模块三 正弦交流电路

1、15.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法正弦量的基本概念正弦量的基本概念5.3 单一参数正弦交流电路单一参数正弦交流电路5.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式5.5 RLC串联电路串联电路5.8 功率因数功率因数5.9 串、并联谐振串、并联谐振模块三模块三正弦交正弦交流电路流电路2正弦量的基本概念正弦量的基本概念iI3正弦量的基本概念正弦量的基本概念4 2 Tit OT周期，单位秒（周期，单位秒（s）Tf1f频率，单位赫（频率，单位赫（Hz）正弦量的基本概念正弦量的基本概念5 itIi sinmIm 2 Tit O正弦波的参数？正弦波的参数？正弦量的基本概念正弦量的基本概念

2、6书写方法：书写方法：Im、Um、EmfT22正弦量的基本概念正弦量的基本概念7 显然，相位反映了正弦量随时间变化的整个进程。)sin(mtIi 确定了正弦量计时始的位置，初相规定。(1)相位(2)初相相位是随时间变化的电角度，是时间t 的函数。初相是对应 t =0时的确切电角度。正弦量与纵轴相交处若在正半周，初相为正。-正弦量与纵轴相交处若在负半周，初相为负。相位、 角频率和初相)sin(mtIi正弦量的基本概念正弦量的基本概念8)sin( ),sin(imumtIitUuiuiuiutttt)()( 显然，两个同频率正弦量之间的相位之差，实际上等于它们的。已知(四) 相位差，求电压与电流之

3、间的相位差。 不同频率的正弦量之间不存在相位差的概念。相位差不得超过180!正弦量的基本概念正弦量的基本概念9 90iu 900 iu 0 iu 180iu uiuiOuiuiOuiui Ouiui90O 相位差的几种特殊关系相位差的几种特殊关系正弦量的基本概念正弦量的基本概念10)sin(mutUu )2sin(310 uft V)30314sin(310 tu/Vt O正弦量的基本概念正弦量的基本概念11A)60314sin(1 .14 t)sin(mitIi u/Vt Oi/A正弦量的基本概念正弦量的基本概念12 例例 5-2 求两个正弦电流i1(t)=14.1 sin(t120)， i

4、 2(t)=7.05 cos(t60)的相位差12 。 解解 把i1和i2写成标准的解析式， 求出二者的初相， 再求出相位差。 则)sin()sin()()sin()sin()(3005. 7906005. 7601 .141801201 .1400020001ttttttii303060306000021120201，正弦量的基本概念正弦量的基本概念13 例5-3 三个正弦电压三个正弦电压u uA A( (t t)=311sin314)=311sin314t tV V， u uB B( (t t)=311 sin(314)=311 sin(314t t+2+2/3) V/3) V， u uC

5、 C( (t t)=311sin(314)=311sin(314t t22/3) V/3) V， 若以若以 u uB B为参为参考正弦量，考正弦量， 写出三个正弦电压的解析式。写出三个正弦电压的解析式。 解解 先求出三个正弦量的相位差，先求出三个正弦量的相位差， 由已知得由已知得3203232234323232320)()(CABCAB以以uB为参考正弦量，为参考正弦量， 它们的解析式为它们的解析式为 VttVtttVtuuuCAB)32314sin(311)()32314sin(311)(314sin311)(正弦量的基本概念正弦量的基本概念14交流电的有效值交流电的有效值与它的热效应相等的

6、直与它的热效应相等的直流电流的数值。流电流的数值。dtRiT20 RTI2 正弦量的基本概念正弦量的基本概念15则有则有 TtiTI02d1 TttIT1022mdsin2mI 注意：注意：交流电压、电流表测量数据和交流电压、电流表测量数据和交流交流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值设备铭牌标注的电压、电流均为有效值同理：同理： ，mm70702U.UU mm70702E.EE 正弦量的基本概念正弦量的基本概念16 例 5-4 一个正弦电流的初相角为一个正弦电流的初相角为6060，在，在 时电流的时电流的值为值为5A5A， 试求该电流的有效值。试求该电流的有效值。 解 该正弦电流的解析式为该正

