从特殊三棱锥到一般三棱锥问题

1、从特殊三棱锥到一般三棱锥问题第一页，共25页。解正四面体解正四面体正四面体化归为正方体求解正四面体化归为正方体求解.在正方体在正方体 ABCD - - A1B1C1D1中，中，由由6条面对角线条面对角线 A1D、 BC1 、A1C1、BD、A1B、DC1为棱的四面体即为为棱的四面体即为正四面体正四面体 A1 - - BC1D.正四面体正四面体A1- - BC1D的棱长为的棱长为1的正方体的正方体 ABCD - - A1B1C1D1 棱长的棱长的 倍倍 ；体积为正方体的；体积为正方体的1/3；且有公共的外接球，公共的中心和相；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半径等的外半径 .22/3第二页

2、，共25页。“正直正直”三棱锥三棱锥我们把我们把“三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥”称作称作“正直三棱锥正直三棱锥”. 它它的三个侧面是全等的等腰直角三角形，的三个侧面是全等的等腰直角三角形，1个底面是正三角形个底面是正三角形.正直棱锥的正直棱锥的直观图画法有直观图画法有“立式立式”（左）和（左）和“卧式卧式”（右）两种（右）两种.立式图中，立式图中，1个侧面置于水平位置个侧面置于水平位置. 可以清楚地看到它在对应的可以清楚地看到它在对应的正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在竖直方向显示底面上的

3、高线竖直方向显示底面上的高线.第三页，共25页。解正直三棱锥解正直三棱锥化为正方体求解化为正方体求解一、线线关系：一、线线关系：（1）相交垂直：）相交垂直：ADDD1（2）相交）相交45：AD与与AD1（3）相交）相交60：AD1与与AC（4）异面垂直）异面垂直 AC与与DD1 距离为距离为 /22二、线面关系二、线面关系（1）垂直：）垂直：AD与与DCD1 （2）交成）交成45 ：AD与与ACD1三、面面关系三、面面关系（1）垂直：三侧面两两之间）垂直：三侧面两两之间（2）交成）交成arctan ：如平面：如平面ACD1与平面与平面ACD2第四页，共25页。正直三棱锥的高线正直三棱锥的高线【

4、题目】【题目】 若正直三棱锥若正直三棱锥V- -ABC的侧棱长为的侧棱长为VA=1. 求它高线求它高线VH的长度的长度.设斜高在设斜高在 ABC上的射影为上的射影为H，则，则H为为 ABC的中心的中心.6/631CDDH【解【解1】 （斜高法）（斜高法）正直三棱锥正直三棱锥V- -ABC 中，易知中，易知AB = BC = CA =22斜高斜高VD = /2故有故有 高线高线33)26()22(2222DHVDVH【说明】【说明】 正直三棱锥的高线长为外接正方体对角线长正直三棱锥的高线长为外接正方体对角线长 的的1/3 .3第五页，共25页。【题目】【题目】 若正直三棱锥若正直三棱锥V- -A

5、BC的侧棱长为的侧棱长为VA=1. 求它高线求它高线VH的长度的长度.【解【解2】 （等积法）立式图中，（等积法）立式图中，易知正直三棱锥的体积为易知正直三棱锥的体积为6131VABSVCV【证明】【证明】 等积法常用来等积法常用来“求点到平面的距离求点到平面的距离”.又又23)232(22121CDABSABC故故得得612331VH33VH第六页，共25页。正直三棱锥的外接球正直三棱锥的外接球【题目】【题目】 正直三棱锥的侧棱长为正直三棱锥的侧棱长为1，求其外半径长，求其外半径长.正直三棱锥与其外接正方体有共同的外接球，因此正直三棱锥与其外接正方体有共同的外接球，因此“单位正直单位正直三棱

