txcl6-图像变换

1、图象变换概念为了有效和快速地对图像进行处理，常常需要将定义在原图像空间上的图像以某种形式转换到另外的一些空间，并利用在这些空间的性质方便地进行一些加工，最后转换到图像空间中以得到所需的效果。这种转换方法叫：图像变换图像空间-其他空间为正变换其他空间到图像空间-为逆变换数字图象处理图象变换概念图象变换一种重要的基本概念；是一种常用的、有效的分析工具。图象变换的目的简化图像处理问题的求解；利于取得图图像的特征；从概念上增强对图像信息的理解。图象变换是一种二维正交变换，正交变换必须是可逆的（可逆性），正变换和反变换的算法不能太复杂（计算不复杂，有快速算法），简化问题突出特征（有益于处理）；正交变换的

2、特点是在变换域中，图像的能量集中分布在低频部分，边缘和线信息反映在高频成分上。变换的实例对数变换（乘除变为加减）；拉氏变换（微分方程的求解）；傅立叶变换（频谱分析和滤波）。图像变换的应用图像增强、恢复、特征提取、压缩和形状分析。常见变换沃尔什哈达玛；哈尔变换；离散余弦变换；傅立叶变换；小波变换。数字图象处理频域与频域变换频域变换的理论基础就是“任意波形都可以用单纯的正弦波的加权和来表示”。 如图7-1(a)所示的任意波形， 可分解为图7-1(b)、 (c)、 (d)所示的不同幅值、 不同频率的正弦波的加权和。 为便于理解， 将图7-1(b)所示的正弦波取出来， 如图6-2所示。 如果将虚线表示

3、的振幅为1且初相位为0的正弦波作为基本正弦波， 则实线表示的波形可由其振幅A和初相位确定。 图象变换概念频域世界与频域变换频域世界与频域变换(a)(b)(c)(d)数字图象处理图1 任意波形可分解为正弦波的加权和 图象变换概念初相位振幅 A基本 正弦波(A1, 0)角频率OA数字图象处理图2 正弦波的振幅A和相位 图象变换概念由此， 图7-1(b)、 (c)、 (d)三个不同的正弦波形可以描述为图7-3所示的两幅图。 其中图7-3(a)表示振幅与频率之间的关系， 称为幅频特性; 而图7-3(b)表示初相位与频率之间的关系，称为相频特性。 这样便将图7-1(a)所示的时域波形f(x)变换到图7-

4、3所示的频域F(f)。 显然， 不管波形多么复杂， 均可将其变换到频域。图象变换概念数字图象处理图3（a）波形的频域表示(a) 幅频特性； (b) 相频特性 AOfOf(a)(b)数字图象处理图象变换概念时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下： )(),()(ffAxf正变换逆变换(1) 式中： A(f)、 (f)分别为幅值和相位与频率f之间的关系。 为能同时表示信号的振幅和相位， 通常采用复数表示法。 式(7-1)可用复数表示法表示为)()(fFxf正变换逆变换(2) 式中： F(f)用复数表示幅值、 相位与频率f之间的关系。数字图象处理图象变换通用描述-离散通用公式（一维）正变换，正变换

5、核；反变换，反变换核；变换性质由变换核性质决定。通用公式（二维）正变换，正变换核；反变换核；变换性质由变换核性质决定。变换特性 可分离的； 加法对称的。10),()()(NxuxgxfuT数字图象处理10),()()(NuuxhuTxf1010),(),(),(NxNyvuyxgyxfvuT 1010),(),(),(NuNyvuyxhvuTvyxf),(),(),(21vyguxgvuyxg函数相等),(),(21vyguxg图象变换通用计算方法可分离核一个具有可分离核的变换计算分两步，每步作一个一维变换，f(x,y)行变换，T(x,v)列变换。可分离的和对称核利用矩阵的优点：得到的变换矩阵

6、可分解成若干个具有较少非零元素的矩阵乘积，可以减少操作次数。数字图象处理102),(),(),(NyvygyxfvxT101),(),(),(NxuxgvxTvuTBAFABFBTBFABBAFABBTBAFAT1设计或构建核函数设计或构建核函数连续函数的傅立叶变换连续函数的傅立叶变换 若把一个一维输入信号作一维傅立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率（幅值和相位）构成。这是一种分析与处理一维信号的重要手段。 当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x) （1） 具有有限个间断点； （2） 具有有限个极值点； （3） 绝对

