保险精算学4-2

1、第四节 n年定期两全保险n定义n被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。n假定： 岁的人，保额1元，n年定期两全保险n基本函数关系)(x , , , , 1 , 0tttntttntvtnvvtnzbvvtnvtnbt1、死亡后年末给付n符号：n厘定: x nA1z2z3z312zzz11312:( )( )( )xxnxnnE zE zE zAAA记：n年定期寿险现值随机变量为 n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为 已知则现值随机

2、变量方差31212121212()( )()2( ,)( )()2( ()( )()Var zVar zVar zCov z zVar zVar zE zzE zE z120zz11312:()()()2xx nnVar zVar zVar zAA因为所以2、死亡后立即给付n符号：n厘定: x nA1z2z3z312zzz11312:()( )()xx nx nnE zE zE zAAA记：n年定期寿险现值随机变量为 n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为 已知则现值随机变量方差因为所以31212121212()( )()2( ,)( )()2( ()( )()Var zV

3、ar zVar zCov z zVar zVar zE zzE zE z120zz11312:()()()2xx nnVar zVar zVar zAA例n证明并解释1:x nx mxm nmmxAAEA1:mxx nx mxm nmAAEA111:1:1:1(1)(1)xxxxxxnnxnni AqpAqAA例n设n计算0( )1 , 01001000.1xSxxi 30:101 (2)( )tAVar z（）解：1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.

4、33700.422(2)( )0.0185( )( )( )0.0431tttttAVar zAvpAAAVar zvpAVar zVar zVar zAA已计算：=700i，例例：某人在60岁签单的特殊的3年期两全保险，在第一保单年度死亡保险金为100元，后两年死亡保险金为200元，生存保险金为200元。死亡保险金在死亡后立即给付。已知个体来自死亡力遵从de Moivre法则的群体，参数 ，计算保险人给付额现值的方差。19( )100200190.1010E Z 解：设Z表示保险人给付额的现值，T60服从0.60上的均匀分布22219()10020037000.1010E Z22var( )

5、()( ( )900ZE ZE Z100,0100,0.05.xlxxi且则求例：设40:25 .A3、不同给付时刻精算现值之间的关系、不同给付时刻精算现值之间的关系结论：设在每一年龄年UDD假设成立，则1:x nx nx niAAA第五节 终身寿险n定义n保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。n假定： 岁的人，保额1元终身寿险n基本函数关系)(x , 0 , 01 , 0 tttttttvvtzbvvtbt趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定：xA10( )kxtxkkAE zq v现值随机变量的方差 n方差公式n记n所以方差等价为 2222(1)100(

6、)()( )kktttxxkkkkVar zE zE zq vq v22(1)0kxxkkAq v22( )()txxVar zAA趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定：xA0( )( )xttTAE zz ft dt00tttxx ttxx tvpdtepdt现值随机变量的方差 n方差公式n记n所以方差等价为 22220( )()( )( )( )ttttTtVar zE zE zeft dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVar例n设(x)投保终身寿险，保险金额为1元n保险金在死亡即刻赔付n签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为n计算1 , 060(t)600 , T

7、tf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9.xtAVar zz（）的解：0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee（ ）0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvft dtvve趸缴纯保费递推公式n公式一：1xxxxAvpvqA1xA理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的

8、赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费 。 11:xxx mx mmAAAA例：n给定计算76760.8000.9,0.03Avpi，77.A解：76767677AvqvpA770.810.A趸缴纯保费递推公式n公式二：)1 ()1 (11xxxxxxAdAlAilxl1xA11xA解释：解释： 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费 ，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的 。 不同给付时刻精算现值之间的关系不同给付时刻精算现值之间的关系结论：设在每一年龄年UDD假设成立，则.xxiAA例：例：设在每一年龄年UDD假设成立，353

9、60.05,0.01,0.185.iqA35A解：3636ln1.050.1850.1805.0.05AAi353535360.1797AvqvpA计算11:2020,xxAA例：已知计算20:200.25,0.40,0.3xxxAAA1111:20:2020:20200.400.25xxxxxxAAAAAA解：11:20:20200.3xxxAAA11:2020131,.6012xxAA=1000 1-105xxl（）,例(1)张某在50岁时投保了一份保额 100000元的30年定期寿险。假设预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。 (2)假设张某买的是终身寿险，求该保单的趸缴净保费。29

10、(1)150:3005511 10000010000020468.7()55551.08ttttA解：（ ）元55(1)5050 15002 100000100000=22421.911.08tttpqA（ ）（元）(3)假设50岁的张某购买的是一份30年的两全保险，死亡年年末给付，求其趸缴净保费113050:3050:3050:(3)10000010000010000024985.85()AAA元第六节 延期支付的生命保险n延期支付的终身寿险定义n保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。n假定： 岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险n基本函数关系)(x ,

