第5章 分析力学

1、 牛顿力学牛顿力学1 1、数学空间、广义坐标、数学空间、广义坐标2 2、侧重、侧重“力力”，“加速加速度度”3 3、以牛顿三定律为基础、以牛顿三定律为基础4 4、运用微积分、运用微积分1 1、真实空间、一般坐标、真实空间、一般坐标分析力学分析力学2 2、能量（、能量（L L函数、函数、H H函数函数）3 3、哈密顿原理、哈密顿原理( (公理公理) )为基础为基础4 4、运用变分、运用变分说明：说明：从牛顿力学可推导出虚功原理、拉格朗日方程和从牛顿力学可推导出虚功原理、拉格朗日方程和哈密顿原理，即从经典力学的一个理论体系可推导的方哈密顿原理，即从经典力学的一个理论体系可推导的方法得出另一个经典力

2、学的理论体系，但分析力学本身是法得出另一个经典力学的理论体系，但分析力学本身是一个独立、完整的理论体系。一个独立、完整的理论体系。第五章第五章 分析力学分析力学5.1 5.1 约束与广义坐标约束与广义坐标由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束. . 0vgm初始条件和受力初始条件和受力决定轨迹是直线决定轨迹是直线约束物：铁丝约束物：铁丝0, 0zx限制：限制：Oyx限制包括对限制包括对位置位置和对和对速度速度的限制的限制.设系统由设系统由n个质点组成个质点组成, 以以xi, yi, zi 表示第表示第i个质点的坐标个质点的坐标, 则约束

3、方程为则约束方程为0),(tzyxzyxfiiiiiini,.,2 , 1（1）球面摆的约束，球面摆的约束，OM为刚性轻杆为刚性轻杆OMmlxyz 设设O点为直角坐标原点，则质点为直角坐标原点，则质点点m的坐标方程满足的坐标方程满足02222lzyx 若若O点不固定，在点不固定，在x方向有一恒方向有一恒定速率定速率v，t0时时O点处于坐标原点，点处于坐标原点，则约束方程为则约束方程为02222lzyvtx 若刚性轻杆换成柔软轻绳（绳长仍为若刚性轻杆换成柔软轻绳（绳长仍为l，不可伸，不可伸长），则约束方程为长），则约束方程为O点固定点固定O点不固定点不固定02222lzyx02222lzyvtx

4、 （2）半径为半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动, 约束方程表示为约束方程表示为 00Rxycc在一定初始条件下积分可得在一定初始条件下积分可得0RxRycc两组约束方程分别表明了地面对车轮的两组约束方程分别表明了地面对车轮的位置位置和和速速度度的限制的限制. .(3) 在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀, 冰面对冰冰面对冰刀横向运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着刀横向运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着冰刀的纵向冰刀的纵向. 以冰刀的质心坐标以冰刀的质心坐标xc, yc和转和转角角作为冰刀的位置坐标作为冰刀的位置坐标, 则

5、则冰刀的约束方程为冰刀的约束方程为cotccyx上式还可写成上式还可写成ccyxdcotd由于由于cot与与yc的函数关系不能确定的函数关系不能确定, 所以不可积分所以不可积分. 1. 完整约束（几何约束）和非完整约束（微分约束）完整约束（几何约束）和非完整约束（微分约束）约束方程仅含质点的约束方程仅含质点的坐标坐标和和时间时间的约束称为的约束称为完整约束完整约束.约束方程形式为约束方程形式为0),(,tzyxfiii如果约束方程不仅包含质点的坐标如果约束方程不仅包含质点的坐标, , 还包含还包含坐标对坐标对时间的导数或坐标的微分时间的导数或坐标的微分, , 而且而且不能通过积分使之不能通过积

6、分使之转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程, , 则这种则这种约束称为约束称为非完整约束非完整约束, , 其约束方程形式为其约束方程形式为0),(tzyxzyxfiiiiii不受非完整约束的系统称为不受非完整约束的系统称为完整系完整系 本教材只研究本教材只研究OMmlxyzOM为刚性轻杆为刚性轻杆O点固定点固定O点不固定点不固定02222lzyx02222lzyvtx02222lzyx02222lzyvtxO点固定点固定O点不固定点不固定OM为柔软不可伸长轻绳为柔软不可伸长轻绳完整约束完整约束完整约束完整约束完整约束完整约束完整约束完整约束积分积分00Rxy

7、cc0RxRycc完整约束完整约束cotccyxccyxdcotd非完整约束非完整约束2. 定常约束定常约束(稳定约束稳定约束)和非定常约束和非定常约束(非稳定约束非稳定约束) 约束方程中约束方程中不显含不显含时间时间t的约束称为的约束称为定常约束定常约束 约束方程形式为约束方程形式为0),(iiiiiizyxzyxf约束方程中约束方程中显含显含时间时间t的约束称为的约束称为非定常约束非定常约束 约束方程形式为约束方程形式为0),(tzyxzyxfiiiiii3. 双侧约束双侧约束(不可解约束不可解约束)和单侧约束和单侧约束(可解约束可解约束) 若约束方程是若约束方程是等式等式, , 这种约束

8、就是这种约束就是双侧约束双侧约束. . 若约若约束方程含有束方程含有不等式不等式, , 就称为就称为单侧约束单侧约束. .4. 理想约束和非理想约束理想约束和非理想约束(根据约束力的性质划分根据约束力的性质划分)OMmlxyzOM为刚性轻杆为刚性轻杆O点固定点固定O点不固定点不固定02222lzyx02222lzyvtx02222lzyx02222lzyvtxO点固定点固定O点不固定点不固定OM为柔软不可伸长轻绳为柔软不可伸长轻绳完整约束完整约束完整约束完整约束完整约束完整约束完整约束完整约束定常约束定常约束定常约束定常约束非定常约束非定常约束非定常约束非定常约束双侧约束双侧约束双侧约束双侧约

