现代数字信号处理章

1、现代数字信号处理现代数字信号处理Modern (Advanced) Digital signal Processing 在电子信息与通信工程学科的各专业中，为本科生开出的数字信号在电子信息与通信工程学科的各专业中，为本科生开出的数字信号处理课程，主要讲授的有：离散时间信号和系统的基本理论，离散付里处理课程，主要讲授的有：离散时间信号和系统的基本理论，离散付里叶变换及快速算法（叶变换及快速算法（DFT、FFT）等，这称为所谓）等，这称为所谓“经典经典”理论。理论。 而作为电子信息与通信类研究生开设的这门学位课，主要内容为：而作为电子信息与通信类研究生开设的这门学位课，主要内容为：最佳线性滤波（维

2、纳滤波和卡尔曼滤波），自适应信号处理，现代谱估最佳线性滤波（维纳滤波和卡尔曼滤波），自适应信号处理，现代谱估计理论，同态信号处理，阵列信号处理，人工神经网络和小波变换在信计理论，同态信号处理，阵列信号处理，人工神经网络和小波变换在信号处理中的应用，以及数字信号处理的硬件实现等。它们大多是近十多号处理中的应用，以及数字信号处理的硬件实现等。它们大多是近十多年来发展迅速和应用广泛的前沿学科领域，其中不少属交叉学科领域。年来发展迅速和应用广泛的前沿学科领域，其中不少属交叉学科领域。 因此，取名为因此，取名为“现代数字信号处理现代数字信号处理”。 但但“经典经典”与与“现代现代”没有严格的界线，因为许

3、多没有严格的界线，因为许多“经典经典”内容，内容，也曾一度作为新兴前沿学科，而今正在发展的也曾一度作为新兴前沿学科，而今正在发展的“现代现代”理论和方法，终理论和方法，终有成为有成为“经典经典”的一天。的一天。 本课程总学时数有限，许多内容还要同学们自学，不然的话，在这本课程总学时数有限，许多内容还要同学们自学，不然的话，在这有限的学时中，很难完成我们的教学内容和学习目的。有限的学时中，很难完成我们的教学内容和学习目的。 本课程也是通信类博士考试的必选专业课。本课程也是通信类博士考试的必选专业课。 绪论绪论Chapter 1 基础知识基础知识 1.1 离散随机信号及其数字特征离散随机信号及其数

4、字特征 1.2 相关抵消相关抵消 1.3 Gram-Schmidt正交化正交化 1.4 功率谱和周期图功率谱和周期图 1.5 谱分解谱分解 1.1 离散随机信号及其数字特征离散随机信号及其数字特征 一、一、随机信号随机信号指不能用确定性的时间函数来描述，只能用指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法统计方法研究的信号。研究的信号。 统计特性统计特性 ：概率分布函数、概率密度函数：概率分布函数、概率密度函数 统计平均统计平均：均值、方差、相关：均值、方差、相关 在时域离散情况下的随机过程在时域离散情况下的随机过程离散随机信号离散随机信号二、二、离散随机信号离散随机信号 视为视为 随机矢量随

5、机矢量 常用的数字特征是各种平均特性及相关函数等。常用的数字特征是各种平均特性及相关函数等。 说明：说明： 我们考虑的是：我们考虑的是：各态历经信号各态历经信号指无限个样本在某时刻所历指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。 所以只需测量一次样本就是以描述所有样本的随机特性。所以只需测量一次样本就是以描述所有样本的随机特性。 还有：我们研究的多是：还有：我们研究的多是：平稳随机信号平稳随机信号其均值和相关不其均值和相关不随时间变化。随时间变化。 TnxxxX),(10Note：各态历经信号一定是平稳

6、随机信号，反之不然。各态历经信号一定是平稳随机信号，反之不然。 定义：定义： 均值：均值：1lim10nNnnNxxExNm 方差方差:)(1lim22102xnxnNnNxmxEmxN我们讨论的是我们讨论的是 零均值的随机信号，即零均值的随机信号，即0nxE0nxE可重新定义，让可重新定义，让 零均值。零均值。)(nnxExNote： 也为该信号的交流功率（平均也为该信号的交流功率（平均功率功率）。）。22nxxE 相关函数：即在时刻相关函数：即在时刻n、m的相关性。的相关性。 自相关函数（一个随机信号）自相关函数（一个随机信号） 互相关函数（两随机信号）互相关函数（两随机信号）自相关函数：

