高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业新人教版选修2

1、精品教案3.2.2复数代数形式的乘除运算【明目标、知重点11 .掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2 .理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律3 .理解共轲复数的概念.填要点记疑点1 .复数的乘法法则设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,deR),贝UziZ2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i.2 .复数乘法的运算律对任意复数zi、Z2、Z3eC,有交换律ziz2=z2zi结合律(ziz2)z-3=_zi空z3)乘法对加法的分配律zi(z2+z3)=.2+1芍3 .共轲复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轲复数,z的共轲复数

2、用z表示.即z=a+bi,则z=a-bi.4 .复数的除法法则设zi=a+bi,z2=c+di(c+di丰0),zia+biac+bdbcad则=22-+-22i.z2c+dic2+d2c2+d2探要点究所然情境导学我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律么？探究点一复数乘除法的运算思考1怎样进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.思考2复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1.例1计算：(1)(12i)(3

3、+4i)(2+i);(2)(3+4i)(34i);(1+产解(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=20+15i;(2)(3+4i)(3-4i)=32(4i)2=9(16)=25;(3)(1+i)2=1+2i+i2=2i.反思与感悟复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.跟踪训练1计算：(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2.解(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5;(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=3+4i;思考3如何理解复数的除法运算法则？

4、答复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轲复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).4-3i4+3i例2计算：(1)4十二；(2)(1+2i)2;1+iG+&i(2G可编辑43i 24 + 3i 2解 (1)原式=4 + 3iZ- + Z - 4-3i4-3i4+3i169 24i16 9 + 24i42+ 32+42+ 32724i7+24i14+=；2525251 + i(2)方法一原式=22-6+3p2 +=i6+透+2i+33_1+i.5方法二(技巧解法)1+i2原式=26+反思与感悟复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轲复数.跟踪训练27

5、+ i计算：37左(2)1 +i 2 + i7+ i解3+4i7 + i 3 -4i 25 25i =1 i.3 + 4i 3-4i25(2)探究点二共轲复数及其应用1+i2+i-3+i-3+i-i思考1像3+4i和3-4i这样的两个复数我们称为互为共轲复数，那么如何定义共轲复数呢？答一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轲复数.通常记复数z的共轲复数为z.虚部不等于0的两个共轲复数也叫做共轲虚数.思考2复数a+bi的共轲复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数?答复数a+bi的共轲复数可表示为abi,由于(a+bi)a-(bi)=a2+b2,所以两个共轲复数之

6、积为实数.思考3共轲复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答(1)在复平面上，两个共轲复数对应的点关于实轴对称.(2)实数的共轲复数是它本身，即z=z?zCR,利用这个性质可证明一个复数为实数.若zwo且z+z=0,则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数.思考4zz与|z|2和|z|2有什么关系？答z-z=|z|2=|z|2.例3已知复数z满足忆|=1,且(3+4i)z是纯虚数，求z的共轲复数z.解设2=2+0缶，bR),则z=abi且|z|=22+b2=1,即a2+b2=1.因为(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(3b+4a)i,而(3+4i)z是纯虚数,所

7、以3a4b=0,且3b+4aw0.4由联立，解得a=_一,53b=_一5或z =-+ i.5 5反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点.跟踪训练3 已知复数z满足：z z +2iz=8+6i ,求复数z的实部与虚部的和.解设 z = a + bi(a, b R),.a2 + b?+2i(a + bi)=8+6i ,即 a2+b2 2b+ 2ai = 8+6i,精品教案a2+b2-2b=8a=3,解得2a=6b=1，a+b=4,复数z的实部与虚部的和是4.A. iC.D.+ -i当堂测查疑缺1 .设复数z满足iz = 1,其中i为虚数单位，则z等于（）A. i

8、 B. i C. 1 D. 1答案A解析z = - = - i.i2.已知集合 M =1,2 , zi, i为虚数单位，N = 3,4, M nN = 4,则复数z等于(A. 2i B. 2i C. - 4i D. 4i答案 C解析 由 M AN = 4得 zi=4, z= 4i. i一、基础过关i+'等于(可编辑答案A4.复数z=2一i（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）2+iA.第一象限B.第二象限D.第四象限C.第三象限解析因为z=2i=21A. 2iB. C. 0 D. 2i=J4i,故复数z对应的点在第四象限，选D.2+i55呈重点、现规律1 .复数代数形式的乘除

9、运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轲复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.2 .共轲复数的性质可以用来解决一些复数问题.3 .复数问题实数化思想.复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z=a+bi(a,bCR),利用复数相等的充要条件转化.40分钟课时作业精品教案可编辑解析一=_i,T=i,X=i,=i,ii3i5i71111.一+t+7+7=0.i3i5i73.若a,bCR,i为虚数单位，且（a+i）i

10、=b+i,则（）A.a=1,b=1C.a=1,b=1答案D解析a+i)i=-1+ai=b+i,b=-1a=14.在复平面内，复数士+（1+，3i）2对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析士+>/3i）2=1+2i+（2+2i）=-3+（22）i,对应点（3,2、/3+1）在第二象限5.设复数z的共轲复数是z,若复数Z1=3+4i,Z2=t+i,且Z122是实数，则实数t等于3A44B.一3C.D.答案A解析.Z2=t+i,1.Z2=t-i.Z1Z2=(3+4i)(ti)=3t+4+(4t3)i,又,ziZ2R-4t3=0,，t=.46.若z=f,则复数

11、z等于（）iB. -2 + iD. 2 + iA.2iC.2-i答案D解析z="=2i,-z=2+i.i7.计算：(1)"2I2+海¥010；1-i21+i(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(43i).2+2iZ+(1+i)20102+2i2+1)-2i2i10052i2i1+i解析由已知得z="=;=1+i.9.复数z满足（z3）（2-i）=5（i为虚数单位），则z的共轲复数z为（）A.2+iB.2iC.5+iD.5i答案D5解析由(z3)(2i)=5得，z3=口=2+i,，z=5+i,z=5i.10.设复数i满足i（z+1）=-3+2i

12、（i为虚数单位），则z的实部是答案1解析由i(z+1)=-3+2i得到z=3+2i1=2+3i1=1+3i.i11.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,求z及=.z解因为(1+2i)z=4+3i,所以z=4-i-=4+3i1-2=2-i,故z=2+i.1+2i5z所以=z2-i2+i2-i23-4i34=i.55551012.已知复数z的共轲复数为z,且zz-3iz=",求z.解z=a+bi(a,bCR),贝Uz=abi.一10又zz-3iz=1-3i101+3i-a2-|-b_3i(a+bi)=0-a2+b2+3b3ai=1+3i,精品教案a2+b2+3b=1,a=1,a=1,或-3a=3.b=0,b=3.z=-1,或z=13i.三、探究与拓展13.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b、c为实数).(1) 求b，c的值；(2) 试说明1i也是方程的根吗？解(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根，.(1W2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+