9、束单侧约束单侧约束单侧约束单侧约束积分积分00Rxycc0RxRycc完整约束完整约束cotccyxccyxdcotd非完整约束非完整约束定常约束定常约束双侧约束双侧约束定常约束定常约束双侧约束双侧约束对于对于完整系完整系, 确定系统位置所需要的确定系统位置所需要的独立坐标独立坐标的数目的数目, 称为该系统的称为该系统的自由度自由度, 用用s表示表示. 一个自由质点一个自由质点3s质点被约束在曲面上质点被约束在曲面上213s约束方程数约束方程数质点被约束在曲线上质点被约束在曲线上123skns 3n个质点，受个质点，受k个完整约束个完整约束推广：推广：n个质点，个质点，m个刚体，受个刚体，受k

10、个完整约束个完整约束kmns63一一步步是是做做任任何何一一道道题题目目的的第第?s例、例、一卧倒的圆锥限制在一个平面上的运动（接触一卧倒的圆锥限制在一个平面上的运动（接触点可以滑动）点可以滑动）.ABOxy解：解： A点的位置由坐标点的位置由坐标(x,y)表示表示 对称轴方位可由接触对称轴方位可由接触线线AB与与x轴夹角轴夹角确定确定圆锥自转角由圆锥自转角由确定确定4 s例例、 两个叠放在一起的陀螺，两个叠放在一起的陀螺，下面的陀螺支点固定下面的陀螺支点固定.OO633 sa2ABCD例、例、长度同为长度同为l的四根轻杆的四根轻杆, 用光滑铰链连接成一菱形用光滑铰链连接成一菱形ABCD. A

11、B, AD两边支于同一水平线上相距为两边支于同一水平线上相距为2a的两的两根钉上根钉上, BD间则用一轻绳连接间则用一轻绳连接, C点上系一重点上系一重W的物体的物体.求系统自由度求系统自由度.解解:有绳连接时有绳连接时,系统的自由度为系统的自由度为0将绳子剪断将绳子剪断,系统的自由度为系统的自由度为1例、例、长为长为l的细杆的细杆AB的一端被约束在水平桌面上的一端被约束在水平桌面上, 确定确定其自由度其自由度. ABOxyz法法一一刚体刚体, 细杆细杆, 无绕轴自转无绕轴自转, A点被限制在平面上点被限制在平面上, s=6. xA,yA,zA,s=5.s=4.法法二二A,B两点确定两点确定,

12、细杆位置确定细杆位置确定,BBBAAAzyxzyxs,62222)()()(0lzzyyxxzBABABAA2个约束方程个约束方程: 426s在给定的约束条件下，能够在给定的约束条件下，能够完全确定完全确定力学系统位置力学系统位置的一组的一组相互独立相互独立的变量称为系统的的变量称为系统的广义坐标广义坐标. . 在完整系中在完整系中, , 广义坐标的数目与自由度数目相等广义坐标的数目与自由度数目相等. . 对于一个给定的系统对于一个给定的系统, , 广义坐标的数目是一定的广义坐标的数目是一定的, , 而广义坐标的选择不是唯一的而广义坐标的选择不是唯一的. . BAAAxzyx,不可以不可以BB

13、AAyxyx,可以可以,AAyx最佳最佳1 1、广义坐标、广义坐标 广义坐标一般用符号广义坐标一般用符号q表示表示, 如果系统有如果系统有s个自由度个自由度, 就就需要需要s个广义坐标个广义坐标q1,q2,qs.也可缩写成也可缩写成q, =1,2,s.2、坐标变换方程、坐标变换方程广义坐标与直角坐标的变换关系广义坐标与直角坐标的变换关系坐标变换方程坐标变换方程. . ),(),(),(212121tqqqzztqqqyytqqqxxsiisiisiini, 2 , 1),.,(21tqqqrrsiini,.2 , 1或写成矢量形式或写成矢量形式 为为广广义义坐坐标标，如如果果选选择择,AAyx

14、则坐标变换方程为则坐标变换方程为AAxx AAyy 0AzcossinlxxABsinsinlyyABcoslzB广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对应的广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对应的广义速度广义速度, , 写成写成 tqqaadd1、实位移实位移 位移位移满足动力学方程（牛顿第二定律）和初始条件满足动力学方程（牛顿第二定律）和初始条件rtdd 才才能能有有位位移移经经过过时时间间间间隔隔 只只有有一一个个内内质质点点的的真真实实位位移移在在rtdd 满足约束条件满足约束条件rrd，也也可可以以是是无无限限小小真真实实位位移移可可以以是是有有限限大大 质点受完整约束质点受完整约束

15、, , 被限制在一个曲面被限制在一个曲面上，上，曲面方程为曲面方程为 0),(tzyxf在在t+dt时刻时刻, , 质点坐标应满足质点坐标应满足 0)d,d,d,d(ttzzyyxxf泰勒级数展开并忽略高阶小量泰勒级数展开并忽略高阶小量 0dddd),(ttfzzfyyfxxftzyxf0rfd是曲面的梯度是曲面的梯度, , 方方向沿曲面法线方向向沿曲面法线方向 0tf一一般般情情况况下下，0d rf平面内平面内一般不在质点所在的切一般不在质点所在的切实位移实位移 rd2、虚位移、虚位移定义：定义：质点在满足质点在满足当时当时约束条件下约束条件下一切可能一切可能的的无限无限小小位移位移, ,

