第七章 留数定理及其应用.

1、数学物理方法7.1 留数定理 单值函数 f(z) 在孤立奇点bk 邻域内的洛朗展开 中的 项的系数 称为 f(z) 在 bk处的留数，记作 ，或 。)(1ka )(reskbf留数 llkklbzazf)()()(1)( kbz定义 kbzf),(res 设光滑的简单闭合曲线 C 是区域 G 的边界，若除了有限个孤立奇点 bk ( k =1, 2, n ) 外，函数 f(z) 在 G 内单值解析，在 上连续，且 C 上没有奇点，则 1)(res2)(kkCbfidzzf 留数定理 定理G如图，围绕每个奇点 bk 作闭合曲线 g gk ，使 g gk 均在 G 内，且互不交叠，由复连通区域的柯西

2、定理知 nkCkdzzfdzzf1)()(g g nnkknbzazf)()()(证明ng g1g g2g gkg gGC将 f(z) 在 bk 的邻域内展开为洛朗级数 nknnkknnknnkknCkkdzbzadzbzadzzf1)(1)()()()(g gg g复连通区域的柯西定理洛朗展开系数公式 1, 01,2)(nnidzazCn 因为 且C 内含有z = a nkknkkCbfiiadzzf11)(1)(res22)( 可知 留数定理设 z = b 是 f(z) 的 m 阶极点，则在 b 点的邻域内留数的求法全为正幂项，求导 (m-1) 后，低于 (m-1) 次的幂项没有了，高于

3、(m-1) 次的幂项在 ，只剩 了。 1101111)()()()()(bzaabzabzabzazfmmmm bzmmmzfbzdzdma )()()!1(1111 110111)()()()()()(mmmmmmbzabzabzabzaazfbz两边同乘以 (z b)m 得0)( bzbz1 a常见情况： ， P(z)、Q(z) 在 b 点及其邻域内解 析， z = b 是 Q(z) 的一阶零点。 Q(b) = 0， Q(b) 0， P(b) 0，则)()()(zQzPzf 若 z = b 是一阶极点，则 )()(lim1zfbzabz )()()()(lim)()()()(lim)()(

4、lim1bQbPzQbzbPzQzPbzzfbzabzbzbz )()(1bQbPa 小结：求留数的方法 根据定义将函数在奇点邻域展开，求展开系数 a1 求积分 对 m 阶极点求导数 对一阶极点，求极限 对一阶极点，有)()(1zQzPa kdzzfiag g )(211 bzmmmzfbzdzdma )()()!1(1111 )()(lim1zfbzabz 例题例题解求 在奇点处的留数。 112 z221)()()(resizzQzPifiziz iz 是它的一阶极点izizz 11112 例题例题解2zeeibziaz)()0(res1baiaf 方法一：直接在 z = 0 作展开求 在奇

5、点处的留数。 onnnnnonnnibziazzbaninibziazzzee222)(!)()(1方法二： 是一阶奇点0 z201lim)0(reszeezafibziazz zeeibziazz 0lim 0 zibziazibeiae)(bai 所以 是 的三阶极点。的倒数 的零点 例题例题解求 在奇点处的留数。 3211 ziz 3211 z 321 ziz 0 iz 2232)1(6)1( zzz )1(24)1(6)1(222232 zzzz 322)3(3248)1(72)1(zzzz 3211 z0 iz izzizdzdif 32322)1(1)(! 21)(res bzmm

6、mzfbzdzdma )()()!1(1111izzizdzd 32221! 21izizdzd 3221! 21izizdzd 4)(3! 21iziz 5)(12! 21iziz 5)(65326i i163 izzizdzdif 32322)1(1)(! 21)(resizzizdzd 32221! 21izzdzd 32211! 21izizdzd 4)(3! 21iziz 5)(12! 21iziz 5)(65)2(6i 5326i i163 为一阶极点， 为二阶极点先分析奇点的类型 例题例题解求 在奇点 处的留数。 211 zzz1 z1 z41) 1)(1() 1(lim) 1

7、(res21zzzzfz41) 1() 1() 1)(1() 1()!12(1) 1(res12122zzzzzzzzzdzdf1 z可将 在 展开，为 在复平面内的唯一孤立奇点，不确定， 为本性奇点。 例题例题解求 在孤立奇点的留数。 21cos3 zz21cos)(3 zzzf2 z 20z2 z21coslim32 zzz21cos3 zz 023)2(1)!2()1(2)2()(kkkzkzzf只关心负一次幂系数 因此，24143)2(res f 023223)2(1)!2()1(2)2(23)2(23)2(kkkzkzzz 21! 2112! 41z 2124143z 显然，A、B、

