抛物型偏微方程

1、第七章解抛物型偏微分方程的差分解法第七章解抛物型偏微分方程的差分解法稳定性稳定性讨论是差分法的重要问题。讨论是差分法的重要问题。常遇到的常遇到的抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程有：有：扩散方程扩散方程 SDt )( (7.1)(7.1) 其中其中D D代表扩散系数，代表扩散系数，S S代表扩散源函数，代表扩散源函数， 代表扩散代表扩散场场； 热热传传导导方方程程 qTktTC )( ( (7 7. .2 2) ) 其其中中k k代代表表传传热热系系数数, ,q q代代表表热热源源函函数数, ,C C为为比比热热, , 为为密密度度, , T T代代表表温温度度场场； 薛定格方程薛定格方程 Vm

2、ti )(22 (7.3)(7.3) 其中其中代表普朗克常数，代表普朗克常数，m m代表质量，代表质量，V V代表位势，代表位势， 代表代表波函数。波函数。 基本作法：按等间隔剖分，用各离散点上的差商基本作法：按等间隔剖分，用各离散点上的差商来近似代替该点的偏微商，把偏微分方程转化为来近似代替该点的偏微商，把偏微分方程转化为线性代数方程组，进而解出各离散点上的待求函线性代数方程组，进而解出各离散点上的待求函数随时间的变化。数随时间的变化。主要内容主要内容7.1简单差分法及其不稳定性简单差分法及其不稳定性7.2隐格式差分法与三对角方程隐格式差分法与三对角方程7.3二维扩散方程的差分格式二维扩散方

3、程的差分格式7.4含时间薛定格方程的差分格式含时间薛定格方程的差分格式7.1简单差分法及其不稳定性简单差分法及其不稳定性一、差分格式一、差分格式一一维维扩扩散散方方程程经经归归一一化化变变换换后后简简写写成成： 110022|,|),(),(),(fftxSxtxttxxx ( (7 7. .4 4) ) 把把区区间间 1 , 0均均分分为为N N等等份份，间间距距Nh/1 。取取时时间间间间隔隔为为 t 。 二二阶阶空空间间导导数数用用中中心心差差分分公公式式 211222hxninini 来来代代替替，一一阶阶时时间间导导数数用用前前向向差差分分公公式式 tttxnini 1),( 来来代

4、代替替。 tShtnininininini )2(1121 ( (7 7. .7 7) ) 这这就就是是求求解解微微分分方方程程( (7 7. .4 4) )的的一一个个显显格格式式差差分分公公式式。 二、例二、例 设设 ，初条件和边界条件为：，初条件和边界条件为： 0 S0|451000)12(5)32(5)12(50222 eeeextxtxxxt tTeeeTtxTxTxTx801),(/)12(5/)32(5/)12(521222 tShtnininininini )2(1121 04500150000750040.,.,.和和 tth05. 004. 0,001. 0,04. 0和和

5、 tth DO 20 ITER=1,NITER POLD=0. DO 30 IX=1,NSTEP-1 PNEW=PHI(IX)+DTH*(POLD+PHI(IX+1)- * 2*PHI(IX) EXACT(X,T)=GAUSS(X,T)-GAUSS(X-1.,T)- * GAUSS(X+1.,T) POLD=PHI(IX) PHI(IX)=PNEW30 CONTINUE IF (MOD(ITER,10) .EQ. 0) THEN PRINT *, iteration = , ITER, * time = ,ITER*DT T=ITER*DT DO 40 IX=1,NSTEP-1 DIFF=PH

6、I(IX)-EXACT(IX*H,T) PRINT *, phi = , PHI(IX), error = , DIFF40 CONTINUE END IF20 CONTINUE GOTO 50 END 71.FOR PARAMETER (NSTEP=25) DIMENSION PHI(0:NSTEP) GAUSS(X,T)=EXP(-20.*(X-.5)*2/ * (1.+80*T)/ SQRT(1+80*T) H=1./NSTEP50 PRINT *, Enter time step and * total time (0 to stop) READ *,DT,TIME IF (DT .E