16、称为该时刻质点的称为该时刻质点的虚位移虚位移. . “当时当时”，在某时刻讨论问题，在某时刻讨论问题. .即虚位移是在一确即虚位移是在一确定时刻发生的，是不需要时间的定时刻发生的，是不需要时间的. .“一切可能一切可能”，虚位移包括一切可能的无限小位，虚位移包括一切可能的无限小位移移, , 故有多个甚至无穷多个故有多个甚至无穷多个 . .“无限小无限小”，虚位移，虚位移是一级无穷小位移是一级无穷小位移 . .kzj yi xr,在在直直角角坐坐标标系系中中表表示示虚虚位位移移通通常常用用r 称称为为在在坐坐标标轴轴上上的的投投影影是是,rzyx坐标的变分坐标的变分1t质点在质点在t1时刻的虚位

17、移应满足的方程时刻的虚位移应满足的方程是是0),(1tzzyyxxf泰勒展开泰勒展开, ,忽略高阶小量忽略高阶小量 0),(ttfzzfyyfxxftzyxf00rf0 rfrf质点的虚位移位于质点所在位置的曲面的切平面上质点的虚位移位于质点所在位置的曲面的切平面上. . 定常约束中定常约束中, ,实位移是所有虚位移中的一个实位移是所有虚位移中的一个. . 对于非定常约束对于非定常约束, , 虚位移所满足的方程和实位移所虚位移所满足的方程和实位移所满足的方程是根本不同的满足的方程是根本不同的. .1、虚功、虚功rFW虚功有功的量纲，但没有能量转化过程与之联系虚功有功的量纲，但没有能量转化过程与

18、之联系. . 虚位移的多种可能导致虚功也有多种可能虚位移的多种可能导致虚功也有多种可能. .在分析力学中在分析力学中, , 通常将相互作用力分为通常将相互作用力分为主动力主动力和和约约束力束力. . 因此就存在着因此就存在着主动力的虚功主动力的虚功和和约束力的虚功约束力的虚功. . 主动力的虚功主动力的虚功:的标积，的标积，与质点任一虚位移与质点任一虚位移力力定义：作用在质点上的定义：作用在质点上的rF虚功虚功上的上的称为此力在虚位移称为此力在虚位移 r功功之之和和为为则则系系统统所所有有主主动动力力的的虚虚个个质质点点的的虚虚位位移移表表示示第第和和个个质质点点受受到到的的被被动动力力之之表

19、表示示第第受受到到的的主主动动力力之之和和个个质质点点表表示示第第个个质质点点对对于于第第质质点点组组成成设设系系统统由由,iriFiFiniRiiiniirFW1设坐标变换方程为设坐标变换方程为 ),.,(21tqqqrrsii直角坐标的直角坐标的3n个坐标个坐标不一定是独立的不一定是独立的,而而s个个广义坐标是独立的广义坐标是独立的ni,.,2 , 1等时变分等时变分, ,0tni,.,2 , 1qqrrsii1asniaiiqqrF11 qqrFWsinii11广义力广义力qrFQinii1qQWs12、广义力、广义力n个质点个质点,i=1,2,n, s个自由度个自由度, q1,q2,q

20、 ,qs, =1,2,sqrFQinii1广义力广义力niiiziiyiixqzFqyFqxFQ1,或或3、有势系下的广义力、有势系下的广义力主动力主动力均为有势力均为有势力的力学系统称为的力学系统称为有势系有势系. . 体系体系n个质点个质点,第第i个质点受到的主动力为个质点受到的主动力为 ),(tzyxFFii), 2 , 1(0niFi若若则此体系称为则此体系称为有势力系有势力系. 这时这时,体系对应势函数体系对应势函数 ),(21trrrVVnnitrVVi, 2 , 1),(或或nitzyxVViii, 2 , 1),(或或将将Fix,Fiy,Fiz代入广义力的定义式中代入广义力的定

21、义式中 niiiiiiiqzzVqyyVqxxVQ1s,.,2, 1qVQs,.,2, 1体系所有主动力都可表示成此势函数对相应坐标的体系所有主动力都可表示成此势函数对相应坐标的负梯度负梯度 ), 2 , 1(niVFiiiixxVFiiyyVFiizzVF这就是有势系广义力的表达式这就是有势系广义力的表达式. .如果作用于力学系统的所有约束力在如果作用于力学系统的所有约束力在任意虚位移任意虚位移上的上的虚功之虚功之和和为零为零, , 即即 01iniiRrF则这种约束称为则这种约束称为理想约束理想约束.(整体上的约束整体上的约束) )几个常见的理想约束的例子几个常见的理想约束的例子: :(1

22、)光滑的线、面光滑的线、面NiririrNirN0irN0d irN线线、面面静静止止，0d irN线线、面面运运动动，(2)圆柱圆柱(刚体刚体)在粗糙面上做无滑滚动在粗糙面上做无滑滚动NfP0Pv0Pr0PPrfrN(3)光滑铰链光滑铰链(门上的合页门上的合页)1N2N2211rNrN121rN相对位移相对位移0(4)质量可忽略的刚性轻杆所连接的两个质点质量可忽略的刚性轻杆所连接的两个质点12O1r2r12r1RF2RF21RRFF2211rFrFWRR121rFR12121erFR0(5)两个质点以柔软不可伸长的轻绳相连两个质点以柔软不可伸长的轻绳相连1m2m1TF2TF2211rFrFW