8、C 正好是 f(z) 在一阶极点 z = 1，z = 2，z = 3 的留数，所以 例题例题解对有理函数 部分分式。 )3)(2)(1(1)( zzzzf321)( zCzBzAzf21)3)(2(1)3)(2)(1(1)1(lim)1(res11 zzzzzzzzfA1)3)(1(1)3)(2)(1(1)2(lim)2(res22 zzzzzzzzfA21)2)(1(1)3)(2)(1(1)3(lim)3(res33 zzzzzzzzfA所以3121211121)( zzzzf为 的一阶极点，为本性奇点， 例题例题解求 在奇点的留数。 zez 1zezfz 1)(1 zefbffkbk1)1

9、(res)(res)(res zezezfzz11)1(lim)1(res1 补充定理： 函数上所有孤立奇点的留数之和为0 证明：设一个球面，其中0点和无穷远点分别在一条半径的两端。则从该奇点看该邻域的正方向与从无穷远点看该邻域的正方向相反。和为0。 所以，所有有限孤立奇点的留数的和与无穷远点的留数和相加均为0。如果从数学上严格证明的话，则需要进行一些计算证明: 现在做一个区域，将所有有限奇点囊括进去。则该区域外为无穷远点的邻域则cdzzfisf)(2)(Re)(Re)(211icnizsfdzzfi2）在 C 内只有 可能是 f(z) 的奇点，作变换 则对于无穷远点，定义 C 为绕无穷远点正

10、向一周的围道，1）在 C 内有奇点 bk ，则 Cdzzfif)(21)(res tz1 补充讨论： kbkbff)(res)(res CCtdttfitdtfif21211121)(res 在 t = 0 点邻域内幂级数展开中 t1 项的系数在 t = 0 点邻域内幂级数展开中 t1 项的系数在 z = 点邻域内幂级数展开中 z1 项的系数 21ttf tf 1 )(zf 此结果与有限远处奇点的留数不同之处为：1）形式上多了一个负号；2） z1 是 f(z) 在点展开的正则部分（绝对收敛的负幂项），即 使点不是奇点，resf() 也可以不为 0；反之，即使点是奇 点，甚至为一阶极点， res

11、f() 也可以为 0。留数的计算在积分计算中常用到！下面重点学习积分计算中留数定理的运用，涉及定积分和常见类型积分的计算。作变换 ，即 ， ， 则R 在 上连续，保证了 R(z) 在 上无奇点。7.2 有理三角函数的积分 计算方法 R 为 和 的有理函数，在 上连续， izz21sin2 cossin 20)cos,(sindRI2 , 0 12212221,211res221,21zzzzizzRzizdzzzizzRI 1 z iez zz21cos2 izdzd 2 , 0 例题例题解计算积分1,cos1120 dI 12202111cos11zizdzzzdI 有一阶极点： 2122

12、z只有 在 内 2122 z1 z 1222zidzzz 1222res2zzz 2112222 zz 212222 1,122 设 ，则 ， 例题例题解计算积分)(,cos45cos0为正整数为正整数mdxxmxI 被积函数为偶函数ixez izdxdz zzx21cos2 dxxmxIcos45cos21令 dxxmxIdxxmxIcos45sin,cos45cos21则 dxxeiIIimxcos4521 1221)1(251zmdzzzziiII252)1 (25)(22zzzzzzzfmmmmmzmzzzzzzzf231221221)2(2lim)1(2521lim21res2122

13、1 1212323121 mmiiiII 在 内，函数 f(z) 只有一个一阶极点1 z)12(,21 zz中的被积函数为奇函数，2I02 ImIdxxmxI23121cos45cos211 1123 mI 可见 z = 0 是被积函数 在 内的唯一奇点，是 2n + 1 阶极点，若求 2n 阶导数则很复杂，故将 f(z) 在 中展开 例题例题解计算积分 202cosxdxInixez dzzidx zzx21cos2 1222)1()( nnzzzf令 112222122202)1(221cosznnnznndzzzidzzizzxdxI 1 z z0由二项式定理知 nkknnnnzknkn

14、zzzzf2024121222)!2( !)!2(1)1()(21) !()!2(!)!2()0(resnnnnnaf 当 k = n 时，为 项1 z22222202) !2()!2(2) !()!2(22) !()!2(22cosnnnnnniixdxInnnn nknknzknkn201224)!2( !)!2( nkknzknkn20122)!2( !)!2( 的奇点 均为一阶极点，只有 在 内 例题例题解计算积分 202cos11dI令 204020202cos312cos312cos31cos11ddddI161)(2 zzzf 12122021641622cos11zzzzdzi

