有限元第九讲等参单元

1、8 等参单元v第二是单元几何上的限制，矩形和六面体（长方体）单元要求单元的边（面）平行于坐标轴（面），因此都不能模拟任意形状和方位的结构。此外，线性单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。回顾前面的各种二、三维单元，这些单元受到两个方面的限制：v第一是单元的精度，显然单元的节点数越多，单元精度越高。因此在这一点上，矩形单元优于3节点三角形单元，六面体单元优于四面体单元；任意四边形和任意六面体单元的位移模式、形函数的构造和单元列式的导出不能沿用前面构造简单单元的方法，必须引入所谓的等参变换，采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。这种单元称为等参单元。解决上述矛盾的出路

2、就是突破矩形单元和六面体单元几何上的限制，使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元，如果再增加边中间节点，还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。二、平面四节点等参元下图为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度。将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。1、局部坐标系与位移模式建立位移模式时的新问题：如果直接用x，y坐标系下的双线性位移模式，由于任意四边形单元的边界与坐标轴不平行，因此位移沿边界呈二次函数变化，单元在公共边界上不满足协调性。因此须建立一种新的局部坐标系-（如图），使得4条边上有一个局部坐标为常数（1）

3、，显然，该局部坐标系随单元形状变化，两组坐标线一般不正交。单元内，所有点的坐标、皆在-1与+1之间。所以该坐标系可称为单元的自然坐标系。-平面内，单元是一个边长为2的正方形。称-平面内的正方形单元为基本单元或母单元。x-y平面内的任意四边形单元称为实际单元或子单元。显然，母单元的节点对应于不同的x，y坐标就得到不同的任意四边形单元。该局部坐标系在x-y平面上的任意四边形单元与-平面上的正方形单元之间形成了1-1对应的映射。正方形的4个顶点对应任意四边形单元的四个节点； 4条边对应任意四边形单元的4条边；正方形内任一点p(,)对应于任意四边形内一点p(x,y)。44332211uNuNuNuNu

4、44332211vNvNvNvNv建立了局部坐标系或映射后，我们可以在-平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。任意四边形单元在母单元中的位移模式插值公式（或者称为-坐标系下的位移模式）可以参考矩形单元的位移模式写为：)1)(1 (41iiiN其中，形函数为：ii,为i节点的局部坐标。v显然该位移模式关于,坐标是双线性位移模式，在x，y坐标系下不是双线性位移模式。由于实际单元的边界上有一个局部坐标为常数，因此位移沿单元边界线性变化，能保证单元的协调性。4141iiiiiiyNyxNx为了得到上述映射的数学表达式，在母单元上引入x，y坐标插值的思想：母单元上任意一点在实际单元中对应点的

5、x，y坐标由节点的x，y坐标插值得到，并采用与位移插值相同的插值函数。从而得到一个数学变换式：)1)(1 (41iiiN(i=1,2,3,4) 2、坐标变换关系式上述映射是利用母单元描述实际单元力学特性的桥梁。由于该几何变换式中采用了与位移插值相同的节点和参数（插值函数），因此称为等参变换。而所有采用等参变换的单元称为等参单元。等参单元是一个单元家族，目前在通用程序中广泛采用。这样就得到一个事实上的映射，只要验证该映射把母单元映射成实际单元，就是所需要的映射，实际单元上局部坐标系就满足前面设定的要求。而事实上正是如此。4141iiiiiiyNyxNx3、单元刚度矩阵计算1）形函数导数的坐标变换

6、等参单元中形函数是局部坐标,的显函数，而计算应变时需要形函数对x,y坐标的导数。根据等参变换式， ,和 x,y之间有一定函数关系，由复合函数求导规则有： yNxNJyNxNyxyxNNiiiiii从上式解出： iiiiNNJyNxN1 坐标变换的雅可比矩阵yxyxJ2、刚度矩阵积分式的坐标变换对平面问题的四节点等参元，计算出应变矩阵后，单元刚度矩阵由下式决定：从而可以计算应变矩阵： )4 , 3 , 2 , 1(00ixNyNyNxNBiiiii hdBDBkTee由于B矩阵已是,的函数，上式积分应该在自然坐标系下进行，或者说进行积分变量替换。由二维重积分变量替换公式得到： ddJhBDBkT

