ch05时域离散系统基本网络结构VIP

1、第第5 5章章 时域离散系统时域离散系统( (数字滤波器）数字滤波器）的网络结构的网络结构本章主要内容本章主要内容 引言引言 用信号流图表示网络结构用信号流图表示网络结构 无限长脉冲响应系统无限长脉冲响应系统(IIR)(IIR)基本网络结构基本网络结构 有限长脉冲响应系统有限长脉冲响应系统(FIR)(FIR)基本网络结构基本网络结构本章讨论的本章讨论的基本问题基本问题：“数字滤波器已经设计好了，再讨论其结构数字滤波器已经设计好了，再讨论其结构”。准备工作：准备工作：（1）什么是什么是数字滤波器（数字滤波器（DF）？）？ 时域离散系统时域离散系统：本书限定为：本书限定为LTI, 因果，稳定因果，

2、稳定的。的。所谓所谓设计设计DF，即对描述时域离散系统的方法中各，即对描述时域离散系统的方法中各参数的确定参数的确定。采用数字滤波器的说法，更能采用数字滤波器的说法，更能体现系统的传输特性，频响特性，体现系统的传输特性，频响特性，即对输入频率成分的改变即对输入频率成分的改变（抑制，通过）（抑制，通过） 5.1 引言引言（2）数字滤波器（数字滤波器（DF）的）的表示表示：差分方程差分方程：描述系统输入输出之间的关系。：描述系统输入输出之间的关系。单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)：系统对：系统对 (n)的零状态响应。的零状态响应。系统函数系统函数H(z)：h(n)的的Z变换变换频率响应函数频率响应

3、函数H(ejw): h(n)的的F变换变换 所谓所谓”DF设计好了设计好了“，是指，是指a. 对对h(n)：即有多少样值，每个值是多少？：即有多少样值，每个值是多少？b. 对对N阶差分方程：阶差分方程： 及其系统函数及其系统函数H(z)： 来说：来说：即确定式中各系数：即确定式中各系数：1001( )()()( )( )( )1NMiiiiMiiiNiiiy na y nib x nib zY zH zX za z 0101( )()()( )( )( )1MNiiiiMiiiNiiiy nb x nia y nib zY zH zX za z ai、bi、M 、N（3）分类：分类：n 按按选

4、频选频性质分：性质分：低通（低通（LP)、高通、高通(HP)、带通、带通(BP)、带阻、带阻(BS)。n 按按h(n)的特点分：的特点分：IIR.DF(无限长冲激响应无限长冲激响应. 数字滤波器）数字滤波器）ai0FIR.DF (有限长冲激响应有限长冲激响应. 数字滤波器）数字滤波器） ai=01001( )()()( )( )( )1NMiiiiMiiiNiiiy na y nib x nib zY zH zX za z 001( )()( )( )( )1MiiMiiiNiiiy nb x nib zY zH zX za z 01001( )()( )(1).()( )( )( )1MiM

5、iMiiiNiiih nbnibnbnbnMb zY zH zX za z 0101( )()()( )1MNiiiiMiiiNiiiy nb x nia y nib zH za z 010( )()()( )MNiiiiMiiiy nb x nia y niH zb z 注意：注意：a. 无论无论FIR.DF或或IIR.DF都可以是都可以是低通、高通、带通、带阻低通、高通、带通、带阻。b. 注意把注意把H(z)和差分方程联系起来，例如和差分方程联系起来，例如H(z)有分母项，一有分母项，一定是定是IIR.DF。（4）如何滤波？如何滤波？一旦一旦DF被设计出来，则被设计出来，则差分方程各参数差

6、分方程各参数已知，可以直接已知，可以直接递推递推出出y(n)。a. 对对h(n)有限长有限长(FIR.DF)情况，也可以情况，也可以线性卷积线性卷积出出y(n)。 注意：当给定一个差分方程，实现的算法可以有很多种，例如：注意：当给定一个差分方程，实现的算法可以有很多种，例如： 因此研究实现信号的算法是一个很重要的问题，可用因此研究实现信号的算法是一个很重要的问题，可用网络结构网络结构表示具体的算法表示具体的算法，因此，因此，网络结构实际表示的是一种运算结构网络结构实际表示的是一种运算结构。本章重点介绍本章重点介绍数字系统的基本网络结构数字系统的基本网络结构1122113111( )10.80.