23、TT00211rrFT00绳子不可伸长绳子不可伸长受有受有理想约束理想约束、 定常约束定常约束的力学系统的力学系统, 保持保持静静平平衡的必要衡的必要充分充分条件是作用于该系统的全部条件是作用于该系统的全部主动力主动力的虚功之和的虚功之和为零为零. 01iniirF在直角坐标系中在直角坐标系中, , 上式写成上式写成 0)(1iiziiyiniixzFyFxF当力学系统相对惯性系处于当力学系统相对惯性系处于 静静 平衡时平衡时, , 0RiiFFni,.,2 , 10)(iRiirFFni,.2 , 1011iniRiiniirFrF必要条件的证明：必要条件的证明： 对理想约束对理想约束000

24、1iniirF若系统的主动力虚功之和为零若系统的主动力虚功之和为零, ,充分条件的证明：充分条件的证明： 01iniirF对于受有理想约束的系统对于受有理想约束的系统 011iniRiiniirFrF力学系统的约束是定常的力学系统的约束是定常的, , 各质点的无限小实位移各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合必与其中一组虚位移重合, , 故系统的主动力和约束故系统的主动力和约束力的实功之和也满足上式力的实功之和也满足上式 0dd11iniRiiniirFrF根据质点系的动能定理根据质点系的动能定理 0ddd11iniRiiniirFrFT常量常量T说明系统开始时静止说明系统开始时静止, ,

25、 以后就会始终保持静止以后就会始终保持静止 几点说明：几点说明： (1) 普适性普适性. (2) 在变动中寻找平衡的条件在变动中寻找平衡的条件. 例如单摆例如单摆 gmrgmr,0时时0 rgm,0时时0 rgm置置的的位位置置为为单单摆摆的的平平衡衡位位0(3) 与牛顿力学不同与牛顿力学不同, 分析力学的方法不是将注意力分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上放在区分内力和外力上, 而是放在区分而是放在区分主动力主动力和和约约束力束力上上. 如图所示提升重物的装置如图所示提升重物的装置 , ,以把手端点的弧坐标以把手端点的弧坐标s为广义坐标为广义坐标, , 设重物距地面高度为设重物距地

26、面高度为h, 根据虚功原理根据虚功原理 0hWsFshWF如果知道如果知道h和和s的函数关系的函数关系, 通过上式通过上式, 就可求出就可求出 F(4) 虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零, 是是对对任意的任意的虚位移而言的虚位移而言的, 而不是针对特殊的虚位移而不是针对特殊的虚位移 .由于虚功原理的方程中不出现约束力由于虚功原理的方程中不出现约束力, , 因此不能由因此不能由虚功原理求出约束力虚功原理求出约束力, , 但是但是, , 通过通过释放约束释放约束或用或用不不定乘子法定乘子法, , 可以求出约束力可以求出约束力 01iniirF0)(,1i

27、iziiyiniixzFyFxF或或据虚功原理据虚功原理,有有为了得到广义平衡方程为了得到广义平衡方程, , 需要将虚功原理化为以需要将虚功原理化为以广义坐标表述的形式广义坐标表述的形式. . 01qQs展开后写成展开后写成 02211 ssqQqQqQ01q若若相相互互独独立立q0,.,2sqq011qQ01Q在在完整系完整系中中, , 0,1q若若同同理理相相互互独独立立q0,.,31sqqq022qQ02Q推出推出,0Qs , 2 , 1 广义平衡方程广义平衡方程 虚功原理又可叙述为虚功原理又可叙述为: : 对于受对于受完整的完整的、定常的定常的、理想约束的理想约束的力学系统力学系统,

28、, 保持保持静平衡静平衡的必要充分条的必要充分条件是件是所有的所有的广义力都为零广义力都为零. . 对于主动力均为有势力的有势系对于主动力均为有势力的有势系, , 有有qVQ所以所以, ,广义平衡方程成为广义平衡方程成为 0qVs , 2 , 1 01qqVs代入虚功原理中代入虚功原理中, ,有有0,V即即例题例题1 如图所示如图所示, 匀质杆匀质杆OA, 质量为质量为m1, 长为长为l1, 能在能在竖直平面内绕固定的光滑铰链竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动转动, 此杆的此杆的 A端端用光滑铰链与另一根质量为用光滑铰链与另一根质量为m2,长为长为l2的匀质杆的匀质杆 AB相连相连. 在在 B

29、端有一水平作用力端有一水平作用力 .求处于静平衡时求处于静平衡时, 两两杆与铅垂线的夹角杆与铅垂线的夹角1和和 2.FAl1Bl2FOxy121、判断约束类型判断约束类型是否完整约束是否完整约束?是否理想约束是否理想约束?2、判断自由度判断自由度224s2211,qq个个变变量量两两点点的的位位置置，、4BA21,lABlOAPR质量为质量为m的小环的小环P被限制在一个被限制在一个半径为半径为R的光滑大圆环上的光滑大圆环上,大圆大圆环绕过大环中心的铅垂轴以环绕过大环中心的铅垂轴以的角速度均匀转动的角速度均匀转动,以小环为系以小环为系统统,试确定其自由度试确定其自由度.质点在球坐标系中用质点在球

30、坐标系中用r,描述描述Rr 0t非定常约束非定常约束1 s3、分析受力分析受力(主动力主动力)ABFOxy12gm1111, yxCgm2222, yxCFgmgm,214、由虚功原理由虚功原理032211rFrgmrgm5、建立坐标系建立坐标系(必须是静止坐标系必须是静止坐标系)xx032211xFygmygm6、转化成广义坐标转化成广义坐标111cos2ly 22112cos2coslly22113sinsinllx1111sin2ly2221112sin2sinlly2221113coscosllxy1112111sinsin21coslgmgmF0sin21cos22222lgmF广义

