高中数学竞赛定理

1、重心定义：重心是三角形三边中线的交点，可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。已知：ABC,D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。证明：根据燕尾定理，SAAOB=S；AAOC,又SAAOB=SABOQSAAOC=SABOC再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。重心的性质：1 、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、三角形内到三边距离之积最大的点。5、 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为(x1

2、x2x3)/3,(y1y2y3)/3)；空间直角坐标系横坐标：(x1x2x3)/3纵坐标：(y1y2y3)/3竖坐标：(z1z2z3)/3外心定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。设d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3重心坐标：(c2c3)/2c，(c1c3)/2c，(c1c2)/2c)垂心定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。性质：

3、锐角三角形垂心在三角形内部直角三角形垂心在三角形直角顶点钝角三角形垂心在三角形外部设d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3垂心坐标：(c1/c，c2/c，c3/c)九点圆三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点九点共圆，这个圆为九点圆或欧拉圆或费尔巴哈圆.)九点圆性质：1 .三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；即r九点圆：r外接圆=2：i2 .九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3 .三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切设d

4、1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3垂心坐标：(2c1c2c3)/4c，(c12c2c3)/4c，(c1c22c3)/4c)欧拉线定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。欧拉线的性质：1、在任意三角形中，以上四点共线。2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。可编辑欧拉线的证法1交外接圆于点 Do连结AD、CD、AH、CH、如

5、图作ABC的外接圆，连结并延长BO,OH。作中线AM,设AM交OH于点G'BD是直径/BAD/BCD是直角AD±AB,DC±BCCH±AB,AHI±BCDA/CH,DC/AH四边形ADCH是平行四边形AH=DCM是BC的中点，O是BD的中点OM=-DC2OM=-AH2OM/AHOMGhagAG2=一GM1G'是ABC勺重心G与G'重合O、G、H三点在同一条直线上欧拉线的证法2如图设H,G,O,分别为ABC勺垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点。连接ODO为外心OD±BC连接AH并延长交BC于EH

6、为垂心AE±BCOD/AE,有/ODA=ZEAD=由于G为重心，贝UGA:GD=2:1。连接CG并延长交BA于F则可知F为AB中点同理，OFCM/OFC=ZMCF连接FDFD/AC,DF:AC=1:2/DFC=ZFCA,/FDA=ZCAD又/OFC=ZMCF/ODA=ZEAD相减可得/OFD=/HCA,/ODF=/EAC .OFDHCAOD:HA=DF:AC=1:2又GA:GD=2:1OD:HA=GA:GD=2:1又/ODA=ZEAD .OGDHGA/OGD=ZAGH又连接AG并延长 ./AGH+/DGH=180° ./OGD吆DGH=180°即O、G、H三点共线

7、欧拉线的证法3设H,G,O,分别为ABC勺垂心、重心、外心则OH=OA+OB+OCOG=(OA+OB+OC)/3，3XOG=OHO、 G 、 H 三点共线(注：OH,OA,OB,OC,OG均为向量)费马点定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。费马点的判定(1)对于任意三角形4ABC,若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。(2)如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点性质：(1)平

8、面内一点P到ABC三顶点的之和为PA+PB+PC,当点P为费马点时，距离之和最小。(2) .特殊三角形中，三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA,为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(3) .特殊三角形中，若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是费马点（4片寺殊三角形中，当ABC等边三角形时，此时外心与费马点重合证明(1)费马点对边白张角为120度在CCiB和AAiB中BC=BA1,BA=BC1,CBC1=/B+60=ABA1, CC1B和AA,B是全等三角形

