-不定积分及其计算(续)96663

1、1高等院校非数学类本科数学课程授课教师 彭亚新2二.不定积分的计算利用不定积分的性质利用不定积分的性质换元法换元法( 第一、第二第一、第二 )分部积分法分部积分法部分分式法部分分式法34. 不定积分的部分分式法 下面介绍三类常用函数的积分法部分分式法. 4 )()()(11101110mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR)cos ,(sinxxR) ,(nbaxxR换元法部分分式法) ,(ndcxbaxxR5(1) 有理函数的积分法 部分分式法式的商构成的函数：有理函数是由两个多项 )( 为有理真分式；时，称当xRmn . )( 为有理假分式时，称当xRmn )()()(

2、11101110mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR为一个多项式与一个运用除法可将假分式化 . 有理真分式的和的形式我们只需讨论有理真分式的积分方法.6由高等代数知识，任何一个有理真分式均可化为下列四类简单分式之和的形式：, )( , , )( , 22kkqpxxBAxqpxxBAxaxBaxA . 04 2qpRqpaBAZk，且，常数其中， 定理实系数多项式因式分解域上都可以的实系数多项式在实数每个次数 1积与二次不可约因式的乘唯一地分解成一次因式7例1解 . 2422 1322)( 23452写成部分分式形式将xxxxxxxxR ) 1)(2(2422 222345

3、，故令因为xxxxxxx ) 1)(2( 1322 2422 132222223452xxxxxxxxxxx1) 1(2222xEDxxCBxxA通分、比较分子的系数2342)22()2()(1322xEDABxDExDAxx)22()22(ECAxEDBC8得到代数方程组0 DA02 DE222EDAB222EDBC1322ECA , 2 , 1 , 4 , 3 , 1 故解方程组得：EDCBA . 12) 1(4321 2422 132222223452xxxxxxxxxxxx9下列四种类型有理函数的积分下列四种类型有理函数的积分:axAkaxB)( qpxxBAx2kqpxxBAx)(2

4、CaxkAk1)(1d xd xd xd xCaxA ln 10例2解 . d431 232xxxx计算 ) 1()2(43 223，得由xxxx , 2)2(14312232xCxBxAxxx 通分，比较系数，得 , ) 1)(2() 1()2(122xxCxBxAx ; 92 , 1 Ax得令 ; 35 , 2 Bx得令 , 97 , 0 Cx得令11xxxxxxxxd2197)2(1351192d431 2232故 . |2|ln97)2( 35| 1|ln92Cxxx1232d2xxx1)21(d212xx1)21()21d(212xxCx21arctan212) 1(d2xx例3解.

5、 32d 2 xxx计算13xxxxd325232d432)32(d21222xxxxxxxCxxx21arctan24)32ln(212例4解. d325 2xxxx计算32d4d 32222122xxxxxxx142222222) 1(d2)52()52(d21xxxxxx例5解. d)52(1 22xxxx计算2222)52(d2d )52(2221xxxxxxx于是将被积函数的分子写成 , 2)22(21 x d)52(1 22xxxx于是得设 , tan 21 tx15tttxxd sec16sec22)52(21422 d)52(1 22xxxxCttxx)42sin 2(41 )

6、52(212ttxxd cos41 )52(2122Cxxxxxx)52(4121arctan 81 )52(212216(2) 三角函数有理式的积分法 半角代换 , 2tan 积分转化为相应的可将三角函数有理式的令xt 有理函数的积分计算： . 1d2) 11 ,12 (d)cos ,(sin2222ttttttRxxxR , 1 22tan12tan22sec2tan22cos2tan22cos2sin2sin2222ttxxxxxxxxx , 112tan12tan12cos)2tan1 (2sin2coscos22222222ttxxxxxxxxd17它将代换”常常被人们称为“万能代换

7、 . 2tan xt 而转化为有理函数积分 , d)( d)cos ,(sinttRxxxR最差的情况也可用部解决了的有理函数的积分是彻底( 换”能够彻底解决从而可以认为“万能代分分式法 , ) . ,法但它不一定是最好的方计算三角函数有理式的积分18请记住： 2tan时：xt 21 2sinttx2211costtx21d2dttx19例6解 . sin45 d xx计算 , 1d2d , 1 2sin , 2tan 22故则令ttxttxxt 5 8 5 d2 sin45 d2tttxx ) 5 8 5 ( 5 d 012ttt223d2uu4 5 tuCu3arctan32 . 3 4

8、2 tan 3 5 arctan 3 2Cx20例7解 . dcos2sin2 xxx计算 dcos2sincos2d2dcos2sin2xxxxxxxx . )cos2ln(cos2)cos2( ddcos2sin2Cxxxxxx , 1d 2d , 11cos , 2tan 222故则令ttxttxxt3d 4cos2d22ttxx 3arctan341Ct 2tan31arctan341Cx . )cos2ln(2tan31arctan34dcos2sin2 Cxxxxx从而21其它三角函数有理式的积分计算 , )cos ,(sin)cos ,sin( ) 1 (xxRxxR若 , ,

9、tan 此时则可令xt . 1dd , 11cos , 1sin222222ttxtxttx . cos , )cos , (sin)cos , sin( )2(xtxxRxxR则可令若 . sin , )cos , (sin)cos , (sin )3(xtxxRxxR则可令若 )4(的积分化将一些三角函数有理式运用三角函数恒等式可 . 为适宜的积分计算22例8解 . sin2d 2xx计算 , 1dd ,1sin , tan 2222故则令ttxttxxt 2dsin2d22ttxxCt2arctan21 . 2tanarctan21Cx23例9解 . tan2d 2xx计算 , 1dd

10、, tan 2故则令ttxxt )1)(2(dtan2d222tttxx d211122ttt 2arctan21arctanCtt . 2tanarctan21Cxx24例10解 . ) 0 , 0 ( cossind 为常数计算baxbxax cossin cossin222222xbabxbaabaxbxa , )sin(22xba . sin , cos , 2222babbaa其中)sin(d1cossind22xxbaxbxax d)csc(122xxba . | )cot()csc(|ln122Cxxba利用恒等变换25例11解 . dcos1sin1 xxx计算 d)cos1)

11、(cos1 ()cos1)(sin1 (dcos1sin1xxxxxxxxxxxxxxdsincossinsincos12xxxxxxxd) sincoscscsincoscsc (22 |sin|ln|cotcsc|lnsin1cotCxxxxx . sin|cos1 |lnsincos12Cxxxx也没有用变量代换26(3)积分形如 d , xdcxbaxxRntdcxbaxn 令方法方法:这样可以将所求积分化为一个有理函数的积分.27例12解 . d) 1)(1(1 32xxx求, d 11 11 d) 1)(1(1 332xxxxxxx由于, 11 3txx令于是 d 113 d) 1)(1(1 332ttxxxtttttd ) 12 11(228Ctttt 312arctan 3 ) 1(1 ln 2122231313231232) 1() 1() 1() 1() 1(ln 21xxxxx. ) 1(3) 1() 1(2arctan 3 313131Cxxx295. 积分表的使用请同学们自己看书请同学们自己看书 !30 注注