7、151.52.5( )10.310.511( )10.310.5HzzzHzzzHzzz H1(z)=H2(z)=H3(z)相同的系统函数对应不同相同的系统函数对应不同的算法，不同的算法直接的算法，不同的算法直接影响系统影响系统运算误差，运算运算误差，运算速度速度以及系统的以及系统的复杂程度复杂程度和成本和成本5.2 用信号流图表示网络结构用信号流图表示网络结构 1 1、数字信号处理中的三种基本算法：乘法、加法和单位延迟、数字信号处理中的三种基本算法：乘法、加法和单位延迟z z 1 1和和a a为支路为支路增益增益，箭头箭头表示信号表示信号流动方向流动方向，两个变量相加，用一圆点表示。，两个变

8、量相加，用一圆点表示。信号流图的的信号流图的的圆点圆点( ( ) )表示表示节点节点，有输入，有输入(x(n)(x(n)、输出、输出(y(n)(y(n)、中间节点。、中间节点。每个节点处的信号称为每个节点处的信号称为节点变量节点变量，节点间连线称为，节点间连线称为支路支路。所以。所以信号流图由连信号流图由连接节点的一些有方向性的支路构成接节点的一些有方向性的支路构成。 x(n)x(n)z z- -1 1x(n-1)x(n-1)信号与系统信号与系统的方框图表示法的方框图表示法延时延时加法加法x x1 1(n)(n)乘法乘法a aa a x(n)x(n)x(n)x(n)x x2 2(n)(n)x

9、x1 1(n)+x(n)+x2 2(n)(n)x x1 1(n)+x(n)+x2 2(n)(n)DSP中三种基本运算流图中三种基本运算流图x(n)x(n)z z 1 1x(n-1)x(n-1)x x1 1(n)(n)x x2 2(n)(n)a ax(n)x(n)a a x(n)x(n)2.2.基本信号流图基本信号流图信号流图代表的是信号流图代表的是运算方法运算方法，同一个系统函数可以有，同一个系统函数可以有多种信号多种信号流图相对应流图相对应。基本信号流图基本信号流图的条件：的条件： 流图中所有支路的流图中所有支路的增益是常数或者是增益是常数或者是z z-1-1； 流图环路中必须存在流图环路中

10、必须存在延时支路延时支路； 节点和支路的数目是节点和支路的数目是有限的有限的。 例例：判断下列两图是否为基本信号流图。：判断下列两图是否为基本信号流图。基本信号流图对应一种基本信号流图对应一种具体的运算方法具体的运算方法，非基本信号流图不能，非基本信号流图不能用一种具体的运算方法来实现。网络结构可以通过用一种具体的运算方法来实现。网络结构可以通过基本信号流基本信号流图图来来描述描述。x(n)y(n)H(z)图图1a-bx(n)y(n)图图2都不是。都不是。图图1：支路的增益不是常数或：支路的增益不是常数或z-1，图图2：流图环路：流图环路中没有延时支路中没有延时支路。3.由基本信号流图求系统函

11、数由基本信号流图求系统函数H(z) 方法：设置中间节点变量，方法：设置中间节点变量，节点变量节点变量w(n)等于该节点的所有等于该节点的所有输入支路变量之和输入支路变量之和。再确定输入输出关系，求出系统函数。再确定输入输出关系，求出系统函数H(z)。例例：已知基本信号流图如下，求其系统函数：已知基本信号流图如下，求其系统函数H(z)。解解:(1)首先，设置中间节点变量首先，设置中间节点变量w2(n)、w2(n) 、w1(n)，列，列出节点变量状态方程；并对各方程求出节点变量状态方程；并对各方程求Z变换。变换。x(n)y(n)W2(n)W2(n)W1(n)z-1b1b0-a2-a1b2z-122