7、自相关函数：1lim),(10mnmnNnNxxxxExxNmnR 白噪声信号白噪声信号)()(2kxxEkRxnknxx互相关函数：互相关函数：),(mnxyyxEmnR 自协方差函数自协方差函数:2),(),(xxxxxmmnRmnC三、三、N 维随机矢量维随机矢量 是由是由N个不同随机变量为分量构成：个不同随机变量为分量构成： N维随机矢量维随机矢量X的均值也是一个的均值也是一个N 维矢量：维矢量： X的自相关函数：是一个的自相关函数：是一个 维的正半定对称矩：维的正半定对称矩：也称平均互功率矩阵。也称平均互功率矩阵。 用它来描述用它来描述N 维矢量中任两个元素间的相关程度，维矢量中任两

8、个元素间的相关程度，X 的自协方差函数也是个的自协方差函数也是个 的正半定对称矩阵：的正半定对称矩阵：且：且： ，类似于，类似于 （零均值）时，（零均值）时，12( ,)TNXx xx)(XEm NN )(TXXER TmXmXENN TmmR 222)(xExEX0mR1.2 相关抵消相关抵消如果如果X、Y分别是分别是N维和维和M维零均值随机矢量，且它们相关：维零均值随机矢量，且它们相关：0TxyXYER 现对现对Y进行线性变换（让变换后的矢量与进行线性变换（让变换后的矢量与X不相关），得：不相关），得：HYX （H是是 维）维）MN 构造：构造： ，使，使e与与Y不相关：不相关：eXXXH

9、Y0TeyeYER即即0)(YYXYTTeYHRRYYHEXYER111 TTXYYYXYYYHRRE XYE YYRR此式具有三个功能，即：此式具有三个功能，即： 最佳线性估计最佳线性估计 相关抵消相关抵消 最佳信号分离最佳信号分离由此构成相关抵消器原理图：由此构成相关抵消器原理图：HxyHYX HYXXXe-+1.2 相关抵消相关抵消21XXX0021YXEYXEXX1此式具有三个功能，即：此式具有三个功能，即： 最佳线性估计最佳线性估计 相关抵消相关抵消 最佳信号分离最佳信号分离由此构成相关抵消器原理图：由此构成相关抵消器原理图：HxyHYX HYXXXe-+HYXXXeHYX111mi

10、n1121TeeeeER021dHdRee11yyyxoptRRH2Xe 1.3 Gram-Schmidt正交化正交化 一、基本定义一、基本定义 内积的定义：设内积的定义：设u、v为线性空间的任二矢量为线性空间的任二矢量eX和由前面分析可知：由前面分析可知：任一矢量任一矢量X 相对于相对于Y可分为两部分：可分为两部分：一部分为：一部分为：另一部分为：另一部分为：e与与Y不相关不相关两部分的相关函数：两部分的相关函数：并且，可以证明并且，可以证明 相互正交。相互正交。 exX ) (xXe相关和Yx Hyx 0eyR0 TeYTTTxeHRHeYExeER不相关。、说明：xexexe,0,)(,

11、vuEvuT其内积为：其内积为： 两矢量正交：两矢量正交：x 二、正交投影定理二、正交投影定理 定理：矢量定理：矢量X在线性空间在线性空间Y上的正交投影上的正交投影 是是 Y 中与中与 x 距离最近的一个矢量。距离最近的一个矢量。定理说定理说明：明：)(|)()(22222eEyxEeyxEyxE由 可见，说明用可见，说明用Y中随机变量的线性组合来逼近中随机变量的线性组合来逼近x时，在最小二乘方的意义上，时，在最小二乘方的意义上， 是最佳的。是最佳的。x 这是因为：这是因为：)(,|)(2|222222yxeYyxYeYxeyxeyxeyxeyxyx由内积空间中两矢量由内积空间中两矢量U、V

12、的距离公式：的距离公式： )(,|2vuEvuvuvu就可得前面的结论。就可得前面的结论。三、三、Gram-Schmidt正交化正交化 这是一个递归处理过程：其目的是由非正交基底这是一个递归处理过程：其目的是由非正交基底 ,求出一组正求出一组正交基底交基底 。 ,2myyy,21n处理过程为：处理过程为： 这样构造出的基底这样构造出的基底 是是Y 的正交基底。的正交基底。 ,21nmnEyEyEyEEyEyEyEyyiiiinninn2 111212223111113331111122211设设1.5 功率谱和周期图功率谱和周期图一、定义：功率谱又称功率谱密度定义为自相关函数的付里叶变换。一、