9、./PCB=PA1B同理可得/CBP=CA1P由PAiB+CAiP=60,得/PCB+ZCBP=60, ./CPB=120同理,/APB=120,/APC=120(2)PA+PB+PC=AA1将BPC以点B为旋转中心旋转60与BDA1重合，连结PD,则4PDB为等边三角形 ./BPD=60又/BPA=120因此A、P、D三点在同一直线上又/CPB=A1DB=120,ZPDB=60,PDA=180A、P、D、A1四点在同一直线上故PA+PB+PC=AA1（3）PA+PB+PC最短在ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM,将BMC以点B为旋转中心旋转60与BGA1重合，连结AM

10、、GM、A1G（同上），则AA1VA1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。可编辑梅涅劳斯定理内容：如果一条直线与4ABW边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么FBBDCExx=1oDCEA或设X、Y、Z分别在ABC勺BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是AZZBBXCYxx=1XCYA证明一：如图过点A作AG/BC交DF则”二空FBBD三式相乘得：BDBDCE的延长线于G,DCDCDCEA''oAGAFxFBBDCEAG证明二:AFFBDC过点=xEABDBDxDCDC=1AGC作CP/DF交AB于BDCEA

11、Fxx=一DCEAFBFBxPF它的逆定理也成立：若有三点AF满足AFFBBDCExx=1,DCEAP,则PFxAFBDFBDCPF=1F、D、E分别在CEPFEAAFABC勺边AB、BC、CA或其延长线上，且则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。证明三：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC',AD:DB=AA':BB',BE:EC=BB':CC',CF:FA=CC':AA'.AFBDCE.-人人1FBDCEA可编辑在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是入=BL/LC

12、、科=CM/MA、丫=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是人口=1。第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E,F,D三点共线，则sinACFsinBADsinCBAxx=1sinFCBsinDACsinABE即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积第二角元形式的梅涅劳斯定理sin AOF sin BODxsin DOB sin DOC在平面上任取一点O,且EDF共线，则xsinCOA=1。(O不与点a、b、c重合)sinAOE塞瓦定理内容：在ABC内任取一点O直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1证法：(I)本题可利用梅涅劳斯定理

13、证明：ADC被直线BOE所截(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1而由ABD被直线COF所截(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1+：即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1(n)也可以利用面积关系证明BD/DC=SAABD/SACD=SABOD/SACOD=(SABD-SABOD)/(SACt-SACOD)=SAAOB/SAOC同理CE/EA=SBOC/SAOBAF/FB=SAOC/SBOCXX得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点：设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,根据塞瓦定理逆定理，.(AD:D

14、B)*(BE:EC)*(CF:FA尸(CD*ctgA)/(CD*ctgB)*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，三条高CD、AE、BF交于一点。可用塞瓦定理证明的其他定理；三角形三条中线交于一点(重心)：如图5D,E分别为BC,AC中点BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1AF=BFAF/FB=1AF=FB，三角形三条中线交于一点可用定比分点来定义塞瓦定理：在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是入=BL/LC、科=CM/MA、丫=AN/NB。于孰L、BM、CN三线交于一点的充要条件是入林=1。塞瓦定

15、理推论：1 .设E是ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F,则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1(塞瓦定理)(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB尸K(K为未知参数)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG尸K(K为未知参数)又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12 .塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是(sin/BAD/sin/DAC)*(sin/ACF/sin/FCB)*(sin/CBE/sin

16、/EBA)=1由正弦定理及三角形面积公式易证3 .如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F,直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证4.1. 能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,根据塞瓦定理逆定理，.(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA尸(CD*ctgA/(CD*ctgB)*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1,三条高CD、AE、BF交于一点。燕尾定理燕尾定理，因此图类似燕尾而

17、得名，是一个关于三角形的定理（如图ABC,D、E、F为BC、CA、AB上的点，AD、BE、CF交于O点）SAABC中,SAAOB:SAAOC=SABDOSACDO=BDCD同理，SAAOCSABOC=SAAFO:SABFO=AF:BFSABOCSABOA=SACEOSAAEO=ECEA卜面的是第一种方法：相似三角形法已知：ABC勺两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。求证：AE=CE证明：如图1,过点O作MN/BC,交AB于点M,交AC于点N;过点O作PQ/AB,交BC于点P,交AC于点Q。 MN/BC .AMSABD,AN8ACDMQBD=AO:AD,NO:CD=AO:

