微积分学基本定理

1、 微积分学基本定理微积分学基本定理 与定积分的计算与定积分的计算 .)()(babadttfdxxf且且存存在在则则有有定定积积分分上上可可积积在在若若badxxfbaf)(,因因而而有有上上可可积积在在,xaf存存在在,bax xadttf)( 定义定义 ,)()(,)(baxdttfx，baxfxa则上可积在设称称为为变变上上为为自自变变量量的的函函数数定定义义了了一一个个以以积积分分上上限限，x.或或积积分分上上限限函函数数限限的的定定积积分分，.,)()(称称为为变变下下限限的的定定积积分分类类似似地地baxdttfx，bx .统称为变限积分统称为变限积分与与 一一 变限积分与原函数的

2、存在性变限积分与原函数的存在性1 变限积分的概念变限积分的概念。x 以免混淆分变量写成在变限积分中不可将积注,1。dttfdttfaxxa因此只讨论变上限积分由于注,)()(22 变限上积分的性质变限上积分的性质1) 连续性连续性定理定理9.9.,)()(,上连续在则上可积在若badttfx，bafxa 证明证明: : ,baxxx，ba 只只要要上上任任一一确确定定的的点点对对按按变变上上限限积积分分的的定定义义有有.)()()( xaxxxxxadttfdttfdttf .,)(,batMtfbaf 可可设设上上有有界界在在因因时时有有当当于于是是0, x;)()(xMdttfdttfxx

3、xxxx , 0lim.00 xxMx由由此此得得到到时时则则有有当当.,.上上处处处处连连续续在在的的任任意意性性由由连连续续在在点点即即证证得得bafxx abxyoxx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x 定理定理9.109.10 上在则可变上限积分上连续在若,ba，baf且且处处可导处处可导，.,),()()(baxxfdttfdxdxxa 2) 原函数存在定理原函数存在定理(微积分学基本定理微积分学基本定理) dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )(

4、 ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x注注 )()()()(xxfxxf )()()()(xxdttfdxdxF 如如果果)(tf连连续续，)(x 、)(x 可可导导，（1）)()()()()(xfdttfxFdttfxFxaax 则则（2）)()()()()()()()(xxfdttfxFdttfxFxaxa 则则要性微积分学基本定理的重注(i) 解决了原函数的存在性问题解决了原函数的存在性问题(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系沟通了导数与定积分之间的内在联系(iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据

5、为寻找定积分的计算方法提供了理论依据精僻地得出精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数上的连续函数一定存在原函数,且且, ba 是是 的一个原函数这一基本结论的一个原函数这一基本结论.)(x )(xf为微分学和积分学架起了桥梁为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学因此被称为微积分学基本定理基本定理.)(x 定理指出定理指出 是是 的一个原函数的一个原函数,而而 又是变上限又是变上限)(xf)(x 积分积分,故故 baaadxxfadxxfb)()(,)()( . )()()( baabdxxf 上上的的在在是是且且上上连连续续在在若若函函数数,)()(,baxfxFbaf则则一一个个原

6、原函函数数，证明证明:)()(| )()(aFbFxFdxxfbaba又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已已知知)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，CdttfCxxFxa)()()(,bax （iiii) Newtomleibnize公式公式（微积分基本公式）（微积分基本公式）证明证明令令ax CCdttfaFaa)()(则),()()(aFxFdttfxa 令令bx 牛顿牛顿(Newton)莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式).()()(aFbFdxxfba 则则CdttfxFxa)()()()()(aFbFdxxfba 微积分基本公

7、式表明：微积分基本公式表明： baxF)( (1) 一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间,ba上上的的增增量量. (3)当当ba 时时，)()()(aFbFdxxfba 仍仍成成立立. (2)求定积分问题转化为求原函数不定积分求定积分问题转化为求原函数不定积分的的问题的的问题.例例 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21

8、e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.3 积分第二中值定理积分第二中值定理1) 定理定理9.11，baf上可积在设函数,)5(;)()()()(, 0)(,)(abadxxfagdxxgxfbaxgbagi使得则且上减在若函数)6(;)()()()(, 0)(,)(bbadxxfbgdxxgxfbaxgbagii使得则且上增在若函数2) 推论推论,为单调函数若上可积在设函数gbaf使得则,ba;)()()()()()(abbadxxfbgdxxfagdxxgxf证明证明:,),()()(,增函数为非负则令为增函数若、hagxgxhg使得由定理,),(1

9、1. 9baiibadxxhxf)()(bdxxfbh)()(bdxxfagbg)()()(,)()()()()()(bababadxxfagdxxgxfdxxhxf由于因此证得因此证得badxxgxf)()(badxxfag)()(bdxxfagbg)()()(adxxfag)()(.)()(bdxxfbgbadxxhxf)()(bdxxfagbg)()()(问题的提出问题的提出 我们知道求定积分的关键是求原函数，而我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些有换元法，那么定

10、积分是否也有换元法，有哪些不同？不同？ 在一定条件下，可以用换元积分法与分在一定条件下，可以用换元积分法与分部积分法来计算定积分部积分法来计算定积分. .二二 换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法定理定理9.121 定积分的换元法定积分的换元法(Formula for Integration by Substitution)且满足可微上连续在连续在若函数,baf)9()()()(dtttfdxxfba,)(,)(,)(tbtaba则有定积分换元公式则有定积分换元公式证明：证明：设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，)()()()()(ttfttFtFdtd则的一个原函数是所

11、以)()()(ttftF)()()()(FFdtttf)()(aFbFdxxfba)(注意注意 当当 时，换元公式仍成立时，换元公式仍成立. .说明说明（1）（2）。baf严格单调也可上在上可积在定理条件换成,（3）dxxftdtfdtttftx)()()()()()()()(,)9(从右到左成立式从左到右例例1 1 计算计算解解102.1dxx令令,sintx 1x,2 t0 x, 0 t,costdtdx 原式原式202costdt202cos121dtt20|2sin2121tt.4例例2 2 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t

12、205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 此题也可简要记法如下：此题也可简要记法如下： 205sincos xdxx.coscos205 xxd616cos206 x例例3 3 计算计算解解.1)1ln(102dxxxJ. 10,40,tan增到从时变到从当令xttx得及于是由公式21)9(xdxdtJ40)tan1ln(dttdtttt40cossincoslndttt40cos)4cos(2lndt2ln40dtt)4cos(ln40tdtcosln40. 2ln8有作变换对,4)4cos(ln40tudttdtt)4cos(ln4004)(cosl

13、nduuuducosln40它与上面第三个积分相消它与上面第三个积分相消,故故dtJ2ln40Jdt2ln40dtt)4cos(ln40tdtcosln40定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式. )()(|)()()()(bababaxduxvxvxuxdvxu2 定积分的分部积分法定积分的分部积分法(Formula for Integration by Parts)定理定理9.13bababadxxvxuxvxudxxvxu)()(|)()()()(注注:为方便起见为方便起见,分部积分公式常写成分部积分公式常写成证明证明),()()()()()(xvxuxvxuxvxudxxvxuxvxuba)()()()(badxxvxu) )()(baxvx