6、锥三棱锥”与单位正方体有共同的外半径与单位正方体有共同的外半径 . 一般探讨为一般探讨为2/3【解答】【解答】 易知正直三棱锥的易知正直三棱锥的“外心外心”O 在高在高线线VH 的延长线上的延长线上.设设 VO = CO =x，则，则 HO =33x又又362323232DCHC由由 OC 2 = HO2 +HC2 得得解得解得23x222)36()33( xx第七页，共25页。考题展示考题展示【考题】【考题】 （2006年川卷第年川卷第13题）题）【分析】【分析】 已知的三棱锥为正直三棱锥已知的三棱锥为正直三棱锥.【解【解1】 立式图如右，立式图如右，OM 在在ABC上射影为上射影为MC，O

7、M与与ABC的成角为的成角为OMC.【说明】【说明】 线面角（线面角（OM与与ABC成角）化为线线角（成角）化为线线角（OM与与MC）亦即）亦即面面角（面面角（C - - AB - - O）.在三棱锥在三棱锥O - - ABC，三条棱，三条棱OA、OB、OC 两两垂直且相等两两垂直且相等.M为为AB 的中点的中点. 则则OM与平面与平面ABC的成角的大小为的成角的大小为 .设设OC =a，则，则OM =a222tanOMOCOMC故故OMC = arctan （答案）（答案）2第八页，共25页。【考题】【考题】 （2006年川卷第年川卷第13题）题）【分析】【分析】 已知的三棱锥为正直三棱锥已

8、知的三棱锥为正直三棱锥.【解【解2】 卧式图如右，卧式图如右，H为底面正三角形为底面正三角形ABC的中心的中心.【说明】【说明】 本法容易误入迁解本法容易误入迁解. 如先求如先求OH和和MH的长度的长度.在三棱锥在三棱锥O - - ABC，三条棱，三条棱OA、OB、OC 两两垂直且相等两两垂直且相等.M为为AB的中点的中点. 则则OM 与平面与平面ABC的成角的大小为的成角的大小为 .2tanOMOCOMC得得OMC = arctan （答案）（答案）2OM与与ABC的成角为的成角为OMC.第九页，共25页。正方体内接三棱锥的个数正方体内接三棱锥的个数【问题】【问题】 以正方体以正方体8个顶点

9、中的个顶点中的4个顶点作三棱锥，这样的三棱锥称正个顶点作三棱锥，这样的三棱锥称正方体的内接三棱锥方体的内接三棱锥. 求正方体内接三棱锥的个数求正方体内接三棱锥的个数.其中，共面的其中，共面的4点的个数是点的个数是（1）正方体的）正方体的6个面；（个面；（2）正方体的）正方体的6个对角面个对角面.故正方体的内接三棱锥有故正方体的内接三棱锥有 70 12 = 58 （个）（个）【答案】【答案】 从从8个顶点中任取个顶点中任取4个的组合数为个的组合数为70C48【说明】【说明】 这这58个三棱锥与正方体同外心，共外接球个三棱锥与正方体同外心，共外接球.第十页，共25页。“长棱长棱”三棱锥三棱锥正方体

10、内接三棱锥可分四类正方体内接三棱锥可分四类. 除了内接正四面体和内接正直三棱除了内接正四面体和内接正直三棱锥外，还有两类锥外，还有两类.（1）斜三棱锥）斜三棱锥(图左图左). （2）底面为直三角形的直三棱锥）底面为直三角形的直三棱锥(图右图右). 它们各有它们各有1条长度为条长度为 的的“长棱长棱”，其外心在长棱的中点上，其外心在长棱的中点上.3第十一页，共25页。直正三棱锥直正三棱锥底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作“直正直正三棱锥三棱锥”.确定一个确定一个“直正三棱锥直正三棱锥”需需2个条件，即底棱长个条件，即底棱长a和直棱