11、0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzb vtmbtmtm1、死亡年末给付n符号：n厘定：xmA1kxxmkk mAq v.mxx mE A11:.xmxx mxmx mx mAAE AAA2、死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定：xmA( )( )tmxtxmAE zv f t dt.x mmxE A001:( )( )mttxxxx mv f t dtv f t dtAA现值随机变量的方差 n方差公式n记n所以方差等价于2222()()()( )()ttttTtmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxm

12、mVar zAA例n假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。n保险金在死亡即刻赔付。n已知n求：0.040.06( ),0 xS xex，t10(1) (2)Var(z )xA解：0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16( )()0.0288tTtttxmtttxmtxxmmS xtfteS xAeedtedteAeedtVar zAA 延期m年n年定期寿险n定义定义n被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期寿险11:m

13、nkxmkx nk mAq v1:.mxx m nE A1:mx nA1:.mxx m nE A延期m年n年定期两全保险n定义n被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险n假定： 岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险n基本函数关系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttm nttttm ntvtmntmvvtmnzbvvtmntmvtmnbtm 1、死亡年末给付n符号：n厘定:mx nA11:xmmmx nx nnmxxm nAAAEA2、死亡即刻支付n符号：n厘定:mx nA11:mx nmx nmx nmxxm nAAAEA变额人寿

14、保险递增终身寿险n定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数n特别：n一年递增一次n一年递增m次n一年递增无穷次（连续递增）一年递增一次n（x）在第一年内死亡则获得1元保险金，在第二年死亡获2元保险金，一次递增。又分为死亡年度末给付和死亡后立即给付两种情况。10()(1)ktxtxx tkkIAkvpdt10()(1)kxxkkIAkvq趸缴保费厘定趸缴保费厘定0 xkkA(xiIA）一年递增无穷次（连续递增）n现值随机变量n趸缴保费厘定ttztv0()()txttxx tI AE ztvpdt递减定期寿险n定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊

15、情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数n特别：n一年递增一次n一年递增m次n一年递增无穷次（连续递增）一年递减一次n现值随机变量n趸缴保费厘定 ,0,ttntvtnztn111:0()()knttxx tx nkkDAnkvpdt111:0()()nkxkx nkDAnk vq1:1nx kkA1:(x niDA）一年递减m次n现值随机变量n趸缴保费厘定,0,tttmnvtnzmtn()1:0111()( )1nmtttxx tx nmk smnmttxx tksmk smmtDAE znvpdtmsnvpdtm 一年递减无穷次（连续递减）n现值随机变量n趸缴保费厘定(),0,ttnt v

16、tnztn1:0()()()ntttxxtx nDAE znt vpdt死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳11:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:xxmmmx nx nnmxm nAAAAA111:mx nx mnx mAAA111:10()kxkxx kjxjkjIAkvpqA1111:10()(1)nnkkxxkx nx njkjDAnkvpqA10kxkxx kkAvpq例n（x）岁的人投保5年期的定期寿险，保险金额为1万元，保险金死亡年末给付，按CL2生命表计算（1）20岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（2）60岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（3

17、）20岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。（4）60岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。解：4411120:5 2.5%002345120:5 6%160:5 2.5%160:5 6%(1)100001000099.0569102.0149105.2582108.8135112.7102100009617850.912 1000048.363 10000739.664 10000703kkxkkxxkkkxdAvp qvlvvvvvAAA同理可得（ ）（ ）（ ）.37例n（x）岁的人投保5年期的两全保险，保险金额为1万元，保险金死亡即刻给付，按CL2生命表计算n（1）20岁的人按实质

18、利率为2.5%计算的趸缴纯保费。n（2）60岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。n（3）20岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。n（4）60岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。解：9404.591000048881.3410000399.431910000258.8841)(10000100008790.049617815.956501000054.5110000005154. 0)1ln(005091. 0) 1 (%65 :60%5 . 25 :60%65 :201%5 . 25201%5 . 25 :20%5 . 2520520551%5 . 25201%5 . 25 :

19、201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :20AAAAAAvpvAAAiiAiAA）（）（）（再求已知：例n对（50）岁的男性第一年死亡即刻给付5000元，第二年死亡即刻给付4000元，以此按年递减5年期人寿保险，根据附录2生命表，以及死亡均匀分布假定，按年实质利率6%计算趸缴纯保费。解：307.88(100008837. 0)5(0297087. 1(06. 1ln06. 0(106. 05504050501106. 0550106. 0550106. 0550：）ADldvkDADAiADkkk第七节换算函数常用计算基数n计算基数引进的

20、目的：简化计算n常用基数：10000 N (1)xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkCvdDv lMCDRMkC用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费1:xx nx nxMMADxxxDMA 1:x nxnxDAD:xx nx nx nxMMDAD1:x mx m nmx nxMMAD:x mx m nx m nmx nxMMDAD1:()xx nx nx nxRRnMIAD111:()()xxx nx nxnMRRDAD 例n考虑第1年死亡即刻赔付10000，第2年死亡即刻赔付9000元并以此类推递减人寿保险。按附录2生命表及i=0.06计算（30）的人趸缴纯保费。n（1）保障期至第10年底n（2）保障期至第5年底解：49.80)(1006.1ln06.01000)(