31、力广义力广义力广义力互互相相独独立立和和由由于于210sin21cos0sinsin21cos2222111gmFgmgmF广义平衡方程广义平衡方程 可求出系统处于静平衡时可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程所满足的方程: gmFgmmF221212tan22tan所以所以 gmFgmmF221212arctan22arctan法二法二 先求出广义力先求出广义力,再写出平衡方程再写出平衡方程s=2, 所以有所以有2个广义力个广义力 1iiiqrFQ32 , 1FFgmFgmF32211,其中其中2211,qq1111rgmQgm212r13rF111ygm122ygm13xF1111211

32、1cossinsin21Flglmglm02211322112111sinsincos2coscos2llxllyly2211322112111sinsincos2coscos2llxllyly232222112rFrgmrgmQ23222211xFygmygm22222cossin21Flglm0虚功原理主要用于求解：虚功原理主要用于求解：(1)(1)系统的静平衡位置；系统的静平衡位置； (2)(2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系的关系. .应用虚功原理解题的主要步骤是：应用虚功原理解题的主要步骤是：(1)明确系统的约束类型明确系统的约束类

33、型, 看是否满足虚功原理所要看是否满足虚功原理所要求的条件；求的条件；(2)正确判断系统的自由度正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；(3)分析并图示系统受到的主动力；分析并图示系统受到的主动力；(4)通过坐标变换方程通过坐标变换方程, 将虚功原理化成将虚功原理化成 01SqQ的形式的形式, , 进而得出广义平衡方程进而得出广义平衡方程 , 0Q., 2 , 1s对有势系对有势系, 求出系统的势能求出系统的势能V 后，后，可通过可通过 0/qVs , 2 , 1得广义平衡方程得广义平衡方程; ; (5)求解广义平衡方程求解广义平衡方程. 1 1、利用释放约束的方法求约

34、束力利用释放约束的方法求约束力 例题例题2 试求例题试求例题3中中O处的约束力处的约束力.4s241321,qqyqxqNFFgmgm,21主主动动力力为为代入虚功原理代入虚功原理, ,得得032211xFygmygmyFxFyxNNgmmFFFNyNx21可解出约束力可解出约束力: : 2、不定乘子法不定乘子法.(拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) 先设先设系统由系统由1个质点组成个质点组成, 受受1个完整约束个完整约束 0,zyxf用用3个直角坐标作为描述系统位置的变量个直角坐标作为描述系统位置的变量. 于是当系统于是当系统平衡时平衡时, 应满足虚功原理应满足虚功原理 0zFyFxFzyx得得

35、出出的的它它们们满满足足由由约约束束方方程程不不是是相相互互独独立立的的但但式式中中,zyx0zzfyyfxxf乘待定常数乘待定常数( (不定乘子不定乘子) ) ，与前式相加与前式相加, , 得得 0)()()(zzfFyyfFxxfFzyx.,依依然然不不独独立立zyx0)()()(zzfFyyfFxxfFzyx.,独独立立则则不不独独立立假假定定zyx即即的的系系数数为为值值使使适适当当选选取取, 0 x0zfFz0),(000,zyxfzfFyfFxfFzyx则则,),(,0),(,定常数定常数和待和待可求出平衡位置可求出平衡位置联立求解联立求解与约束方程与约束方程已知已知主动力主动力z

36、yxzyxfF称为称为不定乘子不定乘子,又称又称拉格朗拉格朗日乘子日乘子. . 这种方法称为这种方法称为不定乘子法不定乘子法. . 不定乘子不定乘子是一个与约束力有关的量是一个与约束力有关的量. 将约束都释放将约束都释放, , 并将约束力视为主动力并将约束力视为主动力, , 虚功原理成为虚功原理成为0)()()(zFFyFFxFFRzzRyyRxx.,相相互互独独立立zyx即即 000RzzRyyRxxFFFFFF可知可知xfFRxyfFRyzfFRz设想质点被约束在一个光滑曲面上设想质点被约束在一个光滑曲面上, ,其约束力为其约束力为 kFjFiFFRzRyRxRkzfjyfixf即即 fF

37、R说明约束力沿曲面的法线方向，说明约束力沿曲面的法线方向， .的的比比例例系系数数与与是是约约束束力力fFR一般性讨论一般性讨论设一力学系统由设一力学系统由n个质点组成个质点组成,受到受到 k个完整约束的限制个完整约束的限制 0,iiizyxfk, 2 , 1则则3n个坐标中有个坐标中有 k个是不独立的个是不独立的. 系统平衡时系统平衡时, 应满足应满足虚功原理虚功原理 01niiiziiyiixzFyFxF,3不是相互独立的不是相互独立的个个式中的式中的iiizyxn它们满足它们满足k个由完整约束给出的方程个由完整约束给出的方程: 01niiiiiiizzfyyfxxfk, 2 , 1ini

38、kiixxxfF11ikiiyyyfF101ikiizzzfF000., 2 , 1ni与与k个约束方程联立求解个约束方程联立求解, k个个与平衡位置坐标便可与平衡位置坐标便可同时求出同时求出. 称为称为不定乘子不定乘子, , 又称又称拉格朗日乘子拉格朗日乘子. . 这这种方法称为种方法称为不定乘子法不定乘子法. . 将将k个完整约束都释放个完整约束都释放, 并将约束力都视为主动力并将约束力都视为主动力, 虚功原理成为虚功原理成为 01iRiziziRiyiyiniRixixzFFyFFxFF3n个坐标变分变成完全独立的了个坐标变分变成完全独立的了, 所以所以 000RizizRiyiyRix