15、dzzizzzdI 223 z223 z1 zzz21cos2 dzzid iez 24162116123res2232232 zzzzzf 2248)23(res24cos11202 fiidI 12122021)24(12112121sin1zzdzzazidzzizzadxxI 例题例题解计算积分0,sin1202 adxxI dzzid 令 020202cos1212cos122sin1dadxxadxxaIzz21cos2 iez 有一阶极点只有 在 内1)24(1)(2 zazzfaaaz 22121 zaaaz 2212 aaazaaafiidxxIaaaz 221222022)

16、24(212212res2sin12 在上半平面补上以圆点为圆心 R 为半径的弧 CR，则 -R, R+CR 形成闭合围道，应用留数定理计算闭合围道积分后令 R0。7.3 无穷积分 将实变函数 f(x) 延拓为 f(z) 补上适当的积分路径，形成闭合围道 dxxfI)(计算方法： R RoRC 例题例题解计算积分 dxxI22)1(1iz 2222111i)(zi)(z)z(f(z)在上半平面只有一个二阶极点iizizdzdizizizdzdifiziziz41)(2lim)(1lim)()(1)(lim)(res32222 )(res2)1()1(1)1(1222222ifizdzdxxdz

17、zRCRRC 0)1(1lim22 zzz因为由引理二（第三章）知0)1(1lim22 RCRz所以2)1(122 dxxIR RoRCiizdzdxxRCRRRR412)1(lim)1(1lim2222 可见，无穷积分的被积函数 f(z) 必须满足：1）在上半平面除有限个孤立奇点外，处处解析，实轴上无奇点；2）在 内，当 时， 一致的趋于 0。 即 ，使当 时， zarg0 z)(zzf0)(, 0 M azarg0, 0 )(zzf 例题例题解计算定积分 0411dxxI4 iez 411)()(zzfxf 在围道内只有一个一阶奇点oiRRRC0 , 0iRCRR 作围道 044044)(

18、)(1111111RCRCiydiyzdzdxxdzzR RCRzdzxdxi40411)1(4411res2 iezzi 212i 011lim4 zzR01lim4 RCRzdz（引理二）所以2121)1(04ixdxi 即42104 xdx在上半平面内有两个一阶极点 和 例题例题解计算积分 dxxxI42114 iez 4211)()(zzzfxf 43442424211res11res211 iiezezzzzzidxxx43 iez 01142 zzzz 434323241412 iiezezzzzzi iiiii2222222241412 434423432424141211 ii

19、eziieziieeeeidxxx 4)(14)(1222222222iiiii 4222iii 2 只要知道 ，那么分别比较实部和虚部即可。7.4 含三角函数的无穷积分当 时， 和 行为复杂，故取被积函数为 pxdxxfIcos)(计算方法： RRCipzRRCipzRRipxCizpdzezfdxpxipxxfdzezfdxexfdzezf)()sin)(cos()()()(ipzezf)(pzpzsincos Rz或 0,sin)( ppxdxxfI RCipzdzezf)(R RoRC 设 ，当 时，Q(z) 一致的趋近于 0，则0)(lim RCipzRdzezQ约当定理 定理其中

20、p 0，CR 是以原点为圆心，以 R 为半径的半圆弧。 z zarg0证明ideRdzCziRi,Re 0)sin(cos)()(ideReeRQdzezQiiipRiCipzR 20sin0sin0sin2)()( deRdeRRdeeRQdzezQpRpRpRiCipzR 时，20 2sin pRpRpRCipzepdeRdeRdzezQR 122)(20220sin 可见0)(lim RCipzRdzezQ由复变积分性质知：2 o1 sin kkbipbkCipzebfidzezfdxpxipxxf)(res2)()sin)(cos( 当 f(x) 为偶函数时， f(x)cospx 为偶

21、函数，f(x)sinpx 为奇函数。 bk 在 C 内约当引理保证了： kkbipbkebfipxdxxf)(rescos)(0 kkbipbkebfpxdxxf)(ressin)(0 当 f(x) 为奇函数时， f(x)cospx 为奇函数，f(x)sinpx 为偶函数。为偶函数 例题例题解计算积分 041cosdxxaxI4 iez 411)(xxf 014 RCiazdzze43 iez 0114 zz411)()(zzfxf在上半平面内有一阶极点 和由约当引理知 4344404,1res,1res1cos iiaziiazezefezefidxxax 4343304441cos iie

22、iazeiazzezeidxxax aiaaiaeieii22222222241241 aaea2222cossin2222 非奇非偶 例题例题解计算积分 dxxxxxI102cos2102)(2 xxxxf01022 RCizdzzzzeiz31 01022 zzzz102)()(2 zzzzfxf在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知)31(22)31(res2102102iiCizixeifidzzzzedxxxxe ieiieizzzeeifiiiiiizii6)31(2)31(2)31()102(lim31res3)31(2)31(31)31( )1sin1cos3(3)1sin3