7、弦电流的解析式为 4T)sin()sin()sin()(32560456000ITIIimmmtt由已知得 或 AAIIIImmm07.7210255651021)6/5sin()sin( 对应的有效值 则 正弦量的基本概念正弦量的基本概念17正弦量的基本概念正弦量的基本概念18（2）瞬时值表达式）瞬时值表达式)sin(m tUu（1）波形图）波形图UU ut O191j 20abarctan22barracosrbsin)sinj(cossinjcosrr rA 21rAje sinjcosej 可得可得: rrrjrbaA jesincosj rA 由欧拉公式由欧拉公式:2jeesinjj

8、 ,2eecosjj 2211111jrbaA 22122jrb2aA +1+jO231111AbaA1j2122Ab2aA1j221211AAAA242+1+jO1212509010j 26 90e90j旋转旋转 90900 0 因子：因子：j90sinj90cosej90 rAj1e 相量相量A1乘以乘以+j 时，将逆时时，将逆时针旋转针旋转900 ，得到，得到jA1。超前。超前A1 900。+1+jo 相量相量A1乘以乘以-j 时，将顺时针时，将顺时针旋转旋转900 ，得到，得到-jA1。滞后。滞后A1 900。27)(sinmtIi 设正弦量设正弦量:1i1ti0 xyOmIit O2

9、8Ii0sinm )(sinmtIi1 )(sinmtIi 1i1ti0 xyOmIit O2930mmI U、I U、)V45(sin220 tuVe220j45m UVe2220j45 U31)(sinmtIi 设正弦量设正弦量: IIeI j 32)(sinmtIi 设正弦量设正弦量:rrrjrbaA jesincosj IeII mjmm 33i Iu U)jsincos(ejUUUU UIUI34)(sinmtIiIeImjm 35IU36例例 5-5 已知正弦电压u1(t)=141 sin(t+/3) V， u2(t)=70.5 sin(t-/6) V， 写出u1和u2的相量， 并

10、画出相量图。V V3 35 50 03 32 27 70 0. .5 5U Uu uV V3 31 10 00 03 32 21 14 41 1U Uu u. .2 22 2. .1 11 1相量图如图5.7所示1U1.U2.63 图 5.7 例5.5图 37例例 5.6 已知两个频率均为50 Hz的正弦电压， 它们的相量分别为 V, V， 试求这两个电压的解析式。6 6U U. .1 13803 3U U. .2 2 220解解 =2f=250=314 rad/su 1= U 1m sin(t+ 1 )=380 sin(314t+/6)Vu 2= U 2m sin(t+ 2 )=220 si

11、n(314t-/3) V223839)sin(iU2)sin(iU(t)u)sin(iU2)sin(iU(t)u2212m21111m1 利用三角函数， 可以得出它们之和为同频率的正弦量， 即)sin(2)()()(21tUtututu1. 两个同频率正弦量的相量之和两个同频率正弦量的相量之和 设有两个同频率正弦量22112212221122211coscossinsinarctan)sinsin()coscos(UUUUUUUUU40可以看出，可以看出， 要求出同频率正弦量之和，要求出同频率正弦量之和， 关关键是求出它的有效值和初相。键是求出它的有效值和初相。可以证明，可以证明， 若若u=u

12、 1+u 2， 则有则有2.1.UUUI2.I2.I1.I2.(a)I2.I1.I2.I2.I1.I2.I1.(b)I1. 图 5.8 两个相量加减的三 角形法则2. 求相量和的步骤求相量和的步骤 (1) 写出相应的相量，写出相应的相量， 并表示为代数形式。并表示为代数形式。 (2) 按复数运算法则进行按复数运算法则进行相量相加，相量相加， 求出和的相求出和的相量。量。(3) 作相量图，作相量图， 按照矢量按照矢量的运算法则求相量和。的运算法则求相量和。41例5.7 u uA(A(t t)=220 sin)=220 sinttV V， u uB(B(t t)=220 sin()=220 sin

13、(tt- -120120) V) V， 求求u uA+A+u uB B 和和 u uA-A-u uB B 。 解 (1) (1) 相量直接求和。相量直接求和。 22)V)V3030(sin(sint t2 2380380u uu u)V)V6060(sin(sint t2 2220220u uu uV V60603803803 3j110j110330330U UU Uu uu uV V60602202203 3j110j110110110U UU Uu uu uV V3 3j110j110110110) )120120j220sin(j220sin() )120120220(cos(220(