39、ixFFFFFFni, 2 , 1kiRizkiRiykiRixzfFyfFxfF111ni, 2 , 1000111kiizkiiykiixzfFyfFxfF与与比较比较不定乘子不定乘子与约束力有密切关系与约束力有密切关系.例题例题 3 一质量为一质量为m的质点的质点P被限制在光滑球面上运动被限制在光滑球面上运动. 已知球面的半径为已知球面的半径为a, 求质点的平衡位置和约束力求质点的平衡位置和约束力. 解解 系统系统: 质点质点建立原点在球心上的直建立原点在球心上的直角坐标系角坐标系 Oxyz,质点的质点的约束方程为约束方程为0),(2222azyxzyxfs= =2, ,但解题时仍以质点

40、的但解题时仍以质点的3个坐标个坐标x,y,z作为确定质作为确定质点位置的变量点位置的变量. . 它们的变分不独立它们的变分不独立, , 满足以下关系满足以下关系: : 0222zzyyxx质点所受的主动力是重力质点所受的主动力是重力 gm根据虚功原理根据虚功原理, , 0 rgm即即 0 zmg0222zzyyxx0222yyxxzzmg0 zmg不定乘子的待定性可使不定乘子的待定性可使x,y,z相互独立相互独立(系数均系数均为为0), 于是于是, 020202yxzmg0 可得到质点平衡位置的两组坐标可得到质点平衡位置的两组坐标: : ), 0 , 0(a), 0 , 0(azmg2,还还可

41、可得得出出kzj yi xFR222kmgj yzmgi xzmg得得代代入入以以, 0, 0azyxkmgFR移项移项得得称称 为为“惯性力惯性力”或达朗贝尔（达朗伯）惯性力或达朗贝尔（达朗伯）惯性力, 形式上的平衡方程形式上的平衡方程达朗贝尔原理达朗贝尔原理 5.3 5.3 拉格朗日方程拉格朗日方程一、基本形式的拉格朗日方程一、基本形式的拉格朗日方程 设设n个质点的力学体系，受个质点的力学体系，受k个几何约束，以任意个几何约束，以任意质点为对象，其动力学方程为质点为对象，其动力学方程为 理想约束下理想约束下称为达朗贝尔称为达朗贝尔拉格朗日方程。又称为动力学普遍方程拉格朗日方程。又称为动力学

42、普遍方程两个恒等式两个恒等式:点乘点乘 ，求和：，求和： 由动力学普遍方程：由动力学普遍方程： 代入：代入： 将广义力代入：将广义力代入： 因因 独立，所以独立，所以有：有：有有：而而：得到一般形式的拉格朗日方程得到一般形式的拉格朗日方程：如果主动力都是有势力如果主动力都是有势力, 则：则： 又知势能又知势能 V 不含广义速度不含广义速度 , 所以所以引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数二、有势系的拉格朗日方程二、有势系的拉格朗日方程 拉格朗日方程组共有拉格朗日方程组共有 s s 个二阶微分方程个二阶微分方程, , 方程数与方程数与广义坐标的数目广义坐标的数目( (即自由度数目即自由度数目) )相

43、等。相等。 对于有势系，对于有势系，只要确定了系统的自由度只要确定了系统的自由度, , 选择好广义选择好广义坐标坐标, , 并正确写出拉格朗日函数并正确写出拉格朗日函数, , 就可利用拉格朗日方程就可利用拉格朗日方程得到系统的运动微分方程。由此可见得到系统的运动微分方程。由此可见, , 拉格朗日函数是系拉格朗日函数是系统的动力学特征函数。统的动力学特征函数。 所有力学系统的动力学方程统一成一种形式。所有力学系统的动力学方程统一成一种形式。可得到有势系的拉格朗日方程可得到有势系的拉格朗日方程： 质量为质量为 m m 的质点的质点, , 被约束在半顶角为被约束在半顶角为的光的光滑固定圆锥面内运动滑

44、固定圆锥面内运动, , 试通过拉格朗日方程试通过拉格朗日方程, , 写出质写出质点的运动微分方程。点的运动微分方程。 解：解： 建立如图所示的与圆锥固连建立如图所示的与圆锥固连的柱坐标系。质点的位置由的柱坐标系。质点的位置由(,z) (,z) 确定。由于质点受到圆确定。由于质点受到圆锥面的约束锥面的约束, , 约束方程为约束方程为 z = cot, z = cot, 所以质点的广义坐标所以质点的广义坐标有两个，选择有两个，选择 ， 为广义坐标。为广义坐标。 质点的拉格朗日函数为：质点的拉格朗日函数为：其中规定了其中规定了O O 点为重力势能零点。点为重力势能零点。将将 L L 变成仅含变成仅含

45、 和和 的函数。的函数。根据拉格朗日方程：根据拉格朗日方程：经运算经运算, , 得到质点的运动微分方程得到质点的运动微分方程其中第二式可写成其中第二式可写成 常量常量, , 表示质点对表示质点对 z z 轴的角动轴的角动量守恒。量守恒。如果选择如果选择和和 z z 作为质点的广义坐标作为质点的广义坐标, , 则：则：牛顿力学的方法牛顿力学的方法方程中的方程中的 F FN N 是锥面作用于质点的约束力的大小是锥面作用于质点的约束力的大小, , 它的它的方向垂直接触面并指向方向垂直接触面并指向 z z 轴。要使方程可解轴。要使方程可解, , 还需加上还需加上约束方程约束方程 。 求弹簧摆的振动方程

46、。已知质量为求弹簧摆的振动方程。已知质量为 m m 的摆锤的摆锤挂在轻弹簧上挂在轻弹簧上 , , 弹簧一端固定。系统静止时弹簧的长度弹簧一端固定。系统静止时弹簧的长度为为l , l , 原长为原长为l l0 0 , , 劲度系数为劲度系数为k k 。 解：解： 取弹簧和摆锤为系取弹簧和摆锤为系 , , 自由度为自由度为 2. 2. 选选 r , r , 作广义坐标。作广义坐标。当系统静止时当系统静止时所以所以 拉格朗日函数写成拉格朗日函数写成将其代入拉将其代入拉格朗日方程格朗日方程得到系统的运动微分方程：得到系统的运动微分方程： 拉格朗日方程一定条件下存在两种第一积分拉格朗日方程一定条件下存在