13、定义：功率谱又称功率谱密度定义为自相关函数的付里叶变换。 对于离散时间实平稳随机信号对于离散时间实平稳随机信号 的功率谱的功率谱 定义为：定义为： nx)(zSxx的双边正变换：的双边正变换：)(kRxxkxxkxxzkRzS)()()(nknxxxxEkR式中：二、说明二、说明 若若 是稳定的，则是稳定的，则 的收效域包括的收效域包括 ， 令令 ，便为，便为功率谱功率谱： )(kRxx)(zSxx1|zjwez ()( )jwkxxxxkSwRk e 不相关随机信号（白噪声），其自相关函数不相关随机信号（白噪声），其自相关函数 ：)()(2kkRxxx其功率谱其功率谱 ：2)(xxxwS 两

14、实平稳随机信号两实平稳随机信号 )(nknxynnyxEkRyx，和根据定义，互功率谱根据定义，互功率谱 kxykxyzkRzS)()(且有：且有： )()()()(1zSzSkRkRxyxyxyyx，三、周期图三、周期图 说明：说明： 在实际应用中，通常观测到的是信号的有限个（在实际应用中，通常观测到的是信号的有限个（N个）取样值，用个）取样值，用 表示，表示，可以认为它是分段平稳随机信号中的一段，也可以看成是从平稳随机信号中截取出来可以认为它是分段平稳随机信号中的一段，也可以看成是从平稳随机信号中截取出来的一段数据。的一段数据。 我们知道，平稳随机信号，无论从何时开始取其中任何一段长为我们

15、知道，平稳随机信号，无论从何时开始取其中任何一段长为N 的数据，所计的数据，所计算出来的均值算出来的均值或或自相关值都是相同的。自相关值都是相同的。)(nYN)(nYN 信号信号 可以看成是用宽为可以看成是用宽为N 的数据窗的数据窗W(n)从平稳随机信号从平稳随机信号y(n)中截取出来的，中截取出来的，即：即： ),()()()(110NNyyynwnyny则自相关函数：则自相关函数： 取样自相关，1|1)(|10NkyyNkRnknkNnyy)(*)(1)(kykyNkRNNyy可看成：可看成： 定义：定义： 由此得周期图的定义：取样自相关函数的双边由此得周期图的定义：取样自相关函数的双边Z

16、变换变换：kyyNNkyyzkRzS)()(1)1(考虑到：时域卷积考虑到：时域卷积 对应对应频域相乘频域相乘 变换的是znyzYzYzYNzSNyy)()()()(1)(1jwez 令2102|)(|1| )(|1)(jwnNNnyyenyNwyNwS上式很适合上式很适合FFT计算。计算。 讨论讨论 长为长为N 的数据来计算周期图，能达到的频率分辩率为：的数据来计算周期图，能达到的频率分辩率为：sfTN12，数学频率数学频率与物理频率与物理频率f，有，有 取样频率时域取样间隔TfTfs1:2NffNffss时时22,（物理）频率分辨率：（物理）频率分辨率： ksTNTNff11NTTk其中，

17、其中， 是数据段的持续时间，单位秒。是数据段的持续时间，单位秒。 1.5 谱分解谱分解 零点的位置不影响系统的幅频特性，只影响相频特性（亦不影响因果性和稳定性）。零点的位置不影响系统的幅频特性，只影响相频特性（亦不影响因果性和稳定性）。 即：即： 是最小相位序列，则其是最小相位序列，则其Z变换：变换： ),( If10Maaaa)1 ()1)(1 ( )(112110110zzzzzzazazaazAMMM式中：零点式中：零点 为最小延时多项式。为最小延时多项式。 zAMizi；, 2 , 1, 1|一、最小相位序列一、最小相位序列Z变换的所有零点都在变换的所有零点都在Z平面单位圆内的序列平面