14、cos(120120220220U Uu uj0Vj0V2202200 0220220U Uu u0 0B BA A0 0B BA A0 0B B. .A A. .B BA A0 0B B. .A A. .B BA A0 00 00 0B B. .B B0 0A A. .A A/ / / / /42 (2) (2) 作相量图求解。作相量图求解。 见图见图5.105.10， 根据等边三角形和根据等边三角形和顶角为顶角为120120的等腰三角形的性质可以得出上述同样的的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果，结果， 读者自行分析。读者自行分析。 120120120603030UA.UB.UC.UB

15、.UB.UA.UB.UA.UB. 图 5.10 例4.7图 U1.U2.U3.U2.U.U3.U4.U1.U2.U3.U. U4.= 图 5.9 相量加减的多边形法则 431I2I超前超前落后落后？A)60(sin281 tiA)03(sin262 tiA608 1 IA3062I 2I 301I2I 落后于落后于1I604410AA68 222221 III1 .2330abarctan有效值有效值 I =10 A总电流瞬时值表达式：总电流瞬时值表达式：2I 301I60 IA) .12(sin210 3ti45V)54(sin1411tuA)03(sin6 .842tuO5 45100V4

16、2141 1.UO0- 3060V326 .84 2.U462.U.U1.U222112221)sinsin()cos( UUUUU1cos 129V V oooo22)30sin(6045sin100)30cos(6045cos100 4721concon 212211sinsinarctan UUUU)con(-3000con45 oooo601)30sin(6045sin100arctan o 4 .18332. 0arctan V)4 .18(sin2129tu2.U 3045.U1.U 48)V30604100( .21.O5 UUU)V309 .517 .707 .70( JJ V

17、J 4 .18129 )V7 .406 .122( V)4 .18(sin2129tu5051Riu+_仅有电阻参数的交流电路。仅有电阻参数的交流电路。iRu 根据欧姆定律根据欧姆定律:瞬时值符合欧姆定律瞬时值符合欧姆定律设设)(2itisinI则则)(2)(2UittsinsinURIRiu52RUI 0 iu 相位差相位差 ： 相量式：相量式：0II RIUU 0RI+_UU相量图相量图I)(2)(2UittsinsinURIu53iup 1. 瞬时功率瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积瞬时电压与瞬时电流的乘积tItUsinsinmm tI2U2sin2 结论结论: （耗能元件）（耗能

18、元件）, ,且随时间变化。且随时间变化。0ptUutIisin2sin2 pi tuO tpOiu直流分量直流分量2倍频交流分量倍频交流分量)2cos(1tUI 0i54TTtiuTtpTP00d1d1UI ttUITTd)2cos(110 单位单位:瓦瓦(W)UIP 2RI RU2pp tORiu+_55tiLeuLdd 关联参考方向时，关联参考方向时，iu+-eL+-L)90(sin)(cosiitLItLImm设：设：)(mitIisinttILuid)sind(m)()90(sinm tU56 U =I L 90iu 相位差相位差90utu iiO讨论讨论)90(sinm tLIutI

19、isinm 57LUI LXIU 则则: :f = 0, XL =0，电感，电感L视为视为短路短路LfLXL 2 fLXL2 L IUfXL有效值符合欧姆定律有效值符合欧姆定律58IXILULjj 90IU超前超前)90(sinm tLIutIisinm 根据：根据： 0II 9090LIUULIUIU j90 则：则：U相量图相量图I590d)(2sind1oo ttUIT1tpTPTT)90(sinsinmm ttIUuiptUI2sintIUttIU2sin2cossinmmmm)90(sinm tLIutIisinm 60p 0分析：分析：uiptUI2sinui+-ui+-ui+-u

20、i+-+p 0p 0p 0p XC 时时， 0 ，u 超前超前 i 呈呈感性感性当当 XL XC 时时 ， 0 感性感性)XL XCcosUURsinUUxURUCLUU XUCUIRU( 0 容性容性)XL XC CULUCLUUU RjXL-jXCRU+_LU+_CU+_U+_I82RXXXXRZCLCL arctan)(22 ZIXRIXXRIUUUUCLCLR )()(222222 由阻抗三角形：由阻抗三角形：cosZR sinZX URUCLUU XUZRCLXXX83)2cos(cos)2cos(cossin)sin(tUIUItUIttIUmmiupRLCRu+_Lu+_Cu+_

