利用基本不等式解决应用题

1、1如果 a、bR，那么 a2b2_(当且仅当_时取“”号)2abab 复习巩固复习巩固 利用利用 求最值的要点求最值的要点: ,2ababa bR （1）最值存在的条件的）最值存在的条件的: 一正一正, 二定二定,三等三等. 复习巩固复习巩固（2 2）积一定）积一定, , 和有最小和有最小值值（3）和一定）和一定, 积有最大值积有最大值利用基本不等式的转化求最值利用基本不等式的转化求最值【例例1】已知已知x0，y0，且，且2x8yxy0，求求xy的最小值及此时的最小值及此时x、y的值的值8228018282()()10+8210+212618.xyxyxyyxxyxy

2、xyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因为 ，所以 ，所以 当且仅当，即 时，等号成立又 ，所以 ， 故当 ， 时， 的最【小值是解析】 本题是一个二元条件最值问题，看似平淡，但思想方法深刻、解法灵活多样，本解法是其中之一对于xy与xy在同一等式中出现的问题往往可以利用基本不等式“ ”将它们联系起来进行放缩，以此来求取值范围是非常有效的+2x yxy52(1)1xxyxx 【变式练习求函数 的】最大值104145402 4= 44 5 12123 1.xttttyttttttytxx 令，则，则 ，因为，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取 ，故函数的最大【解值为析】注意基本不等

3、式的适用条件注意基本不等式的适用条件224sin.sin2xx求f(x)的【例最小值】22222222222222222222413sinsinsinsinsin1sinsin1sin11sin2 sin2sinsin1sin1sin2.sin33sin133.sinsin4sin5.sin1yxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxx，当，即时，可以取等号，即当时，的最小值是又当时， ，即的最小值是所以【解析】函数 的最方小值是法 ：24sin0140,14215.txtyttytttytt 令 ，则， ，证明 在上是减函数，所以当 时， 的最：小值是方法2222“2”44sin2sin4s

4、insinxyxyyxxxx用基本不等式，要注意 正、定、等 三要素缺一不可！， 2212212122bcRf xxbxcxxg xxf x已知 、，在区间，上，函数 与函数在同一点取得相同的最小值，求在区间【变，上的式练习 】最大值 22221111213113.4( )()24xxg xxxxxxxxg xxf xg xbcbf xxbxcx因为 ，当且仅当 ，即 时，“”成立，即的最小值为因为与在同一点处取得相同最小值，而的图象是开口向上的【解析】抛物线， 2211 2241234.241(1)3.2224.f xbcbbcf xxxxf x且，所以只能在顶点处取得最小值，所以，即 时，

5、 ，所以 所以 又，所以当 时，的最大值为A、5公里处公里处 B、4公里处公里处C、3公里处公里处 D、2公里处公里处2、利用不等式、利用不等式 的应用问题的应用问题ab2ba2y1y2y1yxkyxk2211,y当当x=10时，时， =2， =8 1y2y20k18.02k8208 . 02)0(8 . 02021xxxxxyy当且仅当当且仅当 ，即即x=5时，时，xx208.08min21 yy因此应选因此应选A 解决应用题时，先要认真阅读题目，理解题意，处理好题目中的数量关系，选择适当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，再用数学知识和方法加以解决 利用基本不等式解实际问题利用基本不等式

6、解实际问题【例3】某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？*2()0.20.20.20.220.20.2100.9100.110211010213 (10)10103.10 x xyxxxxxxxxxyxxxxxxxyN【解析设使用年的年平均费用为 万元，由已知条件可知年维修费构成一个以万元为首项， 万元为公差的等差数列，因此使用 年的总维修费用为万元，所以 ， 当且仅当 时取等号 所以当 时，取最小值 答】：这种汽车使用 年时，年平均费用最小设每批购入设每批购入

7、x台，须进货台，须进货 次，每批进货次，每批进货总价值总价值2000 x，全年保管费，全年保管费2000 xk。依题意，依题意，x36002014004003600400200043600kk24000100144000021001440000 xxxxy当且仅当当且仅当 即即x=120台，台，答：每批进货的数量为答：每批进货的数量为120台时会使资金够用。台时会使资金够用。xx100144000024000miny甲、乙两地相距离甲、乙两地相距离skm，汽车从甲地匀速行驶到，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单

8、位），由可变部分和固定的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度部分组成，可变部分与速度vkm/h的平方成正比，的平方成正比，且比例系数为且比例系数为b，固定部分为，固定部分为a元。元。 （1）把全程运输成本）把全程运输成本y元表示为速度元表示为速度vkm/h的的函数，并指出这个函数的定义域函数，并指出这个函数的定义域 （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？大速度行驶？例例5：分析：分析：2bv每小时运输成本每小时运输成本 可变部分可变部分:元，元，vs共行驶共行驶小时小时,固定部分：固定部分： a元元cvvabvsab

9、v0,vsy2(2)(2)abvabv2当且仅当当且仅当bvva即即bav时时取取 “ = ”号号若若 cba当当 bav时，取时，取“= =”号号 若若 cba时，时， （法一）利用单调性（法一）利用单调性 bacv21v0 000*y21212121212121221121vvvvabvvabbavvbavvvvabvvsvabvsvabvsy 单调递减在cvabvsyyy, 00*21cabcsycvmin,vabvsy时当综上，当综上，当 cbab时，时， absy2,babvmin当当 cbab时，时， cabcsycvmin,例例6：某工厂有一面旧墙长：某工厂有一面旧墙长14m，现

