高等数学BIT7-9

1、第二次第二次 测测 验验 )2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn 公式公式)1(称为二元函数称为二元函数),(yxf在点在点),(00yx的的n阶泰勒公式阶泰勒公式, ,而而nR的表达式的表达式)2(称为称为拉格朗日型拉格朗日型余项余项. .00000020000100(,)(,)(,)11(,)(,)2!1(,),(01)(1)!nnf xh ykf xyhkf xyxyhkf xyhkf xyxynxyhkf xh yknxy(1) ) 3 (,!122)1(maxsincos!1!1112 1 , 0111nnnnnnMnxxnMkhnMR利用其中其中.22k

2、h 由由)3(式式可可知知, ,误误差差nR是是当当0 时时比比n 高高阶阶的的无无穷穷小小. .说明：说明：)sink,cos(h 22kh)2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn当当0 n时时, ,公公式式)1(成成为为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式称为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式二元函数的拉格朗日中值公式. 在在泰泰勒勒公公式式)1(中中, ,如如果果取取0, 000 yx, ,则则)1(式式成成为为n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式. .),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0

3、, 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10( )5(例例 1 1求函数求函数)1ln(),(yxyxf 的三阶麦的三阶麦克劳林公式克劳林公式. .解解,11),(),(yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p,)0 , 0()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyyxxyx ,)()0 , 0()0 , 0(2)0 , 0()0 , 0

4、(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0()0 , 0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 又又0)0 , 0( f, ,故故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(! 414443 yxyxyxfyyxxR1 1、二元函数的泰勒公式；、二元函数的泰勒公式；四、小结四、小结2 2、二元函数的拉格朗日中值公式；、二元函数的拉格朗日中值公式；n3 3、 阶麦克劳林公式；阶麦克劳林公式；4 4、极值充分条件的证明、极值充分条件的证明.

5、 .第九节第九节 多元函数的极值多元函数的极值及其求法及其求法一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、多元函数最大值和最小值二、多元函数最大值和最小值三、条件极值的拉格朗日乘数法三、条件极值的拉格朗日乘数法 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00

6、yx有极有极小值；小值；1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值. .使使函函数数取取得得极极值值的的点点称称为为极极值值点点. .例例1 1处处有有极极小小值值在在函函数数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz zxyoxyzoxyzoxyzo定定理理 1 1（必必要要条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然然

7、为为零零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件不不妨妨设设),(yxfz 在在点点),(00yx处处有有极极大大值值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都有都有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推推广广 如如果果三三元元函函数数),(zyxfu 在在点

8、点),(000zyxP具具有有偏偏导导数数，则则它它在在),(000zyxP有有极极值值的的必必要要条条件件为为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的

9、某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，注意：注意：又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论证证

10、 依二元函数的依二元函数的一阶一阶泰勒公式，泰勒公式，对对于于任任一一)(),(0100PUkyhx 有有),(),(0000yxfkyhxff ),(2),(2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx ),(002kyhxfkyy ).10( )6()1( 设设02 BAC, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)7( 因因),(yxf的的二二阶阶偏偏导导数数在在)(01PU内内连连续续, ,由由不不等等式式)7(可可知知, ,存存在在点点0P的的邻邻域域)()(0102PUPU , ,使使得得对对任任一一)(),(0200PUkyhx 有有

11、. 02 xyyyxxfff)8(注注: :将将),(yxfxx在在点点),(00kyhx 处处的的 值值记记为为xxf, ,其其他他类类似似. . 由由)8(式式可可知知, ,当当)(),(0200PUkyhx 时时, ,xxf及及yyf都都不不等等于于零零且且两两者者同同号号. .于于是是)6(式式可可写写成成 .21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff 当当kh、不不同同时时为为零零且且)(),(0200PUkyhx 时时, ,上上式式右右端端方方括括号号内内的的值值为为正正, ,所所以以f 异异于于零零且且与与xxf同同号号. . 又又由由),(yxf的的二二阶阶偏偏导导

12、数数的的连连续续性性知知xxf与与A同同号号, ,因因此此f 与与A同同号号, ,当当0 A时时),(00yxf为为极极小小值值, ,当当0 A时时),(00yxf为为极极大大值值. .)2( 设设02 BAC, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)9(先先假假定定, 0),(),(0000 yxfyxfyyxx则则. 0),(00 yxfxy分分别别令令hk 及及hk , ,则则由由)6(式式可可得得 ,),(2),(21010101010102kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 及及 ,),(2),(22020202020202kyh

13、xfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 其其中中.1,021 当当0h时时, ,以以上上两两式式方方括括号号内内的的式式子子分分别别趋趋于于极极限限),(2),(20000yxfyxfxyxy 及及 从而当从而当h充分接近零时充分接近零时, ,两式方括号内的值有两式方括号内的值有相反的符号相反的符号, ,因此因此f 可取不同符号的值可取不同符号的值, ,所以所以),(00yxf不是极值不是极值. .).,(21002yhxfhfxx 当当h充充分分接接近近零零时时, , f 与与),(00yxfxx同同号号. .但但如如果果取取 ,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy 其其中中