12、11222221121)()( )( )( )()( zazazXzWzWzazWzazXzW)(1)()( )(221122110221102zXzazazbzbbzbzbbzWzY 2211221101)()()( zazazbzbbzXzYzHw1(n)=w2(n-1); w2(n)=w2(n-1);w2(n)=x(n)-a1w2(n)-a2w1(n); y(n)=b2w1(n)+b1w2(n)+b0w2(n); W1(z)=W2(z)z-1;W2(z)=W2(z) z-1; W2(z)=X(z)-a1W2(z)-a2W1(z);Y(z)=b2W1(z)+b1W2(z)+b0W2(z);

13、(2)求解状态变量的求解状态变量的Z变换方程，变换方程，消去状态变量，消去状态变量，然后根据然后根据H(z)=Y(z)/X(z)，求出系统函数，求出系统函数H(z)。5.3 无限长脉冲响应无限长脉冲响应(IIR.DF)基本网络结构基本网络结构 IIR基本网络结构有三种：基本网络结构有三种：直接型、级联型和并联型直接型、级联型和并联型 一、直接型：一、直接型：(直接直接型、型、型型) 已知系统函数：已知系统函数： 1、直接、直接型型： 设：设：M=N=2，令，令 120121212.( )1.bb zb zH zzz 121201212121( )( )( )()1H zHzHzbb zb zz

14、z 1( )V zHzX z 2( )Y zHzV z 直接直接I型型优点优点：结构简单、清晰；结构简单、清晰；缺点缺点：所用运算单元多，延时支路较多；所用运算单元多，延时支路较多； ak、bk常数对滤波器的性能控制作用不明显；常数对滤波器的性能控制作用不明显； 零、极点关系不明显，调整困难零、极点关系不明显，调整困难b0b1b2z1z1z1z1a1a2x(n)x(n 1)x(n 2)y(n)y(n 1)y(n 2)x(n)y(n)b0b1b2z1z1z1z1a1a2w2w1H1(z)H2(z)H2(z)H1(z)x(n)y(n)a1a2b0b1b2z1z1（ a ）（ b ）（ c ）直接直

15、接型型 ： 由于系统函数由于系统函数 H(z) = H1(z)H2(z) = H2(z)H1(z)，上图中两部分，上图中两部分交换位置，且前后两部分延时支路可以合并。交换位置，且前后两部分延时支路可以合并。b0b1b2z1z1z1z1a1a2x(n)x(n 1)x(n 2)y(n)y(n 1)y(n 2)x(n)y(n)b0b1b2z1z1z1z1a1a2w2w1H1(z)H2(z)H2(z)H1(z)x(n)y(n)a1a2b0b1b2z1z1（ a ）（ b ）（ c ）优点：优点：延时支路比直接延时支路比直接I型减少；型减少；缺点缺点：某一某一ak、bk变化，则所变化，则所有零极点都要发

16、生变化，有零极点都要发生变化，不能单独调整某一零极点不能单独调整某一零极点。阶数较高时，乘法运算阶数较高时，乘法运算产生的噪声积累对输出影产生的噪声积累对输出影响很大。响很大。例例：已知已知IIR数字滤波器的系统函数，画出该滤波器的数字滤波器的系统函数，画出该滤波器的直接型直接型结构。结构。解：解：由由H(z)写出差分方程如下：写出差分方程如下：12312384112( )5311448zzzH zzzz 531( )(1)(2)(3)8 ( )4 (1)44811 (2)2 (3)y ny ny ny nx nx nx nx n 531( )(1)(2)(3) 8 ( ) 4 (1)4481

