概率论第七章 概率统计(7)简洁版

1、 对所研究的随机变量进行重复独立的观察，对所研究的随机变量进行重复独立的观察，利用观察值对随机变量的分布作出推断。利用观察值对随机变量的分布作出推断。u总体分布类型的判断；总体分布类型的判断；u总体分布中未知参数的推断总体分布中未知参数的推断 假定某市成年男性的身高服从正态分布，假定某市成年男性的身高服从正态分布，希望得到平均身高希望得到平均身高m m： m m的大小如何的大小如何； m m大概落在什么范围内；大概落在什么范围内； 能否认为能否认为某一说法成立某一说法成立（如（如 m m 1.68）。）。 第一节 点估计第三节 估计量的评选标准第四节 区间估计第五节 正态总体均值与方差的区间估

2、计第六节 （0-1）分布参数的区间估计第七节 单侧置信区间第一节第一节 点估计点估计 假定某市成年男性的身高服从正态分假定某市成年男性的身高服从正态分布，希望得到平均身高布，希望得到平均身高m m，如何估计？，如何估计？点估计问题的一般提法点估计问题的一般提法.,.,);(2121为为相相应应的的一一个个样样本本值值本本的的一一个个样样是是是是待待估估参参数数知知的的形形式式为为已已的的分分布布函函数数设设总总体体nnxxxXXXXxFX .),(),(2121 来来估估计计未未知知参参数数用用它它的的观观察察值值一一个个适适当当的的统统计计量量点点估估计计问问题题就就是是要要构构造造nnxx

3、xXXX.),(21的估计量的估计量称为称为 nXXX.),(21的的估估计计值值称称为为 nxxx., 简记为简记为通称估计通称估计 其一其一 是如何给出估计，即估计的是如何给出估计，即估计的方法问题方法问题； 其二其二 是如何对不同的估计进行评价，即估计是如何对不同的估计进行评价，即估计的的好坏判断标准。好坏判断标准。点估计涉及的两个问题点估计涉及的两个问题一、一、 矩估计矩估计法法 用样本矩去用样本矩去替换替换相应的总体矩相应的总体矩 通常采用原点矩通常采用原点矩1例0, ,X设总体 服从上的均匀分布 即密度函数1,0,0,xf x其他12,nXXX其中 未知是一个样本 求的矩估计量.,

4、 0,221222的的矩矩估估计计量量和和求求是是一一个个样样本本又又设设均均为为未未知知和和但但且且有有都都存存在在和和方方差差的的均均值值设设总总体体 m m m m m mnXXXX ,1XA m m2122AA niiXXn1221.)(112 niiXXn例例3 3 总体均值与方差的矩估计量的表达式总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异不因不同的总体分布而异. . A同学和一位猎人一起外出打猎。同学和一位猎人一起外出打猎。 一只野兔从前方窜出，只听一声枪响，一只野兔从前方窜出，只听一声枪响，野兔应声倒地。请推断：是谁开枪？野兔应声倒地。请推断：是谁开枪？猎人射击猎人射

5、击最有可能最有可能一枪命中野兔。一枪命中野兔。观察结果观察结果 A同学和一位猎人一起外出打猎。同学和一位猎人一起外出打猎。 一只野兔从前方窜出，只听一声枪响，一只野兔从前方窜出，只听一声枪响，野兔仓皇逃走。请推断：是谁开枪？野兔仓皇逃走。请推断：是谁开枪？A同学射击同学射击最有可能最有可能一枪命不中野兔。一枪命不中野兔。 看谁看谁最有可能最有可能产生观察结果；产生观察结果； 或者说，看谁使得观察结果出现的或者说，看谁使得观察结果出现的概率最大。概率最大。 观察结果观察结果2. 2. 最大似然估计法最大似然估计法属属离离散散型型设设总总体体 X)1( ; ),P Xxp x设分布律为待估参数,2

6、1的的样样本本是是来来自自总总体体 XXXXn,2121的的概概率率取取到到观观察察值值则则样样本本nnxxxXXX发发生生的的概概率率为为即即事事件件nnxXxXxX ,2211 );,()(21 nxxxLL设设x1,x2,.,xn是相应的一个样本值是相应的一个样本值. 观察观察结果结果),;(1 niixp, 样本的似然函数样本的似然函数求最大似然估计量的步骤求最大似然估计量的步骤:121() ( )(,; )( ; )nniiLL x xxp x一写出似然函数1() ln ( )ln ( ; )niiLp x二取对数dln ( )dln ( )() ,0,dd.LL三对求导并令解方程即

