北师大版必修1数学【原创精品课件】：2.3函数的单调性(导学式)(共25张PPT)

1、高中数学必修高中数学必修1精品课件精品课件第二章第二章 函数函数3 函数的单调性函数的单调性学习目标学习目标1理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义3掌握求函数单调区间的方法掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法定义法、图象法)2掌握定义法判断函数单调性的步骤掌握定义法判断函数单调性的步骤引入课题引入课题生活中我们都有这样的常识：在一碗水中加入一定量的糖，糖生活中我们都有这样的常识：在一碗水中加入一定量的糖，糖加得越多水就越甜，在这一现象中又蕴含着什么样的数学知识呢？加得越多水就越甜，在这一现象中又蕴含着什么样的数学知识呢？这就谈到了本节课的

2、课题：函数的单调性这就谈到了本节课的课题：函数的单调性.探究点探究点1增、减函数的概念考察下面的三个函数，思考下面的问题：考察下面的三个函数，思考下面的问题： (1)y=2x+1 问题问题1 1：这三个函数图象上升这三个函数图象上升(或下降或下降)的趋势分别是怎样的？的趋势分别是怎样的？探究点探究点1增、减函数的概念问题问题2 2：如果一个函数的图象从左至右逐渐如果一个函数的图象从左至右逐渐上升上升，那么当自变量，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？的变化情况如何？y值逐渐值逐渐增大增大.提示：提示：问题问题3 3：如果一个函数的图象从左至右逐渐

3、如果一个函数的图象从左至右逐渐下降下降，那么当自变量，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？的变化情况如何？y值逐渐值逐渐减小减小.提示：提示：探究点探究点1增、减函数的概念增函数和减函数的定义：增函数和减函数的定义：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1，x2当当x1x2时时,都有都有f(x1) f(x2) ，那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间D上上是是增函数增函数. 区间区间D为为f(x)的单调的单调增区间增区间.当当

4、x1f(x2) ，那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间D上上是是减函数减函数.区间区间D为为f(x)的单调的单调减区间减区间.探究点探究点1增、减函数的概念增函数和减函数的定义：增函数和减函数的定义：xOyx1x2f(x1)f(x2)函数函数f(x)在区间在区间D上是上是图象是图象是上升上升的的函数函数f(x)在区间在区间D上是图上是图象是象是下降下降的的Oxyx1x2f(x1)f(x2)(1)定义：如果函数定义：如果函数yf(x)在区间在区间D上是上是_或或_，那么就，那么就说函数说函数yf(x)在区间在区间D上具有上具有(严格的严格的)单调性，区间单调性，区间D叫做函数叫做函数yf

5、(x)的的_探究点探究点2单调性增函数增函数减函数减函数单调区间单调区间(2)图象特征：函数图象特征：函数yf(x)在区间在区间D上具有单调性，则函数上具有单调性，则函数yf(x)在区在区间间D上的图象是上升的或下降的上的图象是上升的或下降的单调性与单调区间：单调性与单调区间：探究点探究点3函数单调性概念的辨析1.局部性：局部性：函数单调性是针对某个区间而言的，是一个函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部局部性质性质. .问题问题4：反比例函数在，上均为减函数，能说其在定义域内为减反比例函数在，上均为减函数，能说其在定义域内为减函数吗？函数吗？ 提示：提示：不能！因为函数单调性是一个不能！

6、因为函数单调性是一个局部局部性质性质. .例如取例如取x1=2，x2=1，此时，此时x1x2，但是，但是f(x1)f(1)，那么，那么f(x)一定是一定是R上上的增函数吗？的增函数吗？提示：提示：不一定，仅由不一定，仅由f(2)f(1)并不能推出并不能推出对于任意对于任意x1，x2，x1x2时，时，f(x1)f(x2).yxO12f(1)f(2)结论：结论：特殊代替不了一般特殊代替不了一般. .3.增减性的几个等价说法：增减性的几个等价说法：(1) 函数函数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数x1x2时，时，f(x1)f(x2) x1x2时，时，(x1x2)f(x1)f(x2)00. 设

