海伦公式（课堂PPT）

1、1选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修五第一章“阅读与思考”高一年级组 宋树燕2新课导入新课导入运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？3问题提出问题提出 4海伦海伦 海伦，海伦，古希腊数学古希腊数学家、力学家、机械学家。生平不详。家、力学家、机械学家。生平不详。约公元约公元6262年活跃于年活跃于亚历山大亚历山大，在那里教过数学、物理学等，在那里教过数学、物理学等课程。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使用某课程。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。 海伦有

2、许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传。主要著作是。主要著作是量度论量度论一书。该书共一书。该书共3 3卷，分别论述平卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷。其中卷第第8 8题给出著名的已知三边长求三角形面积的题给出著名的已知三边长求三角形面积的海伦公式海伦公式。567 问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？田几何？ 转

3、化为数学语言为下列图形：转化为数学语言为下列图形：新课导入新课导入8问题提出问题提出 9公式推导公式推导“三斜求积三斜求积” 公式公式把把 代入，得：代入，得：一：余弦定理证明法一：余弦定理证明法10公式转化公式转化11 12 过程梳理过程梳理余弦定理余弦定理“三斜求积三斜求积”公式公式海伦公式海伦公式等价等价13 公式转化公式转化等价等价14课堂练习课堂练习 15除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？ 自主探究自主探究勾勾股股定定理理法法向向量量法法内内切切圆圆法法16二：勾股定理证明法二：勾股定理证明法如图,AB=c,BC=a,CA=b,C

4、DAB于D, CD=h, 又记 BD=t,则 AD= c-tcbatDCBAc-th首先求出t(用a,b,c,h表示再用a,b,c表示h进而求出面积S 17RtBCD中应用勾股定理,t2+h2=a2,RtACD中应用勾股定理,(c-t)2+h2=b2,h2=a2-t2=b2-(c-t)2首先求出t(用a,b,c,h表示ccbat2222cbatDCBAc-th 由a2-t2=b2-(c-t)2移项得 a2-b2=t2-(c-t)2=c(2t-c)进而有18再用a,b,c表示出h22222222222222222222222222224)()()(4)()(4)(2)(24)(42ccabcab

5、cbacbaccabbcaccbaaccbaacccbacaccbaatah24)()()(ccabcabcbacbah()()()()2abc abc bac bacc cbatDCBAc-th19cbatDCBAc-th求出面积S 12()()()()122()()()()4() () () ()2222() ()()() 2222()()()Schab c a b c b a c b acccab c a b c b a c b acab ca b cab cab cab cab cab cab cbccp p a p b p c 20三、向量证明法三、向量证明法证明: 在三角形 中,

6、设 , , , , , ,因为： 的面积为: 所以:ABCBCa CAb ABc aa bb cc ABC1sin2SabC222222211| | sin| | (1 cos)44SabCabC2222211| | | cos44ababC2221(| |() )4aba b (1)21因为: , 所以: , 所以: ,所以: (2)将(2)式代入(1)式, 并化简得: 0cbacba22()abc )(21222bacba222222222222222222211() 4412()2()161()() 161()()()()1612(22 ) (22 ) (22 ).16Sa bcabab

7、cababcababccababc abc cab cabppcpbpa2()()()Sp papbpc()()()Sp papbpc23四：内切圆证明法+=180tantan+tantan+tantan=1222222ABCABACBC 由由内内切切圆圆易易知知S=pr,S=pr,又又2tan;tan;tan2221().(1)ArBrCryzxrrrrrryzyxzxrxyzxyz图图中中有有代代入入前前式式得得24()()()22;.(2)22abcxzxyzyxabcxbcaacbyz又又如如图图同同理理： 22228282216()()()abcacbbcaabcrabcacbbca

8、abcabcrabcacbbcaabcabcrp papbpc 将将（2 2）代代入入（1 1）得得即即S=S=25运用1：如图，已知A、B是线段MN上的两点， ， ， 以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设 （1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面积？CABNM（第24题）4MN1MA1MBxAB 26解：设ABC的面积为S,由本题 AB=c=x,AC=b=1,BC=a=3-x, p= =2S= = =2(x-1)(2-x)=当x= = 时 = 最大，即S= 最大。12abcp papbpc2 232 12xx 2S2264xx622 322S122227运用2：AB=2,AC= BC,求三角形ABC面积的最大值?222max2 ,()()()128-12)42 32 2ap papbpcaSaS 解解 设设BC=a,BC=a,则则AC=AC=由由海海伦伦公公式式S=S=（易易得得故故当当时时，28运用运用3 3：求内切圆半径为：求内切圆半径为1 1的三角形面积的最小值的三角形