7、可积。 图象变换傅立叶变换数字图象处理则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。 一维傅立叶变换对的定义为 dueuFxfuFFdxexfuFxfFuxjuxj212)()()()()()(正变换 反变换 式中： ，x称为时域变量，u称为频域变量。 1j数字图象处理(3) (4) 以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果二维函数f(x, y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为 dudvevuFyxfvuFFdxdyeyxfvuFyxfFvyuxjvyuxj)(21)(2),(),(),(),(),(),( 正变换 反变换 式中：x,

8、 y为时域变量；u, v为频域变量。 (7-5) (7-6) 图象变换傅立叶变换一维傅立叶变换及反变换F(u)是复函数数字图象处理dueuFxfuFFdxexfuFxfFuxjuxj212)()()()()()()2sin(j)2cos()()(arctan()()()()(F)()()(F)2(sin)()()2(cos)()(R22222/122uxuxeuRuIuuIuRuuIuRudxuxxfvIdxuxxfuuxj相位能量振幅虚部实部 要在数字图像处理中应用傅立叶变换， 还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号， 而计算机处理的是数字信号（图像数据）

9、；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常， 将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT)。 设f(x)|f(0), f(1), f(2), , f(N-1)为一维信号f(x)的N个抽样， 其离散傅立叶变换对为 图象变换傅立叶变换数字图象处理NuxjNxNuxjNxeuFNxfuFFexfuFxfF/2101/210)(1)()()()()(7-7) (7-8) 式中：x，u=0， 1， 2， , N1。 注： 式（7-8）中的系数1/N也可以放在式（7-7）中， 有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以 ， 这是

10、无关紧要的， 只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。 图象变换傅立叶变换数字图象处理N/ 1由欧拉公式可知 sincosjej将式(7-9)代入式(7-7)，并利用cos()=cos()，可得 102sin2cos)()(NxNuxjNuxxfuF 可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。 (7-9) (7-10) 图象变换傅立叶变换数字图象处理根据傅立叶变换公式， 102sin2cos)()(NxNuxjNuxxfuF图象变换傅立叶变换数字图

11、象处理编程完成下列函数的傅立叶变换 (N=256,N512、N=1024)并统计出计算需要的时间。TxyTxyT/2通常傅立叶变换为复数形式， 即 )()()(ujIuRuF 式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。式也可表示成指数形式： F(u)=|F(u) |ej(u) 其中 )()(arctan)()()(| )(|22uRuIuuIuRuF(7-11) (7-12) 图象变换傅立叶变换 通常称|F(u) |为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，(u)为f(x)的相位谱。 频谱的平方称为能量谱或功率谱，它表示为 )()(| )(|)(222uIuRuFuE图象变换傅立叶变换 考虑到

12、两个变量， 就很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。 二维离散傅立叶变换对定义为1010)(2),(),(),(MxNyNvyMuxjeyxfvuFyxf1010)(21),(1),(),(MuNvNvyMuxjevuFMNyxfvuF(7-16) (7-17) 式中： u，x=0， 1， 2， ， M-1； v， y=0，1， ， N-1； x， y为时域变量； u，v为频域变量。 图象变换傅立叶变换图象变换傅立叶变换二维傅立叶变换及反变换二维傅立叶变换离散表示数字图象处理dudvevuFyxfvuFFdxdyeyxfvuFyxfFvyuxjvyuxj)(21)(2),(),(),(),()

13、,(),( 1010)/(21010)/(2),(),(),(1),(MxNyNvyMuxjMxNyNvyMuxjevuFyxfeyxfMNvuF像一维离散傅立叶变换一样， 系数1/(MN)可以在正变换或逆变换中， 也可以分别在正变换和逆变换前分别乘上系数 ， 只要两系数的乘积等于1/(MN)即可。 二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱分别为MN1),(),(),(22vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu),(),(),(22vuIvuRvuE(7-18) (7-19) (7-20) 式中： R(u，v)和I(u，v)分别是F(u，v)的实部和虚部。 图象变换

14、傅立叶变换数字图象处理图象变换傅立叶变换二维傅立叶变换性质1、可分离性2、线性3、比例性质-尺度定理4、空间位移平移定理5、共轭对称性6、积分7、变量函数之积8、平均值9、180度旋转10、旋转不变旋转定理11、能量12、空间域 13、频率域 14、相关 15 、周期数字图象处理表7-1 二维DFT的性质 图象变换傅立叶变换数字图象处理 续表数字图象处理图象变换傅立叶变换1. 可分离性由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。可先对f(x，y)按行进行傅立叶变换得到F(x， v)， 再对F(x， v)按列进行傅立叶变换，便可得到f(x， y)的傅立