7、得未知参数 的最大似然估计值但如果此方程无解，那么利用单调性求得。.,), 1(21的的最最大大似似然然估估计计量量求求个个样样本本的的一一是是来来自自设设pXXXXpBXn例例4 4属连续型属连续型设总体设总体 X)2(,),;( 为为待待估估参参数数设设概概率率密密度度为为xf,21的的样样本本是是来来自自总总体体 XXXXn );,()(21 nxxxLL1( ; ),niif x, 样本的似然函数样本的似然函数例X设某电子元件的寿命 服从参数为 的指数分布12, , ,nnx xx测得 个元件的失效时间为试求 的极大似然估计.,),(22122的的最最大大似似然然估估计计量量和和求求的

8、的一一个个样样本本值值是是来来自自为为未未知知参参数数设设总总体体 m m m m m mXxxxNXn解解的概率密度为的概率密度为X,e21),;(222)(2 m m m m xxf似然函数为似然函数为,e21),(222)(12 m m m m ixniL例例5,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnLm m m m,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnLm m m m , 0),(ln, 0),(ln222 m m m mm mLL令令,xm m 2211() .niixxn 最大似然估计值最大似然估计值,Xm m 2211() .niiX

9、Xn 最大似然估计量最大似然估计量 最大似然估计法也适用于分布中含有最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况多个未知参数的情况. . 此时只需令此时只需令., 2 , 1, 0lnkiLi .), 2 , 1( ,iikik 的的最最大大似似然然估估计计值值数数即即可可得得各各未未知知参参个个方方程程组组成成的的方方程程组组解解出出由由 对数似然对数似然方程组方程组例1( 0),01,( )0,(1)(2)Xxxf x设总体 具有参数为的概率密度函数其它.求 的矩估计； 求 的极大似然估计.例2()122,;( , )0,0,xnXexf xxnx xx设某电子元件的寿命 的密度函数

10、其中为未知参数，测得 个元件的失效时间为试求 的极大似然估计.(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么?第三节第三节 估计量的评选标准估计量的评选标准 假定某市成年男性的身高服从正态分假定某市成年男性的身高服从正态分布，希望得到平均身高布，希望得到平均身高m m，如何估计？，如何估计？. ,)( ,)(),(21的无偏估计量的无偏估计量是是则称则称有有且对于任意且对于任意存在存在的数学期望的数学期望若估计量若估计量 EEXXXn无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: : 无系统误差无系统误差. .（一）无

11、偏性（一）无偏性.1 , ,)1()(121的的无无偏偏估估计计阶阶总总体体矩矩是是阶阶样样本本矩矩总总体体服服从从什什么么分分布布论论的的一一个个样样本本，试试证证明明不不是是又又设设存存在在阶阶矩矩的的设设总总体体knikiknkkkXnAkXXXXkXEkXm mm m 例例1设总体设总体 X 的均值为的均值为m m, ,方差为方差为 2 2, , X1 1, ,X2 2, , ,Xn n 为来自总体为来自总体 X 的随机样本，记的随机样本，记 与与 分别为样本均值与样本方差，即分别为样本均值与样本方差，即.)(11 ,12121XXnSXnXniinii.)( , )( 22mSEXE

12、则则X2S思考：总体均值思考：总体均值m m还有没有其他的无偏估计量？还有没有其他的无偏估计量？例例(二二) )有效性有效性.),()( ,),(),(212121222111有有效效较较则则称称若若有有的的无无偏偏估估计计量量都都是是与与设设 DDXXXXXXnn （三）相合性（三）相合性. ,),(, ,),(2121的的相相合合估估计计量量为为则则称称依依概概率率收收敛敛于于时时当当若若对对于于任任意意的的估估计计量量为为参参数数若若 nnXXXnXXX 1 1、导弹直接命中敌机将其击毁、导弹直接命中敌机将其击毁2 2、导弹接近敌机时引爆，依靠高速飞行的弹、导弹接近敌机时引爆，依靠高速飞

13、行的弹片将其击毁片将其击毁第四节第四节 区间估计区间估计用空空导弹击落敌机的两种模式用空空导弹击落敌机的两种模式解解:2122,( ,) , , , .nXXXNm mm设是来自正态总体的样本 其中为已知为未知 求的区间估计(0,1)/, XNnm是不依赖于任何未知参数的例1 ,1/2/ m m znXP,1 2/2/ m m znXznXP即即 分分位位点点的的定定义义知知由由标标准准正正态态分分布布的的上上 0/2z/2/2z/2., 1 2/2/ m mznXznX的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成.2/ znX,1