7、e 11113、刚度矩阵的数值积分由于等参单元刚度矩阵积分式中被积函数很难导出解析表达式，因此等参单元的计算都采用数值积分求积分的近似值，考虑到减少计算点数，多采用高斯数值积分。一维积分高斯求积公式：111)()(NiiiwxfdxxfI分别按积分表选取。）。为积分点数目（积分阶为权重，为积分点，Nwxii关于高斯积分有如下结论：采用N个积分点的高斯积分，如果被积函数是2N-1阶及以下的多项式，则高斯求积公式给出准确结果。对于二、三维高斯积分，有： LiMjjijiwwfddfI111111),(),( LiMjNkkjikjiwwwfdddfI111111111),(),(沿不同的坐标方向可

8、以取不同积分阶L,M,N，对应的坐标位置（积分点）和权重分别按一维积分表选取。对于平面四节点等参元，刚度矩阵积分通常在,方向各采用2个积分点（22积分）： 2121jkkjjkjkTjkehwwJBDBk三、平面8节点曲边四边形等参元简介上述构造4节点任意四边形等参单元的方法完全可以用于构造更复杂的等参元。对于二维问题，一个精度更高的单元是8节点曲边四边形单元，该单元的建立同样需要等参变换，因而也是等参单元。该单元及其母单元如图4-4所示。)8 , 7)(1)(1 (21)6 , 5)(1)(1 (21)4 , 3 , 2 , 1)(1)(1)(1 (4122iNiNiNiiiiiiiii该单

9、元在母单元中的位移模式为包含完全二次式的不完全三次多项式。插值函数可以用形函数性质直接构造。对应图中局部节点编号，8个节点形函数为：容易验证，上述形函数满足形函数性质。相应等参变换把母单元的4条直线边界映射为实际单元中的4条抛物线边界。即如果实际单元的边是抛物线，则等参变换是实际单元和母单元之间的精确变换。根据上述形函数插值得到的位移在单元边界上呈二次抛物线变化，由边界上三个节点位移唯一确定，所以，边界上满足协调性。8节点平面等参元刚度矩阵计算方法及其数学变换原理与前面4节点等参单元相同。单元等效节点力积分的计算，在单元上和边界上也是采用高斯数值积分。四、20节点三维等参元简介三维结构有限元分

10、析中采用高精度单元将具有问题的节点、单元数目少，求解精度高的特点。而带有边中节点的任意六面体单元是三维实体单元的首选，该单元必须采用等参单元技术加以实施。如图所示，单元每个边有3个节点，共20个节点。单元上建立曲线自然坐标系 ,每个单元边界面上有一个局部坐标值为常数（+1或-1）。因此，每个实际的曲面六面体单元映射为 坐标系下边长为2的立方体单元（母单元）。单元的形函数可以看作是平面8节点曲边四边形等参元形函数在三维空间的推广：8个角节点 :)8, 2 , 1(i)2)(1)(1)(1 (81iiiiiiiN)15,13,11, 90ii的边点（对于)1)(1)(1 (412iiiN)16,1

11、4,12,100ii的边点（对于)1)(1)(1 (412iiiN)20,19,18,170ii的边点（对于)1)(1)(1 (412iiiN位移模式插值公式201iiiiiwvuNwvu20节点三维等参元的位移模式沿某个自然坐标是完全二次多项式，因此该单元称为二次等参元，是典型的高精度单元。根据形函数性质，相邻单元在交界面上的位移仅仅由公共节点的位移在交界面上插值决定，因此该单元的协调性得到满足。此外，该单元满足完备性条件，因此单元是收敛的。如果实际六面体单元的边/面是抛物线/面，那么上述等参变换就是实际所需要的变换。否则，等参变换仅仅是一种近似的变换。201iiiiizyxNzyx等参变换三维等参单元的力学分析和数学分析原理和方法与平面等参元相同。五、等参变换的条件等参变换要保证母单元与实际单元之间形成1-1对应的映射，数学上的条件是变换的Jacobi行列式大于零。要保证这个条件，单元的几何必须满足一定要求，主要是：单元形状不能过度畸变；边中节点不能过于偏离中间。六、等参单元评价等参单元形状、方位任意，容易构造高阶单元，适应性好，精度高。等参单元列