15、叶变换结果F(u， v)， 如图7-4所示。 显然先按列进行傅立叶变换， 再按行进行傅立叶变换也是可行的。图象变换傅立叶变换数字图象处理图7-4 用两次一维DFT计算二维DFT 数字图象处理同理， 傅立叶变换的逆变换也具有可分离性。 利用傅立叶变换的可分离性， 可以简化傅立叶变换的软、 硬件设计， 用一维傅立叶变换软件或硬件便可实现二维傅立叶变换。图象变换傅立叶变换2. 平移性质平移性质表明只要将f(x， y)乘上因子(1)x+y再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点(0， 0)移动到图像中心(M/2， N/2)处。可见，利用傅立叶变换的平移性质将图像频谱原点移动到方便。图像中心，更便于分

16、析和处理，特别是设计滤波器时更加图7-5 傅立叶频谱平移示意图(a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱 (a) (b) (c) 图象变换傅立叶变换数字图象处理3、由表7-1中性质9可知， 图像的频谱原点(0，0)代表的是图像灰度的平均值， 是图像信号中的直流分量。 因此， 平移后的频谱中，图像能量的低频成分将集中到频谱中心， 图像上的边缘、线条细节信息等高频成分将分散在图像频谱的边缘。 图象变换傅立叶变换数字图象处理 4、旋转不变性、旋转不变性由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性

17、如图7-6所示。 离散傅立叶变换的旋转不变性（a） 原始图像； （b） 原始图像的傅立叶频谱； （c） 旋转45后的图像； （d） 图像旋转后的傅立叶频谱 (a)(b)(d)(c)图象变换傅立叶变换数字图象处理图象变换傅立叶变换数字图象处理图象变换傅立叶变换数字图象处理图象变换傅立叶变换数字图象处理图象变换傅立叶变换数字图象处理图象变换傅立叶变换数字图象处理图象变换傅立叶变换数字图象处理图象变换傅立叶变换数字图象处理图象变换傅立叶变换数字图象处理图象变换傅立叶变换数字图象处理图象变换傅立叶变换数字图象处理用傅立叶变换处理和分析信号，就像用三棱镜分解光线一样。让一束白光通过三棱镜，可将白光分解成

18、七色的彩虹，若将分解开的七色光再次通过三棱镜，又可以得到白光。从形式上看这是由简单变换出了繁复，实则是将混合的东西分解成了基本的元素，通过对其基本元素的分析与处理，进而完成对信号的处理和分析。因此，傅立叶变换又有“数字棱镜”的美誉。图象变换傅立叶变换数字图象处理7.2.4 快速离散傅立叶变换基本离散傅立叶变换计算量非常大， 运算时间长。 可以证明其运算次数正比于N2， 特别是当N较大时， 其运算时间将迅速增长，以至于无法容忍。为此， 需要研究离散傅立叶变换的快速算法(Fast Fourier Transform， FFT)。 1965年Cooley和Tukey首先提出了一种称为逐次加倍法的快速

19、傅立叶变换算法(FFT)。采用该FFT算法， 其运算次数正比于N lbN， 在N很大时计算量可以大大减少。 例如， FFT的运算次数和DFT的运算次数之比， 当N=1024时为1/102.4； 当N=4096时可达1/341.3。 7.3 频域变换的一般表达式7.3.1 可分离变换二维傅立叶变换可用通用关系式来表示： 1010),(),(),(MxNyvuyxgyxfvuF1010),(),(),(MuNvvuyxhvuFyxf(7-21) (7-22) 式中：x，u取0，1，2，M1；y，v取0，1，2，N1；g(x，y，u，v)和h(x，y，u，v)分别称为正向变换核和反向变换核。如果),

20、(),(),(21vyguxgvuyxg),(),(),(21vyhuxhvuyxh(7-23) (7-24) 则称正反变换核是可分离的。进一步，如果g1和g2，h1和h2在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。二维傅立叶变换对是式(7-21)和式(7-22)的一个特殊情况，它们的变换核为NvyjMuxjNvyMuxjeeevuyxg22)(2),(NvyjMuxjNvyMuxjeNeMeMNvuyxh22)(2111),(7-25) (7-26) 可见，它们均为可分离的和对称的。如前所述，二维傅立叶变换可以利用变换核的可分离性，用两次一维变换来实现，即可先对f(x，y)的每一行进行一维变换得