14、2/2/ m m znXznXP即即统计量统计量统计量统计量1. 置信区间的定义置信区间的定义.1 ,1 ,1) ,(为为置置信信度度的的置置信信下下限限和和置置信信上上限限的的双双侧侧置置信信区区间间分分别别称称为为置置信信度度为为和和间间的的置置信信区区的的置置信信度度为为是是则则称称随随机机区区间间 ,1),(),( ),(),(, 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPXXXXXXXXXxFX满满足足和和确确定定的的两两个个统统计计量量若若由由样样本本对对于于给给定定值值数数含含有有一一个个未未知知参参的的分分布布函函数数设设总总体体16, 1, 0.05,

15、n 取取/20.025 1.96,zz .1.961610.95 X的置信区间的置信区间得一个置信水平为得一个置信水平为由一个样本值算得样本均值的观察值由一个样本值算得样本均值的观察值,20. 5 x则置信区间为则置信区间为),49. 020. 5( ).69. 5,71. 4(即即.2/ znX不是随机区间不是随机区间若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)每次可确定一个区间按频率稳定于概率, 在这样多的区间中,(1), . mm包含 真值的约占不包含 的约占 ,mm每个这样的区间要么包含的真值，要么不包含的真值,1 2/2/ m m znXznXP即即例如例如 , 1000 0.0

16、1, 次次反反复复抽抽样样若若 1000 10.m则得到的个区间中不包含真值的约为个,05. 0 给定给定 ,95. 0/ 01. 004. 0 znXzP m m则则又又有有 .0.95, 04. 001. 0的的置置信信区区间间为为的的置置信信水水平平也也是是故故m m znXznX00.01Z Z0.010.010.04z0.04比较两个置信区间的长度比较两个置信区间的长度, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL 显显然然置信区间短表示估计的精度高置信区间短表示估计的精度高.0.010.04 ,XzXznn 0.0250.025

17、,XzXznn像像N(0,1)分布那样其概率密度的图形是分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况单峰且对称的情况, 当当n固定时固定时, 以形如以形如(4.5)那样那样的区间其长度为最短的区间其长度为最短.求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤. )(,);,(:, )1(2121 包括包括数数且不依赖于任何未知参且不依赖于任何未知参的分布已知的分布已知并且并且其中仅包含待估参数其中仅包含待估参数的函数的函数寻求一个样本寻求一个样本ZXXXZZXXXnn 12(3) (,; ) , naZ XXXb若能从得到等价的不等式则得到置信区间.1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使

18、出出两两个个常常数数定定对对于于给给定定的的置置信信度度第五节 正态总体均值与方差的 区间估计一、单个总体的情况一、单个总体的情况二、两个总体的情况二、两个总体的情况.,),( , ,12221本本方方差差分分别别是是样样本本均均值值和和样样的的样样本本总总体体为为并并设设设设给给定定置置信信水水平平为为SXNXXXn m m 一、单个总体一、单个总体 的情况的情况),(2 m mN ,)1(2为为已已知知 1 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 m m .2/ znX 的置信区间的置信区间均值均值m m1. ,)2(2为为未未知知 , , 2/直直接接使使用用此此区区间间不

19、不能能中中含含有有未未知知参参数数由由于于区区间间 znX,1)1()1( 2/2/ m m ntnSXntnSXP即即 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得于是得 m m .)1(2/ ntnSX ),1(/ ntnSXm m又根据第六章定理三知又根据第六章定理三知 ,1)1(/)1( 2/2/ m m ntnSXntP则则0/2ta/2(n-1)/2- - ta/2(n-1)解解 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋, 称得重称得重量量(克克)如下如下: 496509502506496493505514512497510504503499508506

20、设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值试求总体均值,151 0.05, n : )1( 分分布布表表可可知知查查 nt )15(025. 0t,2022. 6,75.503 sx计计算算得得 . 0.95 的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为m m,1315. 2例例2 5%9 的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为得得m m 1315. 2162022. 675.503).1 .507, 4 .500(即即就是说估计袋装糖果重量的均值在就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与克与507.1克之间克之间, 这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为95

