数列综合应用(放缩法)

1、精品文档数列综合应用（ 1）用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和二、典例讲解1先求和后放缩例 1正数数列a 的前 n项的和 Sn ，满足n2 Sn an ，试求：1（1）数列a 的通项公式；n（2）设1b ，数列 bn 的前 n 项的和n a an n 1为B ，求证：nBn122. 先放缩再求和放缩后成等差数列，再求和例 2已知各项均为正数的数列 a 的前 n 项和为 S

2、n ,n且2 2a a S .n n n(1) 求证：2 2a aS ；n n 1n4S S(2) 求证： 1n nS S S1 2 n2 21放缩后成等比数列，再求和例 3（1）设 a，nN*，a2，证明：2 n n ；n a a a a ( ) ( 1)（2）等比数列 an 中，1a ，前 n 项的和为 An，12且 A7，A9，A8 成等差数列设2anbn a1n，数列 bn前 n 项的和为 Bn，证明： Bn13。1欢迎下载精品文档放缩后为差比数列，再求和例 4已知数列 a 满足： a 1，n1ann1 (1 )a (nnn21, 2,3 )求证：anna 31 2nn11放缩后为裂项

3、相消，再求和例 5在 m（m2）个不同数的排列 P1 P2Pn中，若 1i j m时 Pi Pj （即前面某数大于后面某数） ，则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序 . 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数 . 记排列 (n 1)n(n 1) 321的逆序数为 an，如排列 21 的逆序数 a1 1，排列 321 的逆序数 a 6 3（1）求 a4、a5，并写出 an的表达式；（2）令bnanan1anan1，证明：2nb1 b b 2n 32n ，n=1,2, .高考真题再现：1. （06 浙江卷） 已知函数3 2f ( x) x x ，数列 xn (x 0) 的第一项 x1 1，以后各

4、项按如下方式取定：n曲线 y f ( x) 在 ( , ( )xn f x 处的切线与经过1 n 1（0，0）和（x ， f (xn) ）两点的直线平行（如图）n求证：当*n N 时，( )2 2x x 3x 2x ；n n n 1 n 1（）1( )2n x 。1 ) n 21(n2。2欢迎下载精品文档2. （06 福建卷） 已知数列a 满足n*a1 1,an 1 2an 1(n N ).（I ）求数列a 的通项公式；nn 1 a a a n（II ）证明： 1 2 *n. (n N ). 2 3 a a a 22 3 n 13. （07 浙江） 已知数列a 中的相邻两项 a2k 1，a2k

5、n2 k k x k k 是关于 x的方程 (3 2 ) 3 2 0x 的两个根，且a2k 1 a2k (k 1，2，3，L ) （I ）求a ， a2 ， a3 ， a7 ；1（II ）求数列a 的前 2n项和 S2n ；n（ ）记sin n1f (n) 3 2 sin n，Tn f (2) f (3) f (4) f (n 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ，a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 2n 1 2n求证： 1 5 ( )* T n N n6 244. （07 湖北） 已知 m，n 为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当 x 1时，m(1 x) 1 mx

6、；m（II ）对于 n6，已知 1 1 1n 3 2，求证1mnm m13 2， m 1，2，L ，n；n n L n n n m （III ）求出满足等式 3 4 ( 2) ( 3)的所有正整数 n 。3欢迎下载精品文档5. （08 辽宁） 在数列 a , b 中, a1 2, b1 4,n n且a ,b , a 成等差数列 , bn,an 1,bn 1 成等比数列 .n n n 1求a2 ,a3,a4 及 b2,b3,b4 , 由此猜测 an , bn 的通项公式, 并证明你的结论 ;证明 :1 1 1 5 .La b a b a b 121 1 2 2 n n。4欢迎下载精品文档数列综合

7、应用（ 1）用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和二、典例讲解1先求和后放缩例 1正数数列a 的前 n项的和 Sn ，满足n2 Sn an ，试求：1（1）数列a 的通项公式；n（2）设1b ，数列 bn 的前 n 项的和n a an n 1为B ，求证：nBn12。5欢迎下载精品文档2. 先放缩再求和放缩后成等差数列，再求和例 2已知各项均为正数的数列 a 的前 n 项和为

8、 Sn ,n且2 2a a S .n n n(1) 求证：2 2a aS 1 ；n nn4S S(2) 求证： 1n nS S S1 2 n2 21放缩后成等比数列，再求和例 3（1）设 a，nN*，a2，证明：2n a a a ；n na ( ) ( 1)（2）等比数列 an 中，1a ，前 n 项的和为 An，12且 A7，A9，A8 成等差数列设2anbn a1n，数列 bn前 n 项的和为 Bn，证明： Bn13。6欢迎下载精品文档放缩后为差比数列，再求和例 4已知数列 a 满足： a 1，n1ann1 (1 )a (nnn21, 2,3 )求证：anna 31 2nn11放缩后为裂项

9、相消，再求和例 5在 m（m2）个不同数的排列 P1 P2Pn中，若 1i j m时 Pi Pj （即前面某数大于后面某数） ，则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序 . 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数 . 记排列 (n 1)n(n 1) 321的逆序数为 an，如排列 21 的逆序数 a1 1，排列 321 的逆序数 a 6 3（1）求 a4、a5，并写出 an的表达式；（2）令bnanan1anan1，证明：2nb1 b bn 2n 3，n=1,2, .2。7欢迎下载精品文档高考真题再现：1. （06 浙江卷） 已知函数3 2f ( x) x x ，数列 xn (x 0) 的第一项

10、 x1 1，以后各项按如下方式取定：n曲线 y f ( x) 在 ( , ( )xn f x 处的切线与经过1 n 1（0，0）和（x ， f (xn) ）两点的直线平行（如图）n求证：当 n N* 时，( )2 2x x 3x 2x ；n n n 1 n 1（）1( )2n x n 。1 ) 21(n2。8欢迎下载精品文档2. （06 福建卷） 已知数列a 满足n*a1 1,an 1 2an 1(n N ).（I ）求数列a 的通项公式；nn 1 a a a n（II ）证明： 1 2 *n. (n N ). 2 3 a a a 22 3 n 13. （07 浙江） 已知数列a 中的相邻两项

11、 a2k 1，a2kn2 k k x k k 是关于 x的方程 (3 2 ) 3 2 0x 的两个根，且a2k 1 a2k (k 1，2，3，L ) （I ）求a ， a2 ， a3 ， a7 ；1（II ）求数列a 的前 2n项和 S2n ；n（ ）记sin n1f (n) 3 2 sin n，Tn f (2) f (3) f (4) f (n 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ，a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 2n 1 2n求证： 1 5 ( )* T n N n6 24。9欢迎下载精品文档4. （07 湖北） 已知 m，n 为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当 x 1时，m(1 x) 1 mx；（II ）对于 n6，已知1nm1 13 2，求证1mnm m13 2， m 1，2，L ，n；n n L n n n m （III ）求出满足等式 3 4 ( 2) ( 3)的所有正整数 n 。1 0欢迎下载精品文档5.