正弦定理与余弦定理的应用(精)

1、1.1.2 正、余弦定理在实际生活中的应用Sine law, law of cosines in practical life utilization 课前回顾课前回顾（1）三角形常用公式：）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：）正弦定理应用范围： 已知已知两角和任意边两角和任意边，求其他两边和一角，求其他两边和一角 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角。的对角。(注意解的情况注意解的情况)正弦定理：正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R（3）、余弦定理）、余弦定理：三角形任何一边的平

2、方等于其三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222cbcaBa2cos222 abcbaC2cos222（4）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：（1）已知三边求三个角；）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。教学目标1，通过实例，使学生认识到运用正弦定理、余弦，通过实例，使学生认

3、识到运用正弦定理、余弦定理可以解决一些测量和几何计算有关的实际问定理可以解决一些测量和几何计算有关的实际问题，提高学生应用数学知识的能力。题，提高学生应用数学知识的能力。2，通过学习，学生能合理的选择正弦定理、余，通过学习，学生能合理的选择正弦定理、余弦定理进行运算。弦定理进行运算。学习要求1,通过教学，培养学生数学的建模能力。通过教学，培养学生数学的建模能力。2，通过测量与几何运算，体现三角知识的重要性。，通过测量与几何运算，体现三角知识的重要性。了解有关测量术语了解有关测量术语:a.仰角和俯角仰角和俯角是指与目标视线在同一垂直平是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角面内的水平视线的

4、夹角.其中目标视线在水平其中目标视线在水平视线的目标视线上方时叫仰角视线的目标视线上方时叫仰角,目标视线在水目标视线在水平视线的下方的时叫俯角平视线的下方的时叫俯角.b.方向角方向角是指从指定方向线到目标方向线的是指从指定方向线到目标方向线的水平角水平角,如北偏东如北偏东300,南偏西南偏西450.c.方位角方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目是指从正北方向是顺时针旋转到目标方向线的水平角标方向线的水平角.d.坡度坡度是坡面与水平面所成的角的度数是坡面与水平面所成的角的度数.下面是几个测量距离问题实例一1,如图如图,设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸.需要测量需要测量A,B两点两点间的距离

5、间的距离,测量者在测量者在A的同侧河岸边选定一点的同侧河岸边选定一点C.测测出出AC=55米米,，.求求A,B两点间的距离两点间的距离.75ACBBCA BAC=45,例、如图，为了测量河对岸两点、之间例、如图，为了测量河对岸两点、之间的距离，在河岸这边取点，测得的距离，在河岸这边取点，测得ADC=85, BDC=60, ACD=47, BCD=72,CD=100m.设，在同一个平设，在同一个平面内，试求，之间的距离（精确到面内，试求，之间的距离（精确到m）解：在解：在中，中， ADC85, ACD=47, 则则 D=4，又，又100，由正弦定理，得：，由正弦定理，得：)(05.13448si

6、n85sin100sinsinmDACADCDCAC在在中，中， BDC=60, BCD=72,则则DC=又又100，由正弦定理，得由正弦定理，得)(54.11648sin60sin100sinsinmDBCBDCDCBC在在中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得ACBBCACBCACABcos2222222134.05 116.54cos253233.95134.05 116.54所以所以（m）.答：，两点之间的距离约为答：，两点之间的距离约为m.如图如图,隔河看两目标隔河看两目标A、B，但不能到达，但不能到达，在岸边选取相距在岸边选取相距 千米的千米的C、D两点，并测两点，并测得得ACB=7

7、5ACB=750 0,BCD=45,BCD=450 0,ADC=30,ADC=300 0，ADBADB=45=450 0(A(A、B B、C C、D D在同一平面在同一平面) )，求两目标，求两目标ABAB之间的距离。之间的距离。3ABCD学生练习一学生练习一一海轮以一海轮以20n mile/h的速度向正东航行的速度向正东航行,它在它在A点测得灯塔点测得灯塔P在船的北在船的北600东东,2个小时个小时后船到达后船到达B点时点时,测得灯塔在船的北测得灯塔在船的北450东东,求求(1)船在船在B点时与灯塔点时与灯塔P的距离的距离.(2)已知以已知以P为圆心为圆心,55n mile的半径的圆形水的半

8、径的圆形水域内有暗礁域内有暗礁,那么船工继续向正东航行那么船工继续向正东航行,有无有无触礁的危险触礁的危险.学生练习二学生练习二 练习三练习三某货轮在某货轮在A处看灯塔处看灯塔S在北偏东方向在北偏东方向.它它以每小时以每小时36海里的速度向正北方向航行海里的速度向正北方向航行,经过经过40分钟航行到分钟航行到B处看灯塔处看灯塔S在北偏东在北偏东方向方向.求此时货轮到灯塔求此时货轮到灯塔S的距离的距离.307516.97米练习四练习四12ABAB10 201202如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向向匀速直线航行。当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的处，此