21、%. , 22的无偏估计的无偏估计是是因为因为 S),1()1(222 nSn 根据根据P143第六章第二节定理二知第六章第二节定理二知 . ,未知的情况未知的情况只介绍只介绍根据实际需要根据实际需要m m 2的置信区间的置信区间方差方差 2. ,1)1()1()1( 22/2222/1 nSnnP则则 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得方差于是得方差 ,1)1()1()1( 22/2222/1 nSnnP则则 ,1)1()1()1()1( 22/12222/2 nSnnSnP即即 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn 1 的的置置信信区区间间的的一一

22、个个置置信信度度为为标标准准差差 .)1(1,)1(122/122/ nSnnSn (续例续例1) 求例求例1 1中总体标准差中总体标准差 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间. .解解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分分布布表表可可知知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s计计算算得得 )15(2975. 0 代入公式得标准差的置信区间代入公式得标准差的置信区间).60. 9,58. 4( ,488.27,262. 6例例2二、两个总体 的情况),(),(222211 m m m mNN设产品的某质量指标设产品的某质量指标 )

23、,(211mNX 由于原材料的改变、或设备条件发生变化、或由于原材料的改变、或设备条件发生变化、或技术革新等因素的影响，使得产品质量指标可能技术革新等因素的影响，使得产品质量指标可能发生变化，此时产品的质量指标为发生变化，此时产品的质量指标为),(222mNY 为了了解产品质量指标有多大的变化，需为了了解产品质量指标有多大的变化，需要考虑要考虑222121/ ,mm的统计推断问题的统计推断问题二、两个总体 的情况),(),(222211 m m m mNN., , ,),(,),( , ,122212222121121的的样样本本方方差差分分别别是是第第一一、二二个个总总体体总总体体的的样样本

24、本均均值值分分别别是是第第一一、二二个个的的样样本本个个总总体体为为第第二二的的样样本本第第一一个个总总体体为为并并设设设设给给定定置置信信度度为为SSYXNYYYNXXXnn m m m m , 的的独独立立性性及及由由YX,1211 nNX m m,2222 nNY m m, 22212121 nnNYX m mm m可可知知 ,1, 0 22212121NnnYX m mm m 或或 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 m mm m .2221212/ nnzYX 21的的置置信信区区间间两两个个总总体体均均值值差差m mm m ( (方差已知）方差已知

25、）222212, , 但为未知 1 21的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 m mm m .11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其其中中 ),2(11 212121 nntnnSYXwm mm m( (方差未知但相等）方差未知但相等）例例7为比较为比较, 两种型号步枪子弹的枪口速度两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取随机地取型子弹型子弹10发发, 得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为),s/m(5001 x),s/m(10. 1 1 s标标准准差差随机地取随机地取型子弹型子弹20发发, 得枪口速度平

26、均值为得枪口速度平均值为),s/m(4962 x),s/m(20. 1 2 s标标准准差差假设两总体都可认为近似假设两总体都可认为近似地服从正态分布地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差且由生产过程可认为它们的方差相等相等, 求两总体均值差求两总体均值差 .950 21的的置置的的置置信信度度为为m mm m 信区间信区间.11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其其中中解解 2221的的置置信信区区间间两两个个总总体体方方差差比比 2.22222121 SS ),1, 1(21 nnF . , 21为未知的情况为未知

27、的情况仅讨论总体均值仅讨论总体均值m mm m22111/212/2122222(1,1)(1,1) =1- SP FnnFnnS 1 2221的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为于于是是得得 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 例例9 研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径生产的钢管内径, 随随机抽取机器机抽取机器 A 生产的管子生产的管子 18 只只, 测得样本方差为测得样本方差为均未知均未知, 求方差比求方差比 .900 的置的置的置信度为的置信度为区间区间.设两样本相互独设两样本相互独);mm(34.

28、 0 221 s).mm(29. 0 222 s抽取机器抽取机器B生产的管子生产的管子 13 只只, 测测得样本方差为得样本方差为立立,且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径分别服生产的钢管内径分别服从正态分布从正态分布),(),(222211 m m m mNN)2 , 1(,2 iii m m2221 信信解解 见见P167例五！例五！标准正态分布表标准正态分布表z01234567890.01.00.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570

29、.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190

30、.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720

31、.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170

32、.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645z0123456781.92.03.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.9966

33、0.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.9599

34、0.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.99980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.9887

35、0.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98580.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表2-2标准正态分布表标准正态分布表z0123456781.92.03.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.998

36、10.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.973

37、80.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.99980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.993

38、20.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98580.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00002.326附表2-2标准正态分布表标准正态分布表 =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.

39、81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.718