排列组合问题的几种基本方法

1、要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列作元素个数作全排列.若干个不同的元素局部若干个不同的元素局部“等分等分”有有 个均等个均等堆堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 若干个不同的元素若干个不同的元素“等分等分”为为 个堆个堆,要将要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积法原理作积. 分组（堆）问题的六个模型：分组（堆）问题的六个模型： 无序等分；无序等分；无序不等分；无序

2、不等分；无序局部等分；无序局部等分；有序等分；有序等分；有序不等分；有序不等分；有序局部等分有序局部等分.处理问题的原则：处理问题的原则：1.分组（堆）问题分组（堆）问题例例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同共有多少种不同的发包方式？的发包方式？解：解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：先将四项工程分为三先将四项工程分为三“堆堆”，有，有211421226C C CA种分法；种分法；再将分好的三再将分好的三“堆堆”依次给三个工程队

3、，依次给三个工程队，有有3!6种给法种给法.共有共有6636种不同的发包方式种不同的发包方式.1.分组（堆）问题分组（堆）问题例例2 . 7人排成一排人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？种不同的排法？ 解：解：分两步进行：分两步进行：几个元素不能相邻几个元素不能相邻时时,先排一般元素，先排一般元素，再让特殊元素插孔再让特殊元素插孔.第第1步，把除甲乙外的一般人排列：步，把除甲乙外的一般人排列：55A有=120种排法第第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔插孔)：26A有=30种插入法120 303600共有种

4、排法 解决一些不相邻问题时，可以先排解决一些不相邻问题时，可以先排“一一般般”元素然后插入元素然后插入“特殊特殊”元素，使问题得以元素，使问题得以解决解决.2.插空法：插空法：相邻元素的排列，可以采用相邻元素的排列，可以采用“局部到整体局部到整体”的的排法，即将相邻的元素局部排列当成排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个一个”元素，元素，然后再进行整体排列然后再进行整体排列.3.捆绑法捆绑法例例3 . 6人排成一排人排成一排.甲、乙两人必须相邻甲、乙两人必须相邻,有多少有多少种不的排法种不的排法? 解：解：（1）分两步进行：分两步进行：甲甲 乙乙第一步，把甲乙排列第一步，把甲乙排列(捆绑捆绑)

5、：55A有120种排法第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：22A有2种捆法2 120240共有种排法 几个元素必须相邻时几个元素必须相邻时,先先捆绑成一个元素，再与捆绑成一个元素，再与其它的进行排列其它的进行排列.例例4.5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的站法有个人站成一排，甲总站在乙的右侧的站法有多少种？多少种？几个元素几个元素顺序一定顺序一定的排列问题，一般是先排列，再的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了排

6、列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.4.消序法消序法(留空法留空法)解法解法1：将将5个人依次站成一排，有个人依次站成一排，有解法解法2：先让甲乙之外的三人从先让甲乙之外的三人从5个位置选出个位置选出3个站好，个站好，有有55A种站法，种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数然后再消去甲乙之间的顺序数22A甲总站在乙的右侧的有站法总数为甲总站在乙的右侧的有站法总数为5355225 4 3AAA 35A种站法，留下的两个位置自然给甲乙有种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法种站法甲总站在乙的右侧的有站法总数为甲总站在乙的右侧的有站法总数为33551AA 变式：变式：如下图所示如下图所示,有有5

7、横横8竖构成的方格图竖构成的方格图,从从A到到B只能上行或右行只能上行或右行共有多少条不同的路线共有多少条不同的路线? 解解: 如图所示如图所示1234567将一条路经抽象为如下的一个将一条路经抽象为如下的一个排法排法(5-1)+(8-1)=11格格:其中必有四个其中必有四个和七个和七个组成组成!所以所以, 四个四个和七个和七个一个排序就对应一条路经一个排序就对应一条路经,所以从所以从A到到B共有共有 5 14(5 1) (8 1)11CC条不同的路径条不同的路径. 4.消序法消序法(留空法留空法)也可以看作是也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排列，顺序一定的排列，有有种排法种

