高中数学必修基本初等函数常考题型对数函数及其性质的应用复习课

1、对数函数及其性质的应用（复习课）【常考题型】题型一、对数值的大小【例1】（1）下列大小关系正确的是（）A. 0.43：二304：二log40.33_0.4B. 0.4<log40.3:二3C. log40.3:二0.43：二30.4D. log40.3<30.4<0.43E. ）比较下列各组值的大小.F. 3.4 l0g5与l0g5一；43 logi2与10g12；35Dlogz3与log54.(1)解析0<0.43<1,30.4>1,10g40.3<0,故选C.答案C（2）解法一：对数函数y=1og5x在（0,y）上是增函数,1og5一:1og5-.

2、43法二：log53<0,4.,3,4Tog510g5一.43一11由于10g12=,10g12=.310g2510g2-35又因对数函数y=1og2x在(0,y)上是增函数，且1>,3511 0 >10g2 一 > 10g2 一，351二110g2110g21351og22:：1og：2.35取中间值1,.Iog23>log22=1=log55log54,.log23log54.【类题通法】比较对数值大小的方法比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性.(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性

3、的影响，对底数进行分类讨论.(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较.(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.【对点训练】比较下列各组中两个值的大小：(1) ln0.3,ln2；(2) loga3.1,loga5.2(a>0,且a1);(3) 10g30.2,log40.2；(4) 10g3n,log冗3.解：(1)因为函数y=lnx是增函数，且0.3<2,所以ln0.3二ln2.(5) 当a>1时，函数y=logax在(0,十资)上是增函数，又3.1<5.2,所以lo

4、ga3.1<loga5.2;当0<a<1时，函数y=logax在(0,y)上是减函数，又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.11rr(3)因为0>log023log024,所以<,即10g30.2<10g40.2.log0.23log0.24(4)因为函数y=log3x是增函数，且3>3,所以10g3n>log33=1.同理，1=1og冗兀1ogn3,所以10g3n>logH3.题型二、求解对数不等式5-1【例2】(1)已知a=-5-1,若logam>loga5,则m的取值范围是.2一1(2)已知loga&

5、gt;1,则a的取值范围为2(3)已知10go.72x<1og0.7(x1),则x的取值范围为.解析(1)：0<a<1,.f(x)=logax在(0,48)上是减函数,10:m：5.1 1.由lOga>1得10ga->10gaa.221当a>1时，有a<,此时无解.21当0<a<1时，有1<a,21从而一：二a=：1.2，a的取值范围是'-,1h2(3)二,函数y=1og0.7X在(0,Z为减函数，2x0I由log0.72x<10go.7(x-1)得x-1a0,解得x>1,2xx-1即x的取值范围是(1,十无).C

6、L1/答案(1)0<m<5(2)-,1I(3)1/Hc2【类题通法】常见对数不等式的解法常见的对数不等式有三种类型：(1)形如logaxAlogab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论.(2)形如logaxAb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y=logax的单调性求解.(3)形如logaxAlogbx的不等式，可利用图象求解.【对点训练】若a>0且a#1,且loga(2a+1)<loga3a<0,求a的取值范围.解：不等式可化为loga(2a+1)<loga3a

7、<loga1,0 :二 a ：二 12a 1 3a3a 1a>1等价于?a+1>0或2a1:二3a一0:二3a：二11.一1解得<a<1,即a的取值范围为，1I.33题型三、对数函数性质的综合应用【例3】(1)下列函数在其定义域内为偶函数的是()A.y=2xB.y=2x2C.y=log2xD.y=x(2)已知f(x)=loga(aax)(a>1).求f(x)的定义域和值域；判断并证明f(x)的单调性.(1)解析指数、对数函数在其定义域内不具备奇偶性，故选D.答案D(2)解由a:>1,aax>0,即a>ax,得x<1.故f(x)的定义域

8、为(-°0,1).由0<aax<a,可知loga(a-ax)<logaa=1.故函数f(x)的值域为(-°0,1).f(x近(*,1廿为减函数，证明如下：任取1ax1Ax2，又a>1,1-ax1>ax2,a-ax1<a-ax2,loga(a-ax1)<loga(a-ax2)，即f(%)<f(x2)，故f(x/(-°0,1)上为减函数.【类题通法】解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算.解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知

9、识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路.【对点训练】已知函数f(x)=loga(3ax),(1)当xW10,2】时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使得函数f(x产区间1,2上为减函数，并且最大值为1?如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.解：(1)由题设，3-ax>0对xw10,2M亘成立，且a>0,a=1.设g(x)=3-ax,则g(x卢0,2上为减函数,g(x1.=g(2)=3-2a>0,a的取值范围是0,1 u 1,|(2)假设存在这小¥的实数a,则由题设知f(1)=1,3

10、即loga(3-a)=1,.a=2此时fx=log3i3-3x.2.2但x=2时，f(x)=log30无意义.故这样的实数a不存在.2【练习反馈】1设a=log54,b=logs3,c=log45,贝U()A.a:c:bB.b:c:aC.a:b:cD.b:二a:c解析：选D由于b=log53<a=log54<1<log45=c,故b<a<c.12.函数f(x)=lgt一的奇偶性是()kJx2+1xxJA.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数解析：选Af(x)定义域为R,1=lg；_2=lg1=。,x1-x.f(x)为奇函数，故选A.3.不等式10g1(

11、2x+1)>log(3x)的解集为2x 1 0解析：由题意 3 -x . 02x 1 ：3 -x1x > 2, x < 32 x<- 、3一一 ：x : 一 .2312答案：<x -一 <x <-,1 一4.设a>1,函数f(x)=logax在区间 h2a上的最大值与最小值之差为 -,则2 =解析：a >1 ,f (x)=logax在 b,2a上递增, c1loga(2a)-logaa = -, 2rr1即 loga2 31a2 =2,答案：4a =4.函数 f (x )=loga(1+x ) , g(x)=loga(1x)其中(a>0且a=1),设h( x)= f X (g).x(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由;(2)若f (3 ) = 2,求使h(x )<0成立的x的集合.解：(1)f (x)=lOga(l+x)的定义域为gx=lOga(l - x的定义域为x x <11- h(x )= f (x )-g(x )的定义域为x x> -1)n xx<1 = x-1h(x)=f(x)-g(x)=loga(1+x)-loga(1-x),h(-x)=lOga(1-x)loga(1+x产loga