11、长和直棱长b.“直正三棱锥直正三棱锥”与与“正直三棱锥正直三棱锥”不同，后者的确定条件只不同，后者的确定条件只1个个. 直正三棱锥的四个面中：直正三棱锥的四个面中：（1）底面是正三角形；）底面是正三角形；（2）有）有2个侧面为直角三角形，它们都垂个侧面为直角三角形，它们都垂直于底面；直于底面；（3）另一个侧面为等腰三角形；）另一个侧面为等腰三角形；第十二页，共25页。解直正三角形解直正三角形（1）求三棱锥）求三棱锥P- -ABC的体积；的体积；【题目】【题目】 三棱锥三棱锥P- -ABC中，中，PA面面ABC，且，且PA= ，又又 AB = BC = CA =1.3（2）求）求A到平面到平面P

12、BC的距离的距离.【解答】【解答】（1）P- -ABC的体积的体积（2）设）设A到平面到平面PBC的距离为的距离为h .413433131PASSABC易得三角形易得三角形PBC的面积为的面积为415515 4141531hh由等积原理：由等积原理：（答案）（答案）第十三页，共25页。【题目】【题目】 三棱锥三棱锥PABC中，中，PA面面ABC，且，且PA= ， 又又 AB = BC = CA =1.3【证明】【证明】 易知易知 BOAC，又，又BOPA由（由（1），（），（2）知）知 PC平面平面BOH.【说明】【说明】 由此可知由此可知BHO为二面角为二面角BPCA的平面角的平面角.（3）

13、O为为AC的中点，的中点，OHPC于于H.求证：求证：PC 平面平面BOH.所以所以BO面面PAC BOPC （1）又又OHPC （2）第十四页，共25页。正三棱锥正三棱锥侧棱长相等、底面为正三角形的三棱锥为正三棱锥侧棱长相等、底面为正三角形的三棱锥为正三棱锥. 确定一个正三棱确定一个正三棱锥需锥需2个条件个条件.即侧棱长即侧棱长b和底棱长和底棱长a .正三棱锥的直观图一般画成卧式，即置正三角正三棱锥的直观图一般画成卧式，即置正三角形于水平面上，且使底面上的一条高线，如形于水平面上，且使底面上的一条高线，如CD于水平线上于水平线上.锥顶锥顶V在底面上的射影为底面正三角形的中心在底面上的射影为底

14、面正三角形的中心H.截面三角形截面三角形VCD为锥体的轴截面：为锥体的轴截面：（1）侧棱与底面的所成角为）侧棱与底面的所成角为VCD. （2）侧面与底面所成二面角的平面角为）侧面与底面所成二面角的平面角为VDC.（3）截面三角形的高线）截面三角形的高线VH就是锥体的高就是锥体的高.第十五页，共25页。正三棱锥的判断正三棱锥的判断【考题】【考题】 （2005年全国年全国题题16） 下面是关于三棱锥的四个命题：下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥面角都相等的三棱锥是正三棱锥.【判定】【判定】 由此推出，三侧

15、面上的斜高相等，从而推得三由此推出，三侧面上的斜高相等，从而推得三斜高在底面上的射影相等，从而确定斜高在底面上的射影相等，从而确定H为底面三角形的中为底面三角形的中心心.由此得，三侧棱相等（见右边的轴截面图）由此得，三侧棱相等（见右边的轴截面图）.命题命题为真命题为真命题. 它成为正三棱锥它成为正三棱锥“判定定理判定定理”之一之一.第十六页，共25页。正三棱锥的判断正三棱锥的判断【考题】【考题】 （2005年全国年全国题题16） 下面是关于三棱锥的四个命题：下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥的三棱锥是正三棱锥.