18、单位圆内的序列最小相位序列，最小相位序列，当把当把 共轭倒序为共轭倒序为 时，相应的零点就从时，相应的零点就从 。 11zzi)(1*zzi*1iizzzz若若 在单位圆内，则在单位圆内，则 就在单位圆外。就在单位圆外。 iz*1/iZ 当将这当将这M个零点都移至单位园外时，它对应的序列就是最大相位序列或最大延时个零点都移至单位园外时，它对应的序列就是最大相位序列或最大延时序列。即全部零点在单位圆外。序列。即全部零点在单位圆外。 二、最大延时序列二、最大延时序列三、部分能量和最小延时三、部分能量和最小延时 序列序列 的总能量由帕斯瓦尔的总能量由帕斯瓦尔Parseval恒等式：恒等式： ),(1

19、0Maaaa振幅频谱)(| )(|21|220AdAamMm22120|naaa), 1 , 0(Mn可以证明：最小相位序列的能量主要集中在初始阶段。（具有最小延时）可以证明：最小相位序列的能量主要集中在初始阶段。（具有最小延时）而最大相位序列的能量主要集中在尾部。（具有最大延时）而最大相位序列的能量主要集中在尾部。（具有最大延时） 四、谱分解定理四、谱分解定理 定理：任何实平稳随机信号定理：任何实平稳随机信号 的有理功率谱，的有理功率谱， 都可唯一地表示成最小相位形式：都可唯一地表示成最小相位形式： ny)(zSyy)()()(12zBzBzSyy式中式中 为常系数，为常系数， 为有理函数，

20、为有理函数， 2)(zB)()()(zDzNzB2可调整可调整 ，使，使 、 为首为首1多项式，则分解唯多项式，则分解唯一一。 )(zN)(zD 意义：首先是保证了平稳随机信号模型的存在。意义：首先是保证了平稳随机信号模型的存在。 ny 任何一个平稳随机信号任何一个平稳随机信号 都可看作是：白噪声都可看作是：白噪声 激励一个激励一个LTI因果系统因果系统 产生输出的。产生输出的。 n zBn白噪声序列白噪声序列 B(z)nny因果、稳定、因果、稳定、LTI平稳随机信号模型平稳随机信号模型 谱分解定理的证明很简单。谱分解定理的证明很简单。 是实平稳随机信号是实平稳随机信号 的功率谱密度函数：的功

21、率谱密度函数： )(zSyyny 满足对称条件：满足对称条件： )()(1zSzSyyyy 如果如果 是它的实数零点，是它的实数零点， 则则 也是实数零点；也是实数零点； iZ1iZiZ如果如果 是复数零点，则是复数零点，则 的实数性质可以判定的实数性质可以判定 也将是一个复数零点；也将是一个复数零点； )(kRyy*iZ)(zSyy 说明说明 的分子多项式可以写成最小相位多项式之积的分子多项式可以写成最小相位多项式之积 ； )()(1zNzN 对于对于 的分母多项式也有类似的情况，即的分母多项式也有类似的情况，即 ； )(zSyy)()(1zDzD2可调整可调整 ，使，使 、 为首为首1多项

22、式，则分解唯一。多项式，则分解唯一。 )(zN)(zD 为使为使 是因果和稳定的，它的全部极点，即是因果和稳定的，它的全部极点，即 的全部零点都应在单位圆内，的全部零点都应在单位圆内，而为了使它的滤波器而为了使它的滤波器 是因果和稳定的，是因果和稳定的， 的全部极点即的全部极点即 的全部零点也应的全部零点也应在单位圆内，因此在单位圆内，因此 、 都应是最小相位的，该模型的输出功率正好为：都应是最小相位的，该模型的输出功率正好为：“谱谱分解分解” 定理，也保证了定理，也保证了 的成立。的成立。 )(zB)(zD)(1zB zB1)(zN)()()(12zBzBzSyy)(zN)(zD例：用谱分解

23、定理对有理功率谱例：用谱分解定理对有理功率谱 进行分解进行分解 )8 .01)(8 .01 (36.0)(1zzzSxx解：解： 由由上式分解为：上式分解为： )()()(12zBzBzSxxzzzSxx8 . 0118 . 01136. 0)(1其中：其中： zzBzzB8 .011)( ,8 .011)(11大家下去完成大家下去完成 的谱分解。的谱分解。)8 . 01)(8 . 01 (8 . 08 . 02)(11zzzzzSxxNote: 分母多项式不需分解，只对分子多项式分解分母多项式不需分解，只对分子多项式分解 。)1 ()1)(1 (8 . 08 . 021211fzfzffzfzzzzz2122(1)(1)11zfffzzffLet：再比较两边系数再比较两边系数 4 . 012)1 (22fffz6 . 1