21、到F(x，v)，再沿F(x，v)每一列取一维变换得到变换结果F(u，v)。对其它的图像变换，只要其变换核是可分离的，同样可用两次一维变换来实现二维变换。 若先对f(x，y)的每一列进行一维变换得到F(y，u)，再沿F(y，u)每一行取一维变换得到F(u，v)，其最终结果相同。该结论对逆变换也适用。7.3.2 图像变换的矩阵表示数字图像都是实数矩阵，设f(x，y)为MN的图像灰度矩阵，通常，为了分析、推导方便，将可分离变换写成矩阵的形式：QfPF 11FQPf(7-27) (7-28) 式中：F、f是二维MN的矩阵；P是MM矩阵；Q是NN矩阵。图像变换的矩阵表达式和代数表达式其本质相同，将式(7

22、-27)写成代数表达式如下： 1010),(),(),(),(MxNyvxQyxfuxPvuF(7-29) 式中：u取0，1，2，M1；v取0，1，2，N1。对二维离散傅立叶变换，则有： MxujeuxguxP21),(),(NvyjevygvyQ22),(),(7-30) (7-31) 图像处理实践中，除了DFT变换之外，还可采用其它正交变换，例如离散余弦变换、沃尔什-哈达玛变换、K-L变换等。下面对常用的变换作简要介绍。Cooley-Tukey FFT算法的基本思想是将f(x)序列按x的奇偶进行分组计算，并充分利用傅立叶变换的周期性和对称性进行计算，采用迭代法，大大简化了程序设计的复杂度，

23、提高了计算速度。Sande-Tukey FFT算法与Cooley-Tukey FFT算法类似，只不过它是将f(x)序列按中心位置点进行分组计算的。限于篇幅，FFT算法的详细内容不再冗述。当然对于计算机专业的学生而言，每个人都应尝试编写快速傅立叶变换的程序。有关傅立叶变换的算法还有很多，网上的FFT算法源代码也非常多，但不建议大家拿来就用。当你得到类似的代码后，一定要认真分析其实现过程和思路，只有这样才能不断地提高编程水平。 图象变换快速傅里叶变换傅里叶变换计算量很大N的4次方 复数乘法和N2(N2-1)次加法，相当8N4次方浮点运算。快速傅里叶变换 u的N个值中每次都需进行N次复数乘法和N-1

24、次加法，即乘法和加法都正比于N的平方。 但e项可计算一次然后存储于一个表中备查，所以正确分解公式，可以把乘法和加法减少为NLog2N。 这个分解过程为快速傅里叶变换（FFT） 数字图象处理1.,1 , 0.)(1)(10 x/2NuexfNuFNNuxj 由于二维离散傅立叶变换具有可分离性， 即它可由两次一维离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶变换的快速算法即可。 先将式傅里叶变换写成 10)()(NxuxWxfuF(5-21) 式中，W=e-j2N ，称为旋转因子。 这样，可将式(7-21)所示的一维离散傅立叶变换（DFT）用矩阵的形式表示为 ) 1() 1 ()0() 1()

25、 1 ()0()1()1()1(2)1(1)1(00)1(02010)1(0201100)1(020100NfffWWWWWWWWWWWWWWWNFFFNNNNNNNN式中，由Wux构成的矩阵称为W阵或系数矩阵。 (5-22) 观察DFT的W阵，并结合W的定义表达式W=e-j2N，可以发现系数W是以N为周期的。这样，W阵中很多系数就是相同的， 不必进行多次重复计算，且由于W的对称性，即 xuNxuNxuNNjNWWWWeW22222, 1因此可进一步减少计算工作量。 例如，对于N=4， W阵为 9630642032100000WWWWWWWWWWWWWWWW(5-23) 由W的周期性得：W4W

