一元二次方程压轴题含答案

1、一元二次方程1 .(北京模拟)已知关于 x的一元二次方程x2+px+ q+1=0有一个实数根为2.(1)用含p的代数式表示q；(2)求证：抛物线yi = x2+px+q与x轴有两个交点；(3)设抛物线yi = x2+px+ q的顶点为M与y轴的交点为E,抛物线y2=x2+px+ q+1的顶点为N,与y轴的交点为F,若四边形FEMN勺面积等于2,求p的值. 222 .设关于x的方程x-5x-m+1 = 0的两个实数根分别为 a、B,试确定实数 m的取值范围，使| a |十| B| 0 6成立.23 .(湖南怀化)已知 x1，x2是一兀二次方程(a-6)x+2ax+ a=0的两个头数根.(1)是否

2、存在实数a,使-北十乂水2=4十乂2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(与十1)( x2+1)为负整数的实数a的整数值.4 .(江苏模拟)已知关于 x的方程x2-(a+ b+1)x+a=0 (t 0)有两个实数根 x1、x2,且 x& x2.(1)求证：x1 1）的两个实数根xi、X2满足XiVX2,求证:1V XiV 0vx2V 1 .（答案）1 .（北京模拟）已知关于 x的一元二次方程x2+ px+ q+1=0有一个实数根为2.（1）用含p的代数式表示q;（2）求证：抛物线y1 = x2+px+q与x轴有两个交点;（3）设抛物线y1 = x2+px+ q的顶点为M

3、与y轴的交点为E,抛物线y2=x2+px+ q+ 1的顶点为N,与y轴的交点为F,若四边形FEMN勺面积等于2,求p的值.解：（1） 关于x的一元二次方程x2+px+q+ 1=0有一个实数根为22.2+2p+q+1 =0,整理得：q=2p52 2)=p 4q = p 4( 2p5) = p+ 8p+ 20= ( p+4)2无论p取任何实数，都有（p+4） 0,2无论p取任何实数，都有（p+4）+40,0抛物线y1 = x2+px+ q与x轴有两个交点2(3) 抛物线yi= x=px+q与抛物线y2=x2+px+ q+1的对称轴相同，都为直线 x=-p,且开口大小相同，抛物线 y2 = xpx+

4、q+1可由抛物线 yi = x2+px+q沿y 轴方向向上平移一个单位得到.EF/ MN EF= MN= 1四边形FEM准平行四边形pp, 一由题息得S四边形 FEM肝 EF | 21 =2,即| 2l =2，p= +4222.(安徽某校自主招生)设关于 x的方程x -5x-m+1 = 0的两个实数根分别为 口、B ,试确定实数 m的取值范围，使| a |十| B | 06成立.解：丁 =52-4( -R2+ 1) =4n2i + 21 22，不论m取何值，方程x-5x-m+1 = 0都有两个不相等的头根,.x2-5x-ni+ 1 = 0, ，oc+B=5, aB=1 mV| a | +| B

5、 | 0 6, . B 2+2| a p | 36,即(a + B)22 a B +2| a B | 0 36 22.25-2(1-m)+2|1 -m| 0,即10 me 1 时，25036 成立-1 me 1当 1 m 0,即 m 1 时，得 25 4( 1 -ni) 0a20假设存在实数 a使-乂1+乂入2=4十乂2成立，贝(J 4+(Xi+X2)- xiX2 = 0.,-2a a - /口 4+= 0,倚 a= 24a-6 a-6- a 24 满足，a0 JeL a 才 6.二存在实数a = 24,使-乂1十乂仅2 = 4十乂2成立(2). (xi+1)( X2+ 1) = (Xi +

6、X2)+X1X2+I-2a a ,=+1 =a-6 a-6要使(X1 + 1)( X2+1)为负整数，则只需 a为7, 8, 9, 124.(江苏模拟)已知关于x的方程x2-(a+ b+1)x+a=0 (t 0)有两个实数根X1、X2,且 X1 X2.(1)求证：X1 0, 二 X1 + X2-X1X2-1 0 1 X1 X2 + X1X20 0( 1-X1)( 1 - X2) 0, 1 -X2 0即 X1 1. , .X1 1 X25.9(2) . X+X2 = a+b+1, a+b= 4, . - X1+X2=4当点P (X1, X2)在BC边上运动时则50X10 1, X2=11=4-

7、X2=4-仁二1故在BC边上不存在满足条件的点 P当点P (X1, X2)在AC边上运动时则 X1=1, 1X22=5-9 _.5取 X2=：,则 X1 + X2 = -,即 a+b = T4445故在AC边上存在满足条件的点 P (1, 4)当点P (X1, X2)在AB边上运动时1则2 & X1 0 1, 1 0 X20 2,勿知 X2 = 2x1Xl+X2=:，- Xi = , X2 =442又.1V3V1, 130,解得 b勿 b=2+2中不合题意,舍去，b=-2-2 也6 .（成都某校自主招生）已知 a, b, c为实数，且满足a+ b+c = 0, abc= 8,求c的取值范围.,

8、.一 一8解：a+b+c = 0, abc = 8,，a, b, c都不为零，且 a+b=c, ab= 一c28.a, b是万程x+cx+c = 的两个头数根=c2 4x 80 c.28 一、当c0 时，得 c3 32,c 2V4故c的取值范围是cv0或c）23/N x+y = 3a-1,、 ，一，一7 .（四川某校自王招生）已知实数 x、y满足x2 2_4a2 2a 2，求xy的取值范围.解：丁(x y)20,X2+ y22xy 2(x2+y2) (x+y)222，2(4a2a+ 2) (3a- 1)一 2乙一，一IP a -2a-3 0,解得10a&3 xy=2( x+y)2(x2+y2)= 1( 3a-1)2-(4a2-2a+2)12=2(5a -4a- 1)az/k5一2-9io-2XI?2一 5*7时2一5-a讪；当a = 3时有最大值169