LT-1v 系数系数 Ak 是是 F(s) 在相应极点处的留数，因此一阶实极点的系数为在相应极点处的留数，因此一阶实极点的系数为kksszssszskksXsYsXsYssA)()()()()(ImRes平面平面s1s0s2暂态响应暂态响应暂态响应暂态响应：拉

4、普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法4v 情况情况 2：F(s) 具有多重一阶实极点具有多重一阶实极点2211121123113231)()()()()()()()(ssAssAssAssAsssssYsXsYsFzszs 如何计算如何计算 A2？v 其中，其中， 1)()()(3113sszssXsYssA1)()()(3112sszssXsYssdsdA1)()()(2131211sszssXsYssdsdAImRes平面平面s13s2tstststseAeAteAetAtf2111211122132)( LT-1暂态响应暂态响应暂态响应暂态响应：拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法5v 情况情况

5、3-1：F(s) 具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）33222133221132211 )(2()()()()(ssAjsAjsAssAssAssAsssssYsXsYsFnnnnnnzszs 22311123( )nnnnjtjts tftA eA eA e LT-1暂态响应暂态响应暂态响应暂态响应：拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法tsdttsnttstjtjeAteAeAteAeAeAeAtfnnnnn333223132131211)sin(2 )1sin(2 )(1)()()(11sszssXsYssA1A9 0的 角 度v 由于

6、由于 s1 是复数，所以是复数，所以 A1 也是复数，也是复数，且且A1 和和A2 是共轭复数是共轭复数v 情况情况 3-1：F(s) 具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）。具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）。如果复数极点具有如果复数极点具有负实部负实部 ，其中阻尼比，其中阻尼比 0ImRes平面平面s2s3dnjj21 ns1n1cosv 极点将位于极点将位于S 平面的左半平平面的左半平面（如图所示），系统是稳定面（如图所示），系统是稳定的的v 极点与原点连线同负实轴的极点与原点连线同负实轴的夹角夹角 取决于阻尼比取决于阻尼比cos暂态响应暂态响应暂态响应暂态响应：拉普

7、拉斯变换方法拉普拉斯变换方法6问题：问题：如果复数极点具有正实部，如果复数极点具有正实部，系统的稳定性如何？系统的稳定性如何？n )sin(tAedttAe（欠阻尼）（欠阻尼）（过阻尼）（过阻尼）tAeImRes平面平面s2s3dnjj21 ns1n1cosv 情况情况 3-1：F(s) 具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）。具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）。如果复数极点具有如果复数极点具有负实部负实部 ，其中阻尼比，其中阻尼比 0暂态响应暂态响应暂态响应暂态响应：拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法7n v 例：例： 24343)2)(256(10)(3212sAjsAj

8、sAssssFtttsdteteeAteAtf233159.0)1044sin(606.0 )sin(2)(3194303.0)2)(256(10)43(4321jssssjsA59. 0)2)(256(10)2(223sssssA1A9019490104 的角度1222223sin()( )10,tan()() 0.590.606sin(4104 )ctttteebtbf tcabcabcabeet可查阅拉氏可查阅拉氏变换表变换表a=3, b=4, c=2暂态响应暂态响应暂态响应暂态响应：拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法89v 情况情况 3-2：F(s) 具有一对具有一对虚数极点虚数极点（实

9、部为零）（实部为零）0) here( ; )()()()()(3321332211322ssAjsAjsAssAssAssAssssYsXsYsFnnnzszstsntstjtjeAtAeAeAeAtfnn3331321)sin(2)(1)()()(11sszssXsYssA1A9 0的 角 度3)()()(33sszssXsYssAImRes平面平面s3s2s1v 由于没有阻尼项与正弦函数相乘，因此正弦函由于没有阻尼项与正弦函数相乘，因此正弦函数为数为稳态值稳态值LT-1暂态响应暂态响应暂态响应暂态响应：拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法v 情况情况 4：F(s) 具有多重共轭复数极点（分母具有多重二次多项式具有多重共轭复数极点（分母具有多重二次多项式形式）形式）