17、1 (2) 2 (3)y ny ny ny nx nx nx nx n x(n)y(n)z 1z 1z 1 4811 2454381二、级联型二、级联型对于系统函数对于系统函数 将分子分母多项式分别进行因式分解，得到将分子分母多项式分别进行因式分解，得到将共轭成对的零点将共轭成对的零点(极点极点)放在一起，形成一个放在一起，形成一个二阶多项式二阶多项式，即，即形成一个形成一个二阶网络，二阶网络，则二阶网络的系数仍为实数。则二阶网络的系数仍为实数。 NjjjMiiizazbzXzYzH101)()()( 系统函数系统函数1111(1)( )(1)MrrNrrC zH zAd z 式中，式中，A是

18、常数，是常数，Cr，dr分别分别表示零点、极点，为表示零点、极点，为实数实数或或共轭成对的复数共轭成对的复数式中：式中：0j、1j、2j、1j和和2j均为实数。这样，均为实数。这样，H(z)就分解就分解成一些一阶或二阶网络的级联形式，如下式：成一些一阶或二阶网络的级联形式，如下式： H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) ：级联型结构不是唯一的：级联型结构不是唯一的式中式中Hi(z)表示一个一阶或二阶网络的系统函数，每个表示一个一阶或二阶网络的系统函数，每个Hi(z)的的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构表示。网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构表示。111101)( : zzzHjj

19、jj 一阶网络系统函数为一阶网络系统函数为2211221101)( : zzzzzHiiiiii 为为二阶网络系统函数格式二阶网络系统函数格式二阶网络系统函数为：二阶网络系统函数为：一阶网络系统函数为：一阶网络系统函数为：y(n)x(n) 1j 0j 1jz-1直接型一阶网络结构图直接型一阶网络结构图y(n)x(n)z-1z-1 1i 0i 2i 2i 1i直接型二阶网络结构直接型二阶网络结构IIR的级联型网络结构：的级联型网络结构：H(z)= H1(z)H2(z)Hk(z)，级联型示，级联型示意图：意图：优点优点: 每个一阶网络决定整个网络的一个零点、一个极点，每个二每个一阶网络决定整个网络

20、的一个零点、一个极点，每个二阶网络决定一对零点、一对极点。阶网络决定一对零点、一对极点。所以零、极点调整方便，所以零、极点调整方便，便于调整频响便于调整频响；缺点缺点：存在误差积累和时间延迟存在误差积累和时间延迟。级联结构中后面的网络输出不会。级联结构中后面的网络输出不会传送到前面，所以运算误差的积累相对于直接型要小；传送到前面，所以运算误差的积累相对于直接型要小；因式不好分解。因式不好分解。y(n)x(n)H1(z) H2(z)Hk(z) 例例:已知已知IIR数字滤波器的系统函数，数字滤波器的系统函数，画出该滤波器的级联型结构。画出该滤波器的级联型结构。1231238 4112( )1 1.

21、250.750.125zzzH zzzz 解解: 将将H(z)的分子、分母进行因式分解，得的分子、分母进行因式分解，得112112(20.379)(4 1.245.264)( )(1 0.25)(10.5)zzzH zzzz 为了减少为了减少单位延迟单位延迟的的数量，将一阶的分子、数量，将一阶的分子、分母多项式组成一个分母多项式组成一个一阶网络一阶网络，二阶的分，二阶的分子、分母多项式组成子、分母多项式组成一个二阶网络一个二阶网络。则则 H(z)的级联型结构为：的级联型结构为：y(n)45.26z-1z-1 1.24-0.50.252 0.37z-1x(n)3、并联型、并联型 将将H(z)展成

