尖子生培优训练外接球与内切球(含答案)

1、简单几何体的外接球与内切球问题定义1:假设一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，那么称这个多面体是这个球的内 接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2:假设一个多面体的各面都与一个球的球面相切，那么称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、根本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。一、直棱柱的外接球1、长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 a,

2、b,c，那么体对角线长为|心2 b2 c2，几Ja2 b2 c2何体的外接球直径2R为体对角线长l即R 一b一22、正方体的外接球：正方体的棱长为a，那么正方体的体对角线为.3a，其外接球的直径2R为.3a 。3、直棱柱的外接球： 方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为4/3 n 8例2、各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,那么这个球的外表积是 cA. 16 B. 20 C. 24 D. 32例 3、在直三棱柱 A

3、BC A B1C1中，AB 4,AC 6, A, AA1 4 ,那么直三棱柱3ABC A1B1C1的外接球的外表积 160/3 n<二、棱锥的外接球1、正棱锥的外接球方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的 方程。例4、正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，那么此球的体积为4/3 n _例5、假设正四面体的棱长为4,那么正四面体的外接球的外表积为 24n<例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的(D).312一个大圆上，那么该正三棱锥的体积是：C AB 仝 C 仝

4、4342、补体方法的应用1、正四面体2、三条侧棱两两垂直的三棱锥3、四个面均为直角三角形的三棱锥例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2和3 cm2，那么它的外接球的体积是29览_工/6。例8、三棱锥的四个顶点都在球 0的球面上，AB BC且PA 7 , PB 5 , PC 51，AC 10,求球0的体积。500/3BC ,AB 3, BC 4，CD 5例9、在三棱锥 A BCD中，AB 平面BCD,CD那么三棱锥A BCD外接球的外表积_5Q匹。例10、如图为一个几何体的三视图，那么该几何体的外接球的外表积为C A. 4 nB. 8 n三、圆柱、圆锥的外接球 旋

5、转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。例11、圆柱的底面半径为4，母线为8，求该圆柱的外接球的半径。 4一2 例12、圆锥的底面半径为2,母线长为4,求该圆锥的外接球的半径。4二3四、正方体的内切球设正方体的棱长为 a，求1内切球半径；2与棱相切的球半径。1截面图为正方形 EFGH的内切圆，得aR ; 2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，2作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得 R -a。2D1C1D1-oM图2根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。假设棱锥的体3VS,那么内切球的半径为R 一.S积为V，外表积为例13、正四棱锥SABCD，底面边

6、长为2,侧棱长为3,那么内切球的半径是多少?4.74 8 2五、棱锥的内切球分割法将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的 半径为高的小棱锥，DFPA丄底面ABC，且PB .A '例14、三棱锥PABC中，底面 ABC是边长为2的正三角形,PA 2，那么此三棱锥内切球的半径为=乙色 V3 V74六、圆柱轴截面为正方形、圆锥的内切球截面法 例15、圆锥的高为4,底面半径为2,求该圆锥内切球与外 接球的半径比。85丁5例16、圆柱的底面直径和高都是 6,求该圆柱内切球的半径。 稳固训练：1、一个正三棱柱恰好有一个内切球球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切

7、 和一个外 接球球经过三棱柱的6个顶点,那么此内切球与外接球外表积之比为 52、 如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF ,贝吐匕正六棱锥的侧面积是_6仃.3、点P,A,B,C,D是球0外表上的点，PA丄平面ABCD四边形ABCD是边长为2 .3正方形.假设PA=2/6,那么厶OAB勺面积为3*51. 球内接正四面体问题一个四面体的所有棱长都为 .2，四个顶点在同一球面上,那么此球的外表积为 2. 球内接长方体问题一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分 别为1 , 2, 3,那么此球的外表积为 。3设P,代B,C是球0面上的四点，且PA, PB, P

8、C两两互相垂直，假设PA PB PC a,那么球心0到截面ABC的距离是4.球内接正三棱锥问题在正三棱锥S ABC中，侧棱SC 侧面SAB，侧棱SC 2 ,那么此正三棱锥的外接球的外表积为 5球内接棱柱问题 假设一个底面边长为 二3 ,棱长为、6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，2那么此球的体积为.6. 正三棱柱内切球、外接球问题一个正三棱柱恰好有一个内切球球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切和一个外接 球球经过三棱柱的 6个顶点,那么此内 切球与外接球外表积之 比 为。7. 球内接正四棱锥问题半径为 R的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥.那么四棱锥的体积为.8. 正三棱锥球内切问题正三棱锥

9、的高为3,底面边长为8.3，正三棱锥内有一个球与其四个面相切.那么球的外表积与体积分别为 .9. 三棱锥A BCD的两条棱 AB CD 6,其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径. 说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离 相等，都为球半径R .这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决.1. 陕西理？ 6一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，那么该正三棱锥的体积是A.答案 B2. 直三棱柱ABC AiBiCi的各顶点都在同一球面上，假设AB AC AAi 2, BAC

10、 120，那么此球的外表积等于 解:在 ABC中AB AC 2, BAC 120 ,可得BC 2、3,由正弦定理，可得 ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为0 ,球心为0，在RT OBO中，易得球半径R -.5，故此球的外表积为4 R2203正三棱柱 ABC A1B1C1内接于半径为2的球，假设 代B两点的球面距离为 ，那么正三棱 柱的体积为答案 84.外表积为2、3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，那么此球的体积为A.22、2-D 33答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由 8a 1，那么此球的直径为2，应选32A。5.正方体外接球的体积是那么正方体的棱长等于2

11、、3B.-34、2C.-34、3D.-3答案 D6. 2006山东卷正方体的内切球与其外接球的体积之比为A.1 :3B.1 : 3C. 1 : 3 3D.1 : 9答案 C7. 2022海南、宁夏理科一个六棱柱的底面是正六边9形，其侧棱垂直底面.该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为-，底面周长8为3,那么这个球的体积为 .答案38. 2007天津理？ 12一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，那么此球的外表积为 .答案 14 n9. 2007全国H理？ 15一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的外表积为 cm2.答案2 4.210.2006辽宁如图，半径为锥的侧面积是.2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF，那么此正六棱答案 6 ： 7PB11.辽宁省抚顺一中 2022届高三数学上学期第一次月考棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，假设过该球球心的一个截面如图，那么图中三角形正四面体的截面的面积是答案.212. 2022 枣庄一模 A .3163一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何4B . 2D .以上都不对答案C13.吉林省吉林市2022届上期末设正方体的棱长为彳；&qu