47、两种第一积分, , 一个是一个是广义动量积分广义动量积分, , 一个是广义能量积分一个是广义能量积分 拉格朗日方程降为一阶方程拉格朗日方程降为一阶方程, , 简化求解简化求解 当第一积分有明确的物理意义时当第一积分有明确的物理意义时, , 有利于我们对物理有利于我们对物理过程的认识和研究过程的认识和研究 将拉格朗日方程写成将拉格朗日方程写成 如果拉格朗日函数如果拉格朗日函数 L L 不显含某个广义坐标不显含某个广义坐标 , , 即：即： 则这个广义坐标则这个广义坐标 称为可遗坐标或称为可遗坐标或循环坐标。循环坐标。定义定义常量常量 称为与可遗坐标称为与可遗坐标 对应的广义动量。对应的广义动量。

48、 若拉格朗日函数不显含广义坐标若拉格朗日函数不显含广义坐标 , , 即即则存在与该广义坐标则存在与该广义坐标 对应的广义动量守恒对应的广义动量守恒, , 即：即： 常量。此情况称系统存在常量。此情况称系统存在广义动量积分广义动量积分。 由于势能由于势能V = V( qV = V( q ) ) 不含广义速度不含广义速度, , 所以所以: :广义动量可以通过动能计算广义动量可以通过动能计算: :因为因为而而 不含不含 , 所以所以于是于是上式的量纲式为：上式的量纲式为： 系统有多少个可遗坐标系统有多少个可遗坐标, , 就会有多少个广义动量积分就会有多少个广义动量积分. . 可遗坐标的多少可遗坐标的

49、多少, , 与广义坐标的选取有密切关系与广义坐标的选取有密切关系. . 同时同时, , 若广义坐标的选取不同若广义坐标的选取不同, , 则与之相应的广义动量的物理意则与之相应的广义动量的物理意义也不同。义也不同。 例如例如, , 自由质点在重力场中运动自由质点在重力场中运动, , 若选择与地面固连若选择与地面固连的的Oxyz , z Oxyz , z 轴竖直向上轴竖直向上, , 并以并以(x,y ,z) (x,y ,z) 为广义坐标为广义坐标, , 则则 由于由于存在与存在与 x,y x,y 对应的两个广义动量积分对应的两个广义动量积分:它们表示质点沿它们表示质点沿 x x 轴和轴和 y y

50、轴的动量分量守恒。轴的动量分量守恒。如果选择球坐标如果选择球坐标( r, ,) ( r, ,) 为广义坐标，为广义坐标，则：则：因只有因只有是可遗坐标是可遗坐标, , 所以只存在一个广义动量积分：所以只存在一个广义动量积分：此积分的意义是质点对此积分的意义是质点对z z 轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。 由由 n n 个质点组成的完整系个质点组成的完整系, , 坐标变换方程坐标变换方程为为将上式对时间求导将上式对时间求导, , 得到各个质点的速度：得到各个质点的速度：将这将这 n n 个式子代入动能定义式中个式子代入动能定义式中, , 得：得：展开上式并交换取和号：展开上式并交换取和号：因为因

51、为 和和 仅是仅是 和和t t的函数的函数, , 所以上中的所以上中的 3 3个括号不显含个括号不显含 。 将上式等式右边将上式等式右边 3 3 项顺序写成项顺序写成 T T2 2 ,T ,T1 1 ,T ,T0 0 , , 它们它们分别为广义速度的二次齐次项、一次齐次项和零次项分别为广义速度的二次齐次项、一次齐次项和零次项. . 系系统的动能统的动能 的表示为：的表示为： 可看出可看出, , 是否为零是否为零, , 直接影响到直接影响到 T T1 1和和 T T0 0 是是否存在否存在, , 进而影响到动能的构成。进而影响到动能的构成。 如果坐标变换方程不显含时间如果坐标变换方程不显含时间

52、t , 即即 , 则则T1和和 T T0 0 均为零均为零, 动能动能 T= TT= T2 2 , , 为广义速度的齐次二次函数为广义速度的齐次二次函数 拉格朗日方程共有拉格朗日方程共有 s s 个二阶微分方程：个二阶微分方程：用用 乘方程两边后乘方程两边后, , 将将 s s 个方程相加个方程相加, , 得得将等式左边第一项写成将等式左边第一项写成交换交换 和和 , 得得因因将将 代入上式代入上式 , 得得：令令则则 定义的定义的 H 为力学系统的广义能量。为力学系统的广义能量。 若若 L 不显含时间不显含时间, , 则则 H = 常量常量 它是拉格朗日方程的另一个第一积分它是拉格朗日方程的

53、另一个第一积分, 称为广义能量称为广义能量积分。积分。 广义能量具有能量的量纲广义能量具有能量的量纲, 但不一定就是相对惯性系但不一定就是相对惯性系的机械能。的机械能。因因所以所以得得 若坐标变换方程不显含时间若坐标变换方程不显含时间, 即即 则则 T0 = 0 , T = T2 , H = T2 + V = E , 广义能量广义能量 H 为系统的为系统的机械能。系统的机械能守恒是广义能量守恒的一种特殊情机械能。系统的机械能守恒是广义能量守恒的一种特殊情况。况。zoRypx 质量为质量为 m m 的小环的小环 P P 被限制在一个半径为被限制在一个半径为R R 的光滑大圆环上的光滑大圆环上,