26、0，W6W2，W9W1；再由W的对称性可得： W3W1，W2W0。于是式(7-23)可变为 1010000010100000WWWWWWWWWWWWWWWW(5-24) 可见N=4的W阵中只需计算W0和W1两个系数即可。这说明W阵的系数有许多计算工作是重复的，如果把一个离散序列分解成若干短序列， 并充分利用旋转因子W的周期性和对称性来计算离散傅立叶变换，便可以简化运算过程，这就是FFT的基本思想。 设N为2的正整数次幂， 即 , 2 , 12nnn如令M为正整数，且 N=2M (5-25) (5-26) 将式（5-26）代入式（5-21），离散傅立叶变换可改写成如下形式： 10) 12(2)2

27、(2101202) 12()2()()(MxxuMxuMMxMxuxMWxfWxfWxfuF由旋转因子W的定义可知， 因此式(7-27)变为 uxMuxMWW22uMuxMMxMxuxMWWxfWxfuF21010) 12()2()( 现定义 1, 1 , 0,) 12()(1, 1 , 0,)2()(1010MxuWxfuFMxuWxfuFMxuxMoMxuxMe(5-27)(5-28)(5-29)(5-30)于是式(5-28)变为 )()()(2uFWuFuFouMe(5-31) 进一步考虑W的对称性和周期性可知 和， 于是 uMMuMWWuMMuMWW22)()()(2uFWuFMuFo

28、uMe(5-32)由此，可将一个N点的离散傅立叶变换分解成两个N2短序列的离散傅立叶变换，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变换Fe(u)和Fo(u) 。 在此，以计算N=8的DFT为例，此时n=3，M=4。由式(5-31)和式(5-32)可得 ) 3() 3()7()2()2()6() 1 () 1 ()5()0()0()4() 3() 3() 3()2()2()2() 1 () 1 () 1 ()0()0()0(3828180838281808oeoeoeoeoeoeoeoeFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFF(5-33) 式（5-33）中，u取07时的F(u)

29、、Fe(u)和Fo(u)的关系可用图7-7描述。左方的两个节点为输入节点，代表输入数值；右方两个节点为输出节点，表示输入数值的叠加，运算由左向右进行。线旁的W18和W18为加权系数，定义由F(1)、 F(5)、Fe(1)和Fo(1)所构成的结构为蝶形运算单元, 其表示的运算为 ) 1 () 1 ()5() 1 () 1 () 1 (1818oeoeFWFFFWFF(5-34) 图5-7 蝶形运算单元 Fe(1)F(1)F(5)Fo(1)18W18W 由于Fe(u)和Fo(u)都是4点的DFT，因此，如果对它们再按照奇偶进行分组， 则有 ) 1 () 1 () 3()0()0()2() 1 ()

30、 1 () 1 ()0()0()0(28082808eoeeeeoeeeeoeeeeoeeeFWFFFWFFFWFFFWFF) 1 () 1 () 3()0()0()2() 1 () 1 () 1 ()0()0()0(28082808oooeooooeooooeooooeoFWFFFWFFFWFFFWFF（5-35a） （5-35b） 图5-8 4点DFT分解为2点DFT的蝶形流程图 Fee(0)Feo(1)08W28WFee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08WFoe(0)Foo(1)08W28WFoe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)

31、28W08W图5-9 8点DFT的蝶形流程图 Fee(0)Feo(1)08W28WFee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08WFoe(0)Foo(1)08W28WFoe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)28W08Wf (0)f (4)08W08Wf (2)f (6)08W08Wf (1)f (5)08W08Wf (3)f (7)08W08W08W18W28W38W08W18W28W38WF(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)图5-10 8点DFT逐级分解框图 第一级N / 4点DF Tf (0)f (4)N /

32、4点DF Tf (2)f (6)N / 2点DF TN / 4点DF Tf (1)f (5)N / 4点DF Tf (3)f (7)N / 2点DF T第二级N 点DFT第三级F(0)F(1)F(2)F(3)F (4)F(5)F(6)F (7)表表5-2 自然顺序与码位倒序（自然顺序与码位倒序（N=8） 上述FFT是将f(x)序列按x的奇偶进行分组计算的，称之为时间抽选FFT。如果将频域序列的F(u)按u的奇偶进行分组计算， 也可实现快速傅立叶计算， 这称为频率抽选FFT。 至此，读者应该对傅立叶变换的理论基础及其实现方式有所了解。对于计算机专业的学生而言，每个人都应该尝试编写快速傅立叶变换的

33、程序。当然，有关傅立叶变换的算法还有很多， 网上的FFT算法源代码也非常多，但不建议大家拿来就用。当你得到类似的代码后，一定要认真分析其实现过程和思路，只有这样才能不断地提高编程水平。 离散余弦变换（离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform， DCT）的变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外， 它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。除此之外， DCT还是