8、排法.11114747AAA n个个 相同小球放入相同小球放入m(mn)个盒子里个盒子里,要求每个盒子里要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于在至少有一个小球的放法等价于在n个相同小球之间形个相同小球之间形成的成的n-1个间隙里，用个间隙里，用m-1个隔板隔成个隔板隔成m组组.例例5. 某校准备参加今年高中数学联赛某校准备参加今年高中数学联赛,把把16个选手个选手名额分配到高三年级的名额分配到高三年级的1-4 个教学班个教学班,每班至少一个每班至少一个名额名额,则不同的分配方案共有则不同的分配方案共有_种种.5.剪截法（隔板法）：剪截法（隔板法）：解：解： 问题等价于把问题等价于把16个相同

9、小球放入个相同小球放入4个盒子里个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将将16个小球串成一串，截为个小球串成一串，截为4段有段有 315455C种截断法，对应放到种截断法，对应放到4个盒子里个盒子里.因此，不同的分配方案共有因此，不同的分配方案共有455种种 . n个个 相同小球放入相同小球放入m(mn)个盒子里个盒子里,要求每个盒子要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串个相同小球串成一串从小球之间间隙里选从小球之间间隙里选m-1个结点剪截成个结点剪截成m段段.变式：变式： 某校准备参加今年高中数

10、学联赛某校准备参加今年高中数学联赛,把把16个选个选手名额分配到高三年级的手名额分配到高三年级的1-4 个教学班个教学班,每班的名额每班的名额不少于该班的序号数不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有则不同的分配方案共有_种种.5.剪截法（隔板法）剪截法（隔板法） ：解：解： 问题等价于先给问题等价于先给2班班1个，个，3班班2个，个，4班班3个，个，再把余下的再把余下的10个相同小球放入个相同小球放入4个盒子里个盒子里,每个盒子每个盒子至少有一个小球的放法种数问题至少有一个小球的放法种数问题. 将将10个小球串成一串，截为个小球串成一串，截为4段有段有 3984C 种截断法，对应放到种截断法

11、，对应放到4个盒子里个盒子里.因此，不同的分配方案共有因此，不同的分配方案共有84种种 .编号为编号为1至至n的的n个小球放入编号为个小球放入编号为1到到 n的的n个盒个盒子里子里,每个盒子放一个小球每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编要求小球与盒子的编号都不同号都不同,这种排列称为这种排列称为错位排列错位排列.6.错位法：错位法：特别当特别当n=2,3,4,5时的错位数各为时的错位数各为1,2,9,44.例例6. 编号为编号为1至至6的的6个小球放入编号为个小球放入编号为1至至6的的6个个盒子里盒子里,每个盒子放一个小球每个盒子放一个小球,其中恰有其中恰有2个小球与盒个小球与盒子的编号相同

12、的放法有子的编号相同的放法有_种种.解：解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有选取编号相同的两组球和盒子的方法有 2615C 种种,其余其余4组球与盒子需错位排列有组球与盒子需错位排列有9种放法种放法.故所求方法有故所求方法有159135种种.7.剔除法剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法种间接解题的方法. 例例7. 从集合从集合0,1,2,3,5,7,11中任取中任取3个元素分别作为直个元素分别作为直线方程线方程Ax+By+C=0中的中的A、B、C，所得的经过坐标，所得的经过坐标原点的直线有原点的直线有_条条.解：所有这样的直

13、线共有解：所有这样的直线共有 条，条，其中不过原点的直线有其中不过原点的直线有 条，条，37210A 所得的经过坐标原点的直线有所得的经过坐标原点的直线有210-18030条条.1266180AA 排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.B B 巩固练习巩固练习A 4. 5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（）（）A.6B.12C.72D.144C巩固练习巩固练习排列、组合问