18、ADMOBD=NO:CDAD是ABC的一条中线BD=CDMO=NO PQ/AB CP8CBF,CQSCAFPO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CFPO:BF=QO:AFCF是ABC的一条中线AF=BFPO=QOMO=NO/MOP=ZNOQPO=QO.MO国NOQ（SAS）/MPO=/NQOMP/AC（内错角相等，两条直线平行） .BMRBAE（R为MP与BO的交点）,BP叱BCE .MRAE=BR:BE,PR:CE=BR:BEMRAE=PR:CE MN/IBC,PQ/AB 四边形BMOP是平行四边形MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）AE=CE命题得证。证法2下面的是第二种方法：面积

19、法已知：ABC勺两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。求证：AE=CE证明：如图2 点D是BC的中点，点F是AB的中点 SACAD=SBAD,SACOD=SBOD SACAD-SACOD=SBAD-SABOD即SAAOC=SAOB SAACF=SBCF,SAAOF=SBOF SAACF-SAAOF=SBCFSABOF即SAAOC=SBOC SAAOB=SBOC SAAOE:SAAOB=OE:OB,SACOE:SABOC=OE:OB SAAOE:SAOB=SCOE:SBOC SAAOB=SBOC SAAOE=SCOEAE=CE命题得证。证法3下面的是第三种方法：中位线法已知

20、：ABC勺两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。求证：AE=CE证明：如图2,延长OE到点G,使OG=OBOG=OB.点O是BG的中点又点D是BC的中点OD是BGC的一条中位线 .AD/CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） 点O是BG的中点，点F是AB的中点。5是4BGA的一条中位线CF/AG AD/CG,CF/AG 四边形AOCG是平行四边形 .AC、OG互相平分AE=CE命题得证。证法四：因为ABCO是凹四边形，根据共边比例定理，命题得证托勒密定理定理的内容：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矢I形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所

21、包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).证明一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。)在任意四边形ABCD中，ABE使/BAE=/CAD/ABE=/ACDABEsACDBE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD而/BAC=ZDAE,/ACB=ZADE .ABOAED相似.BC/ED=AC/AD即ED-AC=BC-AD(2)(1)+(2)，得AC(BE+ED尸AB-CD+AD-BC BE+ED>BD(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、B

22、D的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模,运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d肖(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角/BAC=/BDC,而在AB上,/ADB=/ACR在AC上取一点K,使得/ABK=ZCBD;./ABK+/CBK=/ABC=/CBD+/ABD,所以/CBK=ZABD=因此ABK与DB

23、C相似同理也有ABDKBC因止匕AK/AB=CD/BD,且CK/BC=DA/BD因此AKBD=AB-CD,且CKBD=BC-DA两式相加，得（AK+CK）-BD=AB-CD+BC-DA但AK+CK=AC,因此AC-BD=AB-CD+BCDA。证毕三、已知：圆内接四边形ABCD求证：AC-BD=ABCD+AD-BC证明：如图，过C作CP交BD于P,使/1=/2,又/3=74 .ACDBCP .AC:BC=AD:BP,AC-BP=ADBC又/ACB=ZDCP,/5=/6,.AC*DCP .AC:CD=AB:DP,AC-DP=ABCD十得AC(BP+DP尸AB-CD+AD-BC即AC-BD=AB-C

24、D+AD-BC推论1 .任意凸四边形ABCD,必有AC-BD<AB-CD+AD-BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。2 .托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆推广托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模，得不等式AC-BDW|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB-CD+BC-AD注意：1等号成立的条件是(a-b)(c-d肖(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。2.四点不限于同一平面。西姆松定理西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线(此线常称为西姆松线)。西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。性质：(1)称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。(2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