34、一种可分离的变换。 一维离散余弦变换一维离散余弦变换 一维DCT的变换核定义为 NuxNuCuxg2) 12(cos2)(),(式中，x, u=0, 1, 2, , N1； 其他1021)(uuC(5-47) (5-48) 一维DCT定义如下： 设f(x)|x=0, 1, , N-1为离散的信号列。 102) 12(cos)(2)()(NxNuxxfNuCuF(5-49) 式中，u, x=0, 1, 2, , N1。 将变换式展开整理后， 可以写成矩阵的形式， 即 F=Gf （5-50） 其中 )2/) 12)(1cos()2/3)(1cos()2/) 1cos(/2)2/) 12cos()2

35、/6cos()2/cos(/2)2/) 12cos()2/3cos()2/cos(/2111/1NNNNNNNNNNNNNNNNNNNG(5-51) 一维DCT的逆变换IDCT定义为 102) 12(cos)()(2)(NuNuxuFuCNxf(5-52) 式中， x, u=0, 1, 2, , N1。可见一维DCT的逆变换核与正变换核是相同的。 二维离散余弦变换二维离散余弦变换 考虑到两个变量，很容易将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为 NvyMuxvCuCMNvuyxg2) 12(cos2) 12(cos)()(2),(5-53) 式中，C(u)和C(v)的定义同式（7-48）

36、；x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。 二维DCT定义如下：设f(x, y)为MN的数字图像矩阵，则 NvyMuxvCuCyxfMNvuFMxNy2) 12(cos2) 12(cos)()(),(2),(1010(5-54) 式中： x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。 二维DCT逆变换定义如下： NvyMuxvuFvCuCMNyxfMuNv2) 12(cos2) 12(cos),()()(2),(1010(5-55) 式中：x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。 类似一

37、维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下： F=GfGT (5-56) 同时，由式(5-55)和式(5-54)可知二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即 NvyvCNMuxuCMvyguxgvuyxg2) 12(cos)(22) 12(cos)(2),(),(),(21(5-57)式中：C(u)和C(v)的定义同式（7-48）； x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。 通常根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来完成， 其算法流程与DFT类似， 即 ),(),(),(),(),(),(),(vuFvuFvxFFvxFvxF

38、yxfFyxfTTT转置列转置行(5-58) 快速离散余弦变换快速离散余弦变换 离散余弦变换的计算量相当大， 在实用中非常不方便， 也需要研究相应的快速算法。目前已有多种快速DCT（FCT）， 在此介绍一种由FFT的思路发展起来的FCT。 首先，将f(x)延拓为 0)()(xfxfex=0, 1, 2, , N-1x=N， N+1, , 2N-1 (5-59) 按照一维DCT的定义，fe(x)的DCT为 10)(1)0(NxexfNF(5-60) NxujNxeNujNuxjNxeNxeNNxeNxeNNxNxNxexfeNexfNNuxxfNNuxxfNNuxxfNNuxNNuxxfNNux

39、xfNuF2212022)12(1201201210121010)(Re2)(Re22) 12(cos)(22) 12(cos)(22) 12(cos)(22) 12(cos022) 12(cos)(22) 12(cos)(2)(式中，Re表示取复数的实部。 由于 为fe(x)的2N点DFT。因此，在作DCT时，可把长度为N的f(x)的长度延拓为2N点的序列fe(x)，然后对fe(x)作DFT，最后取DFT的实部便可得到DCT的结果。 同理对于离散余弦逆变换IDCT，可首先将F(u)延拓为12022)(NxNxujeexf0)()(uFuFeu=0, 1, 2, , N-1u=N, N+1,

40、, 2N-1 (5-62) 由式(5-52)可得，DCT的IDCT为 1202) 12(21212) 12(121)(Re2) 0(21)(Re2) 0(12) 12(cos)(2) 0(1)(NuNuxjNujeeNuNuxjeeNueeeeuFNFNNeuFNFNNuxuFNFNxf（5-63） 由式（7-63）可见，IDCT可由 的2N点的IDFT来实现。 NujeeuF2)( 最后要注意的是二维DCT的频谱分布， 其谱域分布与DFT相差一倍，如图7-11所示。 从图中可以看出，对于DCT而言，(0, 0)点对应于频谱的低频成分，(N-1, N-1)点对应于高频成分，而同阶的DFT中，