22、展成部分分式部分分式形式得到形式得到IIR并联型结构，即：并联型结构，即：式中，式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为：二阶网络的系统函数一般为：12( )( )( )( )kH zHzHzHz1011212( )1iiiiizH za za z 式中，式中，0i、1i、1i和和2i都是实数。都是实数。如果如果a2i=0则构成则构成一阶网络。一阶网络。 y(n)x(n)Hk(z)H2(z)H1(z)a优点优点： 无误差积累无误差积累，各级误差互不影响，仅，各级误差互不影响，仅极点调整方便极点调整方便。所以

23、，在所以，在要求准确传输极点的场合，宜采用这种结构要求准确传输极点的场合，宜采用这种结构; 运算速度快。运算速度快。缺点缺点: 零点调整不方便，当零点调整不方便，当H(z)有多阶极点时，部分分式展开不易。有多阶极点时，部分分式展开不易。例例:若系统函数若系统函数 ，求，求H(z)的并联的并联型结构。型结构。解：解：确定确定 H(z) 极点极点 z1=0.5，z2=0.25 均为一阶极点；并将均为一阶极点；并将 H(z) 表示成表示成 Zn 正幂等式，正幂等式， 对对H(z)展开成展开成部分分式部分分式1211(1)( )(10.5)(10.25)zHzzz )25.0)(5.0()1()(2

24、zzzzH即即zCzBzAzzzzzzH 25.05.0)25.0)(5.0()1()(218250125050250=-+=-=zzzzzzzzzHA ).().()(.12+zzzH)(50250250250=-=-=zzzzzz25- ).().(B.282505012020=-+=zzzzzzzzzH).)(.()(C825. 01255 . 011825. 05 . 0)()(11 zzCzBzzAzzzzHzH将上式每一部分用直接型结构实现，其并联型结构如下图：将上式每一部分用直接型结构实现，其并联型结构如下图：0.5Z-118 y(n)x(n)80.25Z-125设单位脉冲响应设

25、单位脉冲响应h(n)长度为长度为N，则根据卷积定理，则根据卷积定理: 一、直接型一、直接型(或称卷积型、横截型、横向型或称卷积型、横截型、横向型) 直接画出结构图。直接画出结构图。10( )() ()(0) ( )(1) (1).(1) (1)Nmy nh m x nmhx nhx nh Nx nN x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(N1)h(2)h(N-2)FIR 直接型网络结构直接型网络结构5.4 有限长冲激响应有限长冲激响应(FIR.DF)基本网络结构基本网络结构 FIR网络结构特点：网络结构特点： 没有反馈支路，即没有环路。没有反馈支路，即没有环路。例例:已知

26、已知FIR网络系统函数网络系统函数H(z)=0.96+2Z-1+2.8Z-2+1.5Z-3，画出画出H(z)直接型结构。直接型结构。解：解：根据根据H(z)直接画出直接画出FIR直接型结构直接型结构y(n)1. 5x(n)z-1z-1z-10.9622.811(1)0( )( )(0)(1).(1)NnNnH zh n zhhzh Nz 111kNNNkNWzWz 二二. 频率采样结构频率采样结构要求：要求：频率域采样点数频率域采样点数NM，上式提供了一种称为，上式提供了一种称为频率采样的频率采样的FIR网络结构网络结构。 10111110000( )( )11( )( )NnnNNNNnkn

27、nkNNnkkkH zh n zH k WzH kWzNN ( )( )DFTNh nH k 1101( )1N NkkNzH kNWz 对对H(z)的公式写成下式：的公式写成下式： 根据根据H(z)的表达式，网络结构中有反馈支路，是由的表达式，网络结构中有反馈支路，是由Hk(z)产生产生的，其的，其极点为极点为Zk=WN-k ，即单位圆上有等间隔分布的，即单位圆上有等间隔分布的N个极点，个极点，由于由于Hc(Z)为为梳状滤波器，其零点为：梳状滤波器，其零点为：零点也是等间隔分布在单位圆上零点也是等间隔分布在单位圆上，极点和零点相互抵消，保证，极点和零点相互抵消，保证了了网络的稳定性网络的稳定性。1011( )( )( )(