16、【判定】【判定】 侧面是等腰三角形，其底边不一定是底面侧面是等腰三角形，其底边不一定是底面三角形的边三角形的边. 如图右所示，可设如图右所示，可设VC=BC=AC ，并让点，并让点V在直线在直线VD上移动，可使上移动，可使VAB也为等腰三角形也为等腰三角形.故命题故命题是个假命题是个假命题.第十七页，共25页。正三棱锥的判断正三棱锥的判断【考题】【考题】 （2005年全国年全国题题16） 下面是关于三棱锥的四个命题：下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面的面积都相底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥等的三棱锥是正三棱锥.【判定】【判定】 侧面的面积都相等，只须顶点侧

17、面的面积都相等，只须顶点V到三底边的距到三底边的距离相等离相等.到三边等距的点在平面上是三角形的内心和旁心到三边等距的点在平面上是三角形的内心和旁心.到空间中，过底面三角形的内心和旁心的底面垂线上所到空间中，过底面三角形的内心和旁心的底面垂线上所有的点，都分别与三边等距有的点，都分别与三边等距.故命题故命题是假命题是假命题.第十八页，共25页。正三棱锥的判断正三棱锥的判断【考题】【考题】 （2005年全国年全国题题16） 下面是关于三棱锥的四个命题：下面是关于三棱锥的四个命题：侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥成的

18、二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.【判定】【判定】 由侧棱与底面所成的角都相等，可推断三由侧棱与底面所成的角都相等，可推断三条侧棱相等条侧棱相等.由侧面与底面所成的二面角相等，可推断侧面上的三条斜高相等，由侧面与底面所成的二面角相等，可推断侧面上的三条斜高相等，并推断底面三角形为正三角形并推断底面三角形为正三角形.故三棱锥为正三棱锥故三棱锥为正三棱锥.命题命题为真命题，它成为正三棱锥为真命题，它成为正三棱锥“判定定理判定定理”之一之一.第十九页，共25页。【证明（【证明（ ）】ACB=90，BCAC.PA底面底面ABCD， PABCBC平面平面PAC.（ ）求证）求证: BC平面平面PAC；直三

19、棱锥到直四棱锥直三棱锥到直四棱锥像四棱锥可化为三棱锥求解一样，直四棱锥也可化归为直三棱锥求解像四棱锥可化为三棱锥求解一样，直四棱锥也可化归为直三棱锥求解.【题目】【题目】 四棱锥四棱锥P ABCD中，中，ABCD,AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90.3第二十页，共25页。【题目】【题目】 四棱锥四棱锥P ABCD中，中，ABCD,AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90.【证明（【证明（）】 易知易知ADC=60, （）求二面角）求二面角DPCA的大小；的大小；3又又AD=CD=1，ADC为等边三角形，且为等边三角形，且 AC=1.取取AC的中点的中点O，

20、则，则DOAC， PA底面底面ABCD，PADO， DO平面平面PAC.过过O作作OHPC，垂足为，垂足为H，连，连DH，由三垂线定理知，由三垂线定理知DHPC. DHO为二面角为二面角DPCA的平面角的平面角.由由.23 ,43DOOH. 2arctan , 2tanDHOOHDODHO二面角二面角DPCA的大小为的大小为arctan2.第二十一页，共25页。【题目】【题目】 四棱锥四棱锥P ABCD中，中，ABCD,AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90.（）求点）求点B到平面到平面PCD的距离的距离. 3【证明（【证明（）】 设点设点B到平面到平面PCD的距离为的距离为d.ABCD，AB 平面平面PCD，CD 平面平面PCD, AB平面平面PCD.点点B到平面到平面PCD的距离等于点的距离等于点 A到平面到平面PCD的距离的距离.343415 ,dVVACDPPCDA515d【说明】【说明】 就是上面所说的就是上面所说的“等积法等积法”求点到平面的距离求点到平面的距离.第二十二页，共25页。三棱锥的外心三棱锥的外心任何一个三棱锥都有外接球，就像任何一个三角形都有外接圆一样任何一个三棱锥都有外接球，就像任何一个三角形都有外接圆一样. 三角形的外心到三个顶点等距，这个距离三角形的外心到三个顶点等距，这个距离就是三角形的外半径就是三角形的外半