41、(N2, N2)点对应于高频成分（注： 此频谱图中未作频谱中心平移）。 由于DFT和IDFT已有快速算法FFT和IFFT，因此可用它们实现快速DCT和IDCT算法FCT及IFCT。不过，由于FFT及IFFT中要涉及到复数运算， 因此这种FCT及IFCT算法并不是最佳的。 图5-11 DFT和DCT的频谱分布（a）DFT频谱分布； （b） DCT频谱分布 图象变换离散余弦变换离散余弦变换简化傅立叶变换的重要方法，图像压缩与传输中用。 虚数傅立叶变换项 为零时，不需计算，只需计算余弦项，是傅立叶变换的特例。数字图象处理)2) 12(cos()()()()2) 12(cos()()()(1010Nu

42、xuCuaxfNuxxfuauCNxNx)2) 12(cos()2) 12(cos(),()()(),()2) 12(cos()2) 12(cos(),()()(),(101010NuyNuxvuCvauayxfNvyNuxyxfvauavuCNxNxNy 图像增强的目的主要包括：消除噪声，改善图像的视觉效果；突出边缘，有利于识别和处理。前面是关于图像空间域增强的知识，下面介绍频率域增强的方法。 假定原图像为f(x，y)，经傅立叶变换为F(u，v)。频率域增强就是选择合适的滤波器H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行处理，然后经逆傅立叶变换得到增强的图像g(x,y)。 频率域增强的一般过程如

43、下： DFT H(u，v) IDFT f(x，y) F(u，v) F(u，v)H(u，v) g(x，y) 滤波图象变换图像的频率域增强数字图象处理 主要过程：（1）计算需增强图像的傅里叶变换（2）将傅里叶变换结果与一个转移函数（根据需要设计）相乘（3）将处理结果用傅里叶反变换以得到增强结果常见方法：（1）、低通滤波（2）、高通滤波（3）、带通和带阻滤波（4）、同态滤波图象变换图像的频率域增强数字图象处理 图像的平滑除了在空间域中进行外，也可以在频率域中进行。由于噪声主要集中在高频部分，为去除噪声改善图像质量，滤波器采用低通滤波器H(u,v)来抑制高频成分，通过低频成分，然后再进行逆傅立叶变换获

44、得滤波图像，就可达到平滑图像的目的。常用的频率域低滤波器H(u,v)有四种：1理想低通滤波器 设傅立叶平面上理想低通滤波器离开原点的截止频率为D0，则理想低通滤波器的传递函数为 由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。 ) 14 . 4 (),(0),(1),(00DvuDDvuDvuH图象变换频率域平滑频率域平滑数字图象处理2Butterworth低通滤波器 n阶Butterworth滤波器的传递函数为： 它的特性是连续性衰减，而不象理想滤波器那样陡峭变化，即明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的同时，图像边缘的模糊程度大

45、大减小，没有振铃效应产生。 nDvuDvuH20),(11),(图象变换 Butterworth低通滤波器数字图象处理3指数低通滤波器 指数低通滤波器是图像处理中常用的另一种平滑滤波器。它的传递函数为： 采用该滤波器滤波在抑制噪声的同时，图像边缘的模糊程度较用Butterworth滤波产生的大些，无明显的振铃效应。 n-0Dv)D(u,e v)H(u,图象变换指数低通滤波器数字图象处理 4. 梯形低通滤波器 梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折中。它的传递函数为： 它的性能介于理想低通滤波器和指数滤波器之间，滤波的图像有一定的模糊和振铃效应。110DDD-v)D(u,0Dv)D(

46、u,0D),(DDv)D(u,1 v)H(u,101vuD图象变换梯形低通滤波器数字图象处理a) 出现虚假轮廓的图 b) 理想低通滤波器平滑结果 c) 巴特沃斯滤波器平滑结果数字图象处理图像的边缘、细节主要位于高频部分，而图像的模糊是由于高频成分比较弱产生的。频率域锐化频率域锐化就是为了消除模糊，突出边缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过，使低频成分削弱，再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像。常用的高通滤波器有： 1）理想高通滤波器 二维理想高通滤波器的传递函数为 00),(1),(0),(DvuDDvuDvuH图象变换频率域锐化频率域锐化数字图象处理2）巴特沃斯高通滤波器 n阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数定义如下 H(u，v)=1/1+(