7、Q. 0.) STOP NITER=TIME/DT DTH=DT/H*2 T=0. PHI(0)=0. PHI(NSTEP)=0. DO 10 IX=1,NSTEP-1 PHI(IX)=EXACT(IX*H,T)10 CONTINUE图图 7.17.1 一维扩散的数值计算结果一维扩散的数值计算结果 这个差分递推公式在超过一定条件时是不稳定的。这个差分递推公式在超过一定条件时是不稳定的。三、三、 稳定性分析。稳定性分析。为了使讨论更加简便，定义算符为了使讨论更加简便，定义算符 H，使，使 )()(nininiinhH11221 (7.10)(7.10) 利用该算符，差分格式利用该算符，差分格式(

8、7.7)(7.7)可改写成可改写成矩阵形式矩阵形式： (7.12) (7.12) tStHnnn )(11 H H nn Hxt 2200 tnntnHnee nn01 nnt)( tStHnnn )(1111 |t 01 nnt)( 24h2,14122htth 或或04. 0 h0008. 0 t7.2隐格式差分法与三对角方程隐格式差分法与三对角方程tShtnininininini )(11111212 tStHnnnn 11 tStHnnn 111111 tH)()(nininiinhH11221 tShtnininininini )2(1111121tSbhtAhtAAbAAAnini

9、niiiininiiniinii ,21,)202111011使用上式编程计算的结果示于下图中。计算使用上式编程计算的结果示于下图中。计算结果表明，这种格式很稳定，任取时间间隔结果表明，这种格式很稳定，任取时间间隔D Dt t 都是稳定的都是稳定的这里要注意一点的是：这里要注意一点的是：稳定性和准确度是两个不稳定性和准确度是两个不同的概念同的概念。即使计算是稳定的，其准确度不一定。即使计算是稳定的，其准确度不一定高。随着时间的向后推移，误差会有所增大。一高。随着时间的向后推移，误差会有所增大。一般而言，要使计算精度高，应取较小的空间间隔般而言，要使计算精度高，应取较小的空间间隔和时间步长。和时

10、间步长。7.37.3二维扩散方程的差分格式二维扩散方程的差分格式2222),(),(),(ytyxxtyxttyx )()(nininiinhH11221 )()()()()()(,111112111111211112121njinjinjijinjnjinjinjijinijinjjininjinjihHhHHtHt jijitHtHtHtH 1)1()1(1,1,)1)(1()1( njijinjijinjitHtHtHtH 1,)1( ,)1(2121 njijnjinjiinjitHtH 21,11,1,011,21, 121,021, 1)njinjijnjijnjijnjinjii

11、njiinjiiAAAAAA 7.47.4含时间薛定格方程的差分格式含时间薛定格方程的差分格式一、差分格式一、差分格式 iHVxit 22jnnjtiH)( 1111111112121 njjnjnjnjjnVhH )()(tHitHitiH 21211111jnnjtHitHi)( 2121111二、差分格式的进一步改写二、差分格式的进一步改写nntHi 112211jnnjtHi)( 2112njnjnj 11111112121 njjnjnjnjjnVhH )()(jnnjtHi)( 2112njnjjnjnjnjnjVtihti 22)2(2112 njnjnjjnjtihVhtih 21221422njnjnj 11 nj 三、边界条件、初始条件和位势函数三、边界条件、初始条件和位势函数 设设边边界界条条件件为为： 0|, 0|10 xx (7.34) 波波函函数数的的初初始始条条件件为为下下述述之之一一： a. 高高斯斯波波函函数数： xikxxtee0220/ )20ln()(0| (7.35) b.洛洛仑仑兹兹波波函函数数： xiktexx020220)(| (7.36) 位位势势函函数数取取为为下下述述之之一一： a a. .方方位位势势 axxaxxVV000