21、u+_iUIcostTtpTPTT00d1d1)2cos(costUIUI84单位单位: WURU XUUIcosPUISUIQsin单位：单位：var单位：单位：VA8522QPS QPSSQPUIS cosIUP sinIUQ 86SQP22)(CLXXRZ sincosZXZR2)(CL2RUUUUsincosUUUUXR22QPSsincosSQSPRUUCLUU将电压三角形的有效值同除将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形得到功率三角形RCLXX Z87一、一、基尔霍夫节点电流定律的相量形式 根据正弦量的

22、和差与它们相量和差的对应关系，根据正弦量的和差与它们相量和差的对应关系，可以推出：可以推出： 正弦电路中任一节点，与它相连正弦电路中任一节点，与它相连接的各支路电流的相量代数和为零，接的各支路电流的相量代数和为零，相量形式相量形式为：为： 二、回路电压定律的相量形式 同理可以推出正弦电路中，同理可以推出正弦电路中， 任一闭合回路，任一闭合回路， 各段电压的相量代数和为零，各段电压的相量代数和为零，简称KVL的相量形式。 0.I0.U基尔霍夫定律相量形式880 ki0 ki0 ku0 kI0 kU基尔霍夫定律相量形式89ZUI 21ZZZ IZZIZIZUUU)( 212121 +U1U2U1Z

23、2Z+-+-I通式通式: kZZ+UZ-I基尔霍夫定律相量形式902121ZUZUIII 2121ZZZZZ ZUI 对于阻抗模一般对于阻抗模一般21111ZZZ +U1Z-I2Z1I2I+UZ-I21111ZZZ 通式通式: k11ZZ基尔霍夫定律相量形式91有两个阻抗有两个阻抗 ，它们并联接在它们并联接在的电源上。的电源上。求求:和和并作相量图。并作相量图。j431 Zj682 ZV0220 U21II、I+U1Z-I2Z1I2I26.54.4710.511.81650j68j4337105352121 ZZZZZ基尔霍夫定律相量形式92同理：同理：A5344A535022011 ZUIA

24、3722A3701022022 ZUI所以：所以：A26.549.226.54.470220 ZUI或或A26.549.2A3722A53-44 21 III基尔霍夫定律相量形式93 21III1IUI2I533726.5 21III注意：注意：V0220UA53441 IA37222 I基尔霍夫定律相量形式94Ee 、Ii 、UuX C 、XL 、 RRCLjj基尔霍夫定律相量形式95升压升压变压器变压器输电线输电线降压降压变压器变压器96知识点回顾知识点回顾有功功率、无功功率、视在功率有功功率、无功功率、视在功率能能 量量能能 量量能能 量量能能 量量能能 量量能能 量量能能 量量S=UI

25、 cosUIP sinUIQ 97SP视在功率有功功率 cos 1cos1cos cosUIUI98例：例：已知某发电机的视在功率为已知某发电机的视在功率为1000KVA。（1）若）若1cos（2）若若7 . 0cos能发出能发出( ) KW的有功功率的有功功率只能发出只能发出( ) KW的有功功率的有功功率cos991cos0.6cos800kvarsinNN IUQ600kWcosNNIUP1000kWcosNN IUPAkV1000NNNIUS100 cosUIP )U/(PI cos 101(费电费电)设输电线和发电机绕组的电阻为设输电线和发电机绕组的电阻为 :r要求要求:(、定值定值

26、)时时cosIUP cosUPI rIP2cos( (导线截面积导线截面积) )IS102 日常生活中多为日常生活中多为感性负载，感性负载，如电如电动机、日光灯，其等效电路及相量动机、日光灯，其等效电路及相量关系如图。关系如图。 IURULU相量图相量图+U-RLXI+RU-+-LU感性等效电感性等效电路路A0.182A22040 UPI cosIUP 1cos例例:103A0.364A0.522040co sUPI40W220V日光灯日光灯 0.5cos 。 0.85cosIURULU相量图相量图+U-RLXI+RU-+-LU感性等效电感性等效电路路A0.182A22040 UPI 1cos1040)()9090()90(1cos0.30.2cos0cos0co1s0.90.7cos0.60.5cos105CICURLI1I106CICURLI1I 107coscos(1) 电路的总电流电路的总电流 ，电路总功率因数，电路总功率因数Icos电路总视在功率电路总视在功率S1cos 不变不变感性支路的感性支路的功率因数功率因数不变不变感性支路的电流感性支路的电流I1,1081IIU2 1CI211sinsin IIIC CUIC 11s