9、时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？30 2海里如图，货轮在海上以如图，货轮在海上以40n mile/h的速度由的速度由B向向C航行，航行的方位角航行，航行的方位角140 ，在，在B处测处测得得A处有灯塔，其方位角处有灯塔，其方位角110 ，在，在C处观处观察灯塔察灯塔A的方位角的方位角35 ，由，由B到到C需需0.5h航航行，求行，求C到灯塔到灯塔A的距离。的距离。210610213202)13(20232420322034008002AC练习五练习五某人在高出海面某人在高出海面600m的山上的山

10、上P处，测处，测得海面上的航标得海面上的航标A在正东，俯角为在正东，俯角为30 ，航标，航标B在南偏东在南偏东60 ，俯角为，俯角为45 ，求这两个航标间的距离。，求这两个航标间的距离。WNES4530PCBA练习六练习六（1）准确地理解题意；）准确地理解题意；（2）正确地作出图形；）正确地作出图形；（3）把已知和要求的量尽量集中在有关三）把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；序地解这些三角形；（）再根据实际意义和精确度的要求给出（）再根据实际意义和精确度的要求给出答案答案解三角形应用题的一般步骤：解三角形应用题的

11、一般步骤：测量距离的方法：测量距离的方法：测量两点间距离测量两点间距离把距离看成三把距离看成三角形的边角形的边利用正余定理利用正余定理进行进行求解求解实际实际问题问题解三解三角形角形问题问题二、关于测量的问题二、关于测量的问题高度高度练习练习1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底，从与烟囱底部在同一水平直线上的部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是两处，测得烟囱的仰角分别是和 45 60，CD间的距离是间的距离是12m.已知测角仪器已知测角仪器高高1.5m,求烟囱的高。求烟囱的高。图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已

12、知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想实例讲解实例讲解实例讲解实例讲解AA1BCDC1D1分析：分析：如图，因为如图，因为AB=AA1+A1B，又，又已知已知AA1=1.5m,所以只要求出所以只要求出A1B即可。即可。解：解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(9 .295 . 14 .2811mAABAAB答：烟囱的高为答：烟囱的高为 29.9m.例例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路

13、上向正东行驶，到A处时处时测得公路南侧远处一山顶测得公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰的方向上，仰角角8，求此山的高度，求此山的高度CD.分析：要测出高分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。的长。解：在解：在ABC中，中，C=25-15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5si

14、nsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。BDAC5km15258练习二 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上，行驶5km后到达B处，测得山顶D位于正东北方,且由A到B的图中测得对山顶D的最大仰角为30 ,求山高例例4 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面上处测得地面上一点一点A的俯角的俯角5440，在塔底，在塔底C处测得处测得A处的俯角处的俯角501已知已知铁塔铁塔BC部分的高为部分的高为27.3m，求出山求出山高高CD(精确到精确到1m)分析：根据已知条件，应

15、该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的的长长解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90- -, BAC=- -, BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理，)90sin()sin(ABBC)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，P15 练习2 2.测山上石油钻井的井架测山上石油钻井的井架BC的高，从山脚的高，从山脚A测测得

16、得AC=60m，塔顶，塔顶B的仰角的仰角a是是 45,已知山坡已知山坡的倾斜角的倾斜角 是是 30，求井架高，求井架高BC。三、下面是几个测量角度问题例、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出例、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为渔轮在方位角为，距离为，距离为10n mile的的处，并测得渔轮正沿方位角为处，并测得渔轮正沿方位角为105 的方向，的方向，以以n mile/h的速度向小岛靠拢我海军舰艇的速度向小岛靠拢我海军舰艇立即以立即以n mile/h的速度前去营救求舰艇的速度前去营救求舰艇的航向和靠近渔轮所

17、需的时间（角度精确到的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1 ,时间精确到时间精确到min）北北北北BC105方位角：方位角：指从正北方向指从正北方向顺时针旋转到目标方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角的水平角北北北北BC105解：设舰艇收到信号后解：设舰艇收到信号后xh在处靠拢渔轮，则在处靠拢渔轮，则21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222 10 9 cos120(21 )(9 )10 xxx 化简得：化简得：0109362 xx解得：解得：x=（h）=40(min)(负值舍去）负值舍去）由正弦定理，得由正弦定理，得143321120sin9sinsinxxABACBBCBAC所以所以21.8，方位角为，方位角为45 +21.8 =66.8 答：舰艇应沿着方位角答：舰艇应沿着方位角66.8 的方向航行，的方向航行，经过经过min就可靠近渔轮就可靠近渔轮练习一练习一如图如图.当甲船位于当甲船位于A处时获悉处时获悉,在其正东方向相距在其正东方向相距20海里