14、s是是异异于于零零但但充充分分接接近近于于零零的的数数, ,则则可可发发现现, ,当当s充充分分小小时时, , f 与与),(00yxfxx异异号号. . 如如此此证证明明了了: :在在点点),(00yx的的任任意意邻邻近近, , f 可可取取不不同同符符号号的的值值, ,因因此此),(00yxf不不是是极极值值. .)3(考察函数考察函数42),(yxyxf 及及.),(32yxyxg 求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点)

15、,(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.例例 4 4 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z确定的函数确定的函数),(yxfz 的极值的极值将将方方程程两两边边分分别别对对yx,求求偏偏导导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,

16、函函数数在在P有有极极值值.将将)1, 1( P代入原方程代入原方程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所所以以6)1, 1( fz为为极极大大值值.求最值的一般方法求最值的一般方法： 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值求出 ),(yxf在 D内的所有驻点及不可导点处的函数值： ),(., ),( ),(2211mmyxfyxfyxf求出 ),(yxf D的边界上的最

17、大值和最小值：通过比较，得到在 ),(yxf在 D上的最大值和最小值。(1) 一般问题较复杂较复杂(2) 实际问题根据实际问题的性质，可知函数 ),(yxf的最值(最大值或最小值)一定在D 的内部取到，而函数在D 内又只有一个驻点，那么，可以断定函数在该驻点处的值就是函数 ),(yxf在 D 上的最值(最大值或最小值).较简单较简单例例 5 5 求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x轴轴和和y轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域D上上的的最最大大值值与与最最小小值值.解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD如图如图,解方程组解方程组 0)

18、4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域得区域D内唯一驻点内唯一驻点)1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 在在边边界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比较较后后可可知知4)1 , 2( f为为最最大大值值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.xyo6 yxD例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大

19、值值和和最最小小值值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得得驻驻点点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由即即边边界界上上的的值值为为零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所所以以最最大大值值为为21，最最小小值值为为21 .因因为为01lim22 yxyxyx无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机

20、磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyx

21、fyxF ，其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均为

22、常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出tzyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.求条件极值的方法求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. . 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题. . 方法：从约束条件中求出隐函数，把求得的隐函数方法：从约束条件中求出隐函数，把求得的隐函数 代入目标函数代入目标函数 (2)用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值在多数情况下较

23、难把条件极值转化为无条件极值, , 需要需要用一种求条件极值的专用方法用一种求条件极值的专用方法, , 这就是拉格朗日乘数法这就是拉格朗日乘数法. . v拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 1、 要找函数要找函数z f(x, , y)在附加条件在附加条件 (x, , y) 0下的可能极值点下的可能极值点, , 可以先作辅助函数：可以先作辅助函数： F(x, , y) f(x, , y) (x, , y), , (拉格朗日函数拉格朗日函数) 其中其中 为某一常数为某一常数(拉格朗日乘子拉格朗日乘子). . 4、对于所求得的可能的极值点对于所求得的可能的极值点, ,用极值判别法判定，用极值判别法判定，

24、在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定. . 0),(0),(),(),(0),(),(),(yxyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx. 2、对辅助函数分别关于对辅助函数分别关于 求偏导数，得到方程组：求偏导数，得到方程组： , ,x y3、解方程组，得驻点。解方程组，得驻点。 （方程组的解方程组的解(x, y)就是所要求的可能的极值点就是所要求的可能的极值点,） （未必解出）。函数的最大值、最小值问题函数的最大值、最小值问题1、若最大值或最小值在、若最大值或最小值在D的内部取到，在最值点必为驻点，的内部取到，在最值点必为驻点， 也必为也必

25、为D的内点，所以，首先求的内点，所以，首先求 的驻点。的驻点。 ( , )zf x y 设二元函数设二元函数 在区域在区域D上连续，则一定可取到上连续，则一定可取到最大值最大值M和最小值和最小值m. 极值点在极值点在D的内部或边界上。的内部或边界上。( , )zf x y( , )zf x y2、若最大值或最小值在、若最大值或最小值在D的边界上取到，则应把边界方程作为的边界上取到，则应把边界方程作为 约束条件，用拉格朗日乘子法，求出约束条件，用拉格朗日乘子法，求出 的驻点。的驻点。 ( , )zf x y3、计算所有驻点的函数值，加以比较，找出最大值或最小值、计算所有驻点的函数值，加以比较，找出最大值或最小值例例 7 7 将将正正数数 12 分分成成三三个个正正数数zyx,之之和和 使使得得zyxu23 为为最最大大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故故最最大大值值为为例例 8 8 在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面 1222222 czbyax的的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标体积最