7、任意设任意x1，x2D，探究点探究点3函数单调性概念的辨析(2)函数函数f(x)在区间在区间D上是减函数，上是减函数，x1f(x2)x1x2时，时， (x1x2)f(x1)f(x2)00. 探究点探究点4基本初等函数的单调性基本初等函数的单调性k0k0k0k0a0a0RR(，0)和和(0，)(，0)和和(0，)(， ，) (， ，) 典例精讲：典例精讲：题型一：利用图象求函数的单调区间题型一：利用图象求函数的单调区间 【例例1 1】下图是定义在下图是定义在5，5上的函数上的函数yf(x)的图象，根据图象说的图象，根据图象说出出y f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，的单调区间，以及在每一

8、单调区间上，yf(x)是增函数还是增函数还是减函数是减函数.xy5 4 3 2 11234521123Oyf(x)的单调区间有的单调区间有5，2),2，1),1，3),3，5.其中其中yf(x)在在5，2),1，3)上是减函数，在上是减函数，在2，1),3，5)上是增函数上是增函数.【解析】题后反思题后反思1.若函数单调增若函数单调增(减减)区间由多个部分组成，一般不能简单的将这些区间区间由多个部分组成，一般不能简单的将这些区间并起来，例如本例中增减区间均并起来，例如本例中增减区间均不能用并集不能用并集表示表示.2.关于关于端点处理端点处理：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常：对于单

9、独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点不包括这些点.【注意要点】典例精讲：典例精讲：题型二：用定义证明函数的单调性题型二：用定义证明函数的单调性 【例2】证明函数证明函数f(x)在在(0，1)上是减函数上是减函数 思路探索思路探索 用定义法证明用定义法证明f(x)是减函数，就是要证明对于任意的是减函数，就是要证明对于任意的x1，x2(0,1)，当

10、，当x1f(x2) 典例精讲：典例精讲：题型二：用定义证明函数的单调性题型二：用定义证明函数的单调性 证明证明 任取任取x1，x2(0,1)，且，且x1x2， f(x)x在在(0,1)上是减函数上是减函数 取值取值 作差作差 变形变形 定号定号 结论结论 0 x1x21，x1x20，x1x210.f(x1)f(x2)0，即，即f(x1)f(x2)则则f(x1)f(x2)(x1)(x2) (x1x2)()(x1x2) . 题后反思题后反思规律总结：规律总结：用定义法证明函数的单调性是一个重要题型，证明步骤：用定义法证明函数的单调性是一个重要题型，证明步骤：取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断

11、设设x1, x2是该区间内的任意两个值，且是该区间内的任意两个值，且x10) ； 变式训练变式训练(2)证明：证明：任取任取x1，x2(0,+)，且，且x1x2，则则f(x1)f(x2) f(x1)f(x2)0，即，即f(x1)f(x2)f(x)在在(0, +)上是增函数上是增函数 x1x20，0. 0 x13)的单调增区间为的单调增区间为 ，减区间，减区间为为 .(2)f(x)=3的增区间为的增区间为 . 思路探索思路探索结合基本初等函数的单调性求解，但需注意定义域结合基本初等函数的单调性求解，但需注意定义域典例精讲：典例精讲：题型三：求函数的单调区间题型三：求函数的单调区间 (1)函数函数

12、yx22x5图象开口方向向上，对称轴为图象开口方向向上，对称轴为x=1，又因，又因为定义域为为定义域为(3,+)， f(x)=3在在(，1)和和(1，)上分别单调递增，上分别单调递增， 解析解析增区间为增区间为1,+)，减区间为，减区间为(3,1). (2)函数定义域为函数定义域为(，1)(1，)，函数函数y在在(，1)和和(1，)上分别单调递减，上分别单调递减， 所以增区间为：所以增区间为：(，1)和和(1，).课堂练习课堂练习1已知函数已知函数yf(x)的图象，如图所示的图象，如图所示答案：答案：单调递增区间是单调递增区间是2,1，4,6，单调递减区间是，单调递减区间是1,4 试写出函数试

13、写出函数yf(x)的单调区间的单调区间课堂练习课堂练习2下列函数中，在区间下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是上是增函数的是() Ay|x|By3x Cy Dyx24 D在在(，0)上为增函数，在上为增函数，在(0，)上为减函数上为减函数解析解析：答案答案：AB在在R上为减函数上为减函数.C在在(，0)上和上和(0，)上为减函数上为减函数课堂练习课堂练习3证明函数证明函数f(x)x在在(2，)上是增函数上是增函数 任取任取x1，x2(2，)，且，且x1x2，则则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2) (x1x2) . f(x1)f(x2)0，即，即f(x1)f(x2)解析解析2x1x2，x1x24，x1x240.函数函数f(x)x在在(2，)