10、准备利用这，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形且面积为面旧墙建造平面图形为矩形且面积为126m2的的厂房，工程条件是厂房，工程条件是建建1m新墙的费用为新墙的费用为a元，元，修修1m旧墙的费用是旧墙的费用是4a元。元。拆去拆去1m旧墙所得旧墙所得的材料建的材料建1m新墙的费用是新墙的费用是2a元。经讨论有两种元。经讨论有两种方案。方案一：利用旧墙的一段方案。方案一：利用旧墙的一段)14( xxm为矩为矩形厂房的一面边长。方案二：矩形厂房一面的形厂房的一面边长。方案二：矩形厂房一面的一段为旧墙，其边长为一段为旧墙，其边长为)14( xx问如何利用旧问如何利用旧墙，即墙，即x为多少时，建墙费用最

11、省？两种方案为多少时，建墙费用最省？两种方案哪种最好。哪种最好。解：方案一解：方案一yxxaxaxayxxaaaax35,12,364x3573277364x7aymin时即当)140( x方案方案二二axxay4141422126ax221)x126a(2令令14,126/xxxy任意任意 1412 xx则则21212211/2/11261126126xxxxxxxxyy012611961401421212212112xxxxxxxxxx单调递增在函数单调递增在,142211262,14126/21axxayxxyyy故当故当 14x时，时，aaa5 .352211

12、4141262ymin又又35a35.5a故采用第一种方案好故采用第一种方案好5.5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为容积为 , ,深为深为3m3m，如果池底每平，如果池底每平方方米的造价为米的造价为150150元，池壁每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为120120元，问怎样设计水池才能使造价最低，元，问怎样设计水池才能使造价最低，最低造价是多少元？最低造价是多少元？34800 m问问 题题 与与 思思 考考5.5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为容积为 , ,深为深为3m3m，如果池底每平，如果

13、池底每平方方米的造价为米的造价为150150元，池壁每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为120120元，问怎样设计水池才能使造价最低，元，问怎样设计水池才能使造价最低，最低造价是多少元？最低造价是多少元？34800 mAPBHba例3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？:,PxPHAPHBPH解 设学生 距黑板 米黑板上下边缘与学生的水平视线的夹角分别为其中则学生看黑板的视角为,tan,tan由此可得由xbxa2tantanan1tantatn1ababxxababxxx,tan,22最大时当且仅当因为a

14、bxabxabxxabx,为锐角由于,最大此时.ab即学生距墙壁时看黑板的视角最大【变式练习3】2008年5月12日四川省汶川县发生了8.0级大地震，牵动了全国各地人民的心为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元每套房材料费控制在32000元以内，试计算：(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为P

15、，试用x，y表示P；(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？ 2450220020090040020090040020120.320002009004002002 900 400PxyxyxyxyPxyxySxyPPSxySS，即 依题意， ，且，则可得 【解析】，2200120032000()61600 01010090040020.1003100203SSPSSSSxyxSxyS得，即，得，当且仅当，即时， 取最大值答：简易房面积 的最大值为平方米，此时前面墙的长度应设计为米11.(3)_3yxxx 函数 的值域是(，15，) 133332312323

16、54(15)yxxxyxxyx ，当时， ，当 时取“”；当时， ，当 时取“”，所以函数的值域是 ，析】，【解2200120032000()61600 01010090040020.1003100203SSPSSSSxyxSxyS得，即，得，当且仅当，即时， 取最大值答：简易房面积 的最大值为平方米，此时前面墙的长度应设计为米2.若log2xlog2y4，则xy的最小值为 _.222logloglog4162848.xyxyxyxyxyxyxy因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时，“【”成立故 的】最小值为解析823.230_.yx y zxyzxzR 已知， ，则的最小值为2223,296

17、1919(6)(26) 3.4443xzyyxzxzxzxzxzxzzxzxx yz由已知 所以 当且仅当 时取得【解析】最小值3 224.0041.1112loglogxyxyxyxy已知，且 求 的最小值；求的最大值 1111()(4)44525925941163119.1xyxyxyyxyxxyxyyxxyxyxy因为 ， ，当且仅当 ，即 ， 时取等号所以 的最小【解值为析】 2222222221loglogloglog (4)41 41log () log4421611482loglog4.2xyxyx yxyxyxyxy ，当且仅当 ，即 ， 时取等号所以的最大值为 4225.48

18、12123.4xxf xf xxabf abb 设函数求的最大值及此时的 的值；证明：对任意的实数 、 ，恒有 42216 216848282216162 284 22 2128322 2.22xxxxxxxxxf xxxf x 【解+，当且仅当 .即 时，的最大值为析】 222222193(3)3443()3322133.412 2.2 23213.42bbbbbbbf xabf abb证明：因为 ，所以 的最小值为由知，的最大值为而，所以对任意的实数 、 ，恒有 本节内容是不等式的基础知识，主要从三个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法等)；三是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式来解决 12“”123xyxyxyxy利用基本不等式时，要注意 正、定、等 三要素正，即 ， 都是正数；定 ，即不等式另一边为定值；等 ，即当且