23、1(cos36)31(21023332 eieieiidzxxxeiix )1sin31(cos3102cos32 edxxxxx 所以)1sin1cos3(3102sin32 edxxxxx 为奇函数 例题例题解计算积分0,sin022 adxaxxxI22)(axxxf 022 RCizdzazzeiaz 022 zazz22)()(azzzfxf 在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知)(2222022)(res2121iaiCizixixeiafidzazzedxaxxedxaxxe 方法一： 22)(limres)(22)(31)(aiaiiaiiziaiezzeazzeeiaf

24、aaixieeidzaxxe 2222aedxaxxx 2sin022 所以0cos22 dxaxxxaedxaxxx 22sin即为奇函数22)(axxxf kkbipbkebfpxdxxf)(ressin)(0 方法二：aaiaieeeiafdxaxx 22)(ressin)(022 22)(limres)(22)(31)(aiaiiaiiziaiezzeazzeeiaf 所以 主值积分 解析函数 f(x) 在有界区域内某点 x0 无界，称 为 f(x) 在 a, b 上的主值积分。7.5 实轴上有奇点的情形 围道作法同上，只是积分围道绕过实轴上的奇点。围道多了一段以实轴上的奇点为圆心，d

25、 d 为半径的半圆弧。 计算方法： R RoRCd dCd d d d定义 bxxabadxxfdxxfdxxfpv 00)()()(. 例题例题解计算主值积分 )1(.2xxxdxpvI RCRCRCzzzdzxxxdxzzzdzxxxdxzzzdz)1()1()1()1()1(22222d dd dd dR RoRCd dCd d d d32)1(1res22 iezzzzi 3221res21 iezzzi i 3由引理二知：大弧上的积分为零。01022 zzzz0)0()1(lim2 iKzzzdzRCR又由引理一知：小弧上的积分值。1)1(02 zzzzz d dd diikzzzd

26、zC )0()1(lim20 d dd diixxxdxxxxdxRR 3)1()1(22因此即3)1(.2 dxxxxdxpvI 例题例题解计算积分 dxxxIsin0 RCizRixCizRixCizdzzedxxedzzedxxedzzed dd dd dR RoRCd dCd d d d围道 C 内 解析，故积分值为零。zeiz由约当引理知：大弧积分为零。 当 时01,arg0 zzz 0lim dzzeRCizR又由引理一知：小弧上的积分值。10 zizzez d dd diikdzzeCiz )0(lim00 RixRixdxxeidxxed dd d 可知即idxxxpvidxx

27、xpv sin.cos.所以 dxxxIsin 例题例题解计算积分)00(,coscos02 badxxbxaxI022222 RCibziazRibxiaxCibziazRibxiaxCibziazdzzeedxxeedzzeedxxeedzzeed dd dd dR RoRCd dCd d d d围道 C 内 解析，故积分值为零。zeeibziaz 21)(zzf 在实轴上有二阶极点 z = 0 ，作如图围道RibxiaxRibxiaxRibxiaxdxxeedxxeedxxeeddd222 RibxiaxibxiaxRibxiaxRibxiaxdxxeeeedxxeedxxeeddd22

28、2 Ribxibxiaxiaxdxxeeeed2Rdxxbxaxd2coscos2又由约当引理知：大弧积分为零。 当 时01,arg0 zzz 0lim2 dzzeRCiazR由引理一知：小弧上的积分值。)(002baizibeiaezeezeezzibziazzibziazibziaz )()0(lim20baikdzzeeCibziaz d dd d0lim2 dzzeRCibzR0)(coscos222222badxxbxaxdzzeedxxeedzzeedxxeeRCibziazRibxiaxCibziazRibxiaxdddd即)(2coscos2abdxxbxaxddzzeeidz

29、zeeziizizzi33333)2(12 例题例题解计算积分 dxxxI33sin31)(zzf 在实轴上有三阶极点 z = 0dzzeedzzziziz333323sin1I 2I dzzeeiizzi23)(由约当引理知：大弧积分为零。 当 时01,arg02 zzz RCizziRRixxiCizzidzzeedxxeedzzee333333333R RRCd dCd d d do对于 I1 作围道 C，如下图03lim33 dzzeeRCizziR故iI 61 )0(2resfi 0333223! 22 zizzizeezdzdi ieeizizzi0339! 22 i 6 R RRC d dCd d d do0333333333 RCziizRRziizCziizdzzeedxzeedzzee故02 I对于 I2 作围道 C，如下图弧积分在下半平面，以保证能满足约当引理中 的ziizee33 0 peipz由约当