54、, 大圆环绕过大环中心的铅垂轴以大圆环绕过大环中心的铅垂轴以的的角速度均匀转动。已知初始时小环在大环的最高点角速度均匀转动。已知初始时小环在大环的最高点, , 相相对大环静止对大环静止, , 然后无初速滑下。试通过存在的第一积分然后无初速滑下。试通过存在的第一积分建立小环相对大环的运动微分方程。建立小环相对大环的运动微分方程。 解：解： 以小环作为研究对象以小环作为研究对象, , 它的自由度为它的自由度为 1, 1, 选择图中的选择图中的角为广义坐标。质点的动能用球坐角为广义坐标。质点的动能用球坐标表示。标表示。 约束方程：约束方程： 以大环中心作为重力势能零点以大环中心作为重力势能零点, 小

55、环的势能为：小环的势能为：拉格朗日函数为：拉格朗日函数为： 因因 L显含显含, 因此不存在广义动量积分因此不存在广义动量积分. 但但 所所以小环的广义能量守恒。以小环的广义能量守恒。 所以：所以： 常量常量常量常量将将 T2 和和 T0 代入上式代入上式 , 得：得：根据初始条件根据初始条件, t = 0 时时, , , H 0 = mgR , 因此小环的运动微分方程为：因此小环的运动微分方程为： 本例题的广义能量是相对于与大环固连的非惯性系的本例题的广义能量是相对于与大环固连的非惯性系的总能量。总能量。即：即： 长长 2a, 2a, 质量为质量为 m m 的匀质直杆的匀质直杆 AB , A

56、AB , A 端与光端与光滑水平面接触滑水平面接触, , 在重力作用下从竖直位置被自由释放倒在重力作用下从竖直位置被自由释放倒下。求杆落地瞬间的角速度。下。求杆落地瞬间的角速度。 解：解： 杆的自由度为杆的自由度为 2 2 。建立如图坐标系建立如图坐标系 Oxy Oxy ，坐，坐标平面标平面 Oxy Oxy 与杆端点与杆端点 A A 和和质心质心 C C共面共面, A , A 端在端在 x x 轴轴上。选择上。选择A A 端的坐标端的坐标 x x 和和杆与水平轴的夹角杆与水平轴的夹角 为广为广义坐标。杆的动能：义坐标。杆的动能：坐标变换方程为：坐标变换方程为：将变换方程及将变换方程及 代入代入

57、, 动能写成动能写成以原点以原点 O为重力势能零点为重力势能零点, 杆的势能为杆的势能为 , 拉拉格朗日函数为：格朗日函数为：因因 所以：所以：表示在水平方向杆的动量守恒表示在水平方向杆的动量守恒 根据初始条件根据初始条件, t = 0 时时, , 则则 C = 0 . 由上式得：由上式得：由于由于 t = 0 时时, , 杆的机械能杆的机械能为为 E = mga , 所以所以常量常量当杆落至地面时当杆落至地面时, = 0 , 杆的角速度为杆的角速度为又因又因 , 且且 T = T2 , 所以杆的机械能守恒所以杆的机械能守恒 另解另解: 建立如图坐标系建立如图坐标系Oxy , 坐标平面坐标平面

58、Oxy 与杆端点与杆端点 A和质心和质心 C 共面共面, A 端在端在 x 轴上。因水平方向不受外力轴上。因水平方向不受外力, 故故水平方向动量守恒水平方向动量守恒, XC 不变。杆的自由度为不变。杆的自由度为 1。选择杆与。选择杆与水平轴的夹角水平轴的夹角 为广义为广义 坐标。坐标。 杆的动能杆的动能坐标变换方程为坐标变换方程为将变换方程及将变换方程及 代入代入, 动能写成动能写成以原点以原点 O为重力势能零点为重力势能零点, 杆的势能为杆的势能为 , 拉拉格朗日函数为：格朗日函数为：由于由于 t = 0 时时, , 杆的机械能杆的机械能为为 E = mga , 所以所以常量常量当杆落至地面

59、时当杆落至地面时, = 0 , 杆的角速度为杆的角速度为又因又因 , 且且 T = T2 , 所以杆的机械能守恒所以杆的机械能守恒 试用拉格朗日方程建立用球坐标表示的质点试用拉格朗日方程建立用球坐标表示的质点的运动微分方程。的运动微分方程。 解：解： 广义坐标为球坐标（广义坐标为球坐标（ r , , ）的自由质点的动能）的自由质点的动能为为 ：设质点受主动力设质点受主动力 作用作用, 其虚功为其虚功为故故将动能广义力代入拉格朗日方程将动能广义力代入拉格朗日方程: :经运算经运算, , 得到质点的运动微分方程得到质点的运动微分方程: : 等式左边的括号分别是加速度在球坐标系中的等式左边的括号分别

60、是加速度在球坐标系中的3 3个分个分量量 a ar r 、a a 和和 a a 。 在一光滑桌面上放一直角尖劈在一光滑桌面上放一直角尖劈, , 质量为质量为m m1 1 , , 倾角为倾角为 , , 有一水平常力有一水平常力 作用其上作用其上, , 如图所示。斜如图所示。斜面上有一匀质圆柱体从尖劈的高处向下做无滑滚动面上有一匀质圆柱体从尖劈的高处向下做无滑滚动, , 圆柱圆柱的质量为的质量为m m2 2 , , 半径为半径为 R , R , 受不变阻力矩受不变阻力矩 的作用。的作用。求由尖劈和圆柱体组成的系统的运动微分方程。求由尖劈和圆柱体组成的系统的运动微分方程。 解解 ：建立固定直角坐标系