高等代数(北大第三版)第一章多项式14剖析

1、i) ( )( ),( )( );d xf xd x g x1公因式公因式: :( )( ) ,f xg xP x 、( )xP x ,若若满足满足:( )( ),x g x ( )( )xf x 且且2最大公因式最大公因式: :( )( ) ,f xg xP x 、( ) d xP x 若若满足：满足：ii) 若若 ， 且且 ，则，则( ) xP x ( )( )xf x ( )( )x g x ( )( ).x d x 则称则称 为为 的的最大公因式最大公因式 ( )d x( )( )、f xg x则称则称 为为 的的公因式公因式 ( )( )f xg x、( )x 一、公因式一、公因式

2、最大公因式最大公因式 的首项系数为的首项系数为1的最大公因式记作的最大公因式记作: :( )( )、f xg x( ) .(f xg x、注：注： ， 是是 与零多项式与零多项式0的最的最( ) f xP x ( )f x( )f x大公因式大公因式 两个零多项式的最大公因式为两个零多项式的最大公因式为0 最大公因式不是唯一的，但首项系数为最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大的最大公因式是唯一的公因式是唯一的.若若 为为12( )( )dxdx、( )( )、f xg x 的最大公因式，则的最大公因式，则 ，c c为非零常数为非零常数 12( ) c( )dxdx= 若若 不全为零，则不

3、全为零，则( ),( )f xg x( ( ),( )0.f xg x 二、最大公因式的存在性与求法二、最大公因式的存在性与求法 若等式若等式 成立，则成立，则 与与 有相同的公因式有相同的公因式, ,从而从而 ( )( ) ( )( )f xq x g xr x ( )( )、f xg x( )( )、g xr x( )( )( ( )( ),f xg xg xr x 引理：引理：定理定理2对对 ，在在 中存在中存在一个最大公因式一个最大公因式 ，且，且 可表成可表成 的一个组合，即的一个组合，即 ，使使 ( )( ) f xg xP x、 P x( )d x( )d x( )( )、f x

4、g x( )( ) u xv xP x、( )( ) ( )( ) ( ).d xu x f xv x g x =若若 有一为有一为0，如，如 ，则则 ( )( )、f xg x( )0g x ( )f x就是一个最大公因式且就是一个最大公因式且 ( )1( )0( ).f xf xg x 考虑一般情形：考虑一般情形： ( )0,( )0,f xg x 用用 除除 得：得： ( )g x( )f x11( )( ) ( )( )f xq x g xr x 其中其中 或或 . . 1( ( )( ( )r xg x 1( )0r x 212( )( ) ( )( )g xqx r xr x 若若

5、 ，用，用 除除 ，得：，得： 1( )r x( )g x1( )0r x 证：证：若若 ，用，用 除除 ，得，得 2( )0r x 2( )r x1( )r x1323( )( ) ( )( ),r xqx r xr x 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此，有限次后，必然有余式为因此，有限次后，必然有余式为0设设 1( )0.srx 其中其中 或或 21( ( )( ( )r xr x 2( )0r x 12( ( )( ( )( ( )g xr xr x 即即 于是我们有一串等式于是我们有一串等式 212( )( ) ( )( )g

6、 xqx r xr x 1323( )( ) ( )( )r xqx r xr x i 2ii-1i( )( )( )( )rxq x rxr x s 3s 1s 2s 1( )( )( )( )rxqx rxrx s 2ss 1s( )( )( )( )rxq x rxr xs 1s 1s( )( ) ( )0rxqx r x 11( )( ) ( )( )f xq x g xr x 1( )( )=( ( )( )f xg xg xr x,s 1s=( )( )rxr x ,s( )( ) ( )( ) ( ).r xu x f xv x g x =从而有从而有12=( ( )( )r x

7、r x,=s=( ( ) 0)r x ,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去s 11( ), ( )rxr x 再并项就得到再并项就得到说明说明: : 定理中用来求最大公因式的方法，通常称为定理中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法辗转相除法 定理中最大公因式定理中最大公因式 ( )= ( ) ( )+ ( ) ( )d xu x f xv x g x中的中的 不唯一不唯一. ( )( )、u xv x 对于对于 ， 使使 , ,但是但是 未必是未必是 的最大公因式的最大公因式. . ( ),( )( ) ( )( ) d xf xg

8、xP xu xv xP x ,( ) ( )( ) ( )( )=d xu x f xv x g x ( )d x( )( ),f xg x如如: : ，则，则 2( )=1,( )=1f xxg x ( ( )( )=1.f xg x、取取 ，有，有 2( )=1,( )=u xv xx ( ) ( )+ ( ) ( )=1,u x f xv x g x取取 ，也有，也有 ( )=0,( )=1u xv x( ) ( )+ ( ) ( )=1,u x f xv x g x取取 , ,也有也有 2( )=2, ( )=21u xv xx ( ) ( )+ ( ) ( )=1.u x f xv

9、x g x成立成立 ( )( )g( ) ( ) ( )+ ( ) ( )g( )= ( )u xh xx f xv xh x f xxd x 事实上事实上, ,若若 则对则对 ，( )h x ( ) ( )+ ( ) ( )= ( ),u x f xv x g xd x 若若 ，且且( )( ) ( )( ) ( )d xu x f xv x g x =( )( ),( )( )d xf xd x g x则则 为为 的最大公因式的最大公因式( )d x( )( )、f xg x设设 为为 的任一公因式，则的任一公因式，则( )x ( )( )、f xg x( )( ),( ) ( ),x f

10、 xx g x 证：证：( )( ( ) ( )( ) ( ),xu x f xv x g x 从而从而( )( ).x d x 即即 为为 的最大公因式的最大公因式 ( )d x( )( )、f xg x例例1432( )242,f xxxxx -432( )2,g xxxxx -2求求 ，并求并求 使使 ( )( )、f xg x( ), ( )u x v x( )( )( ) ( )( ) ( ).f xg xu x f xv x g x 、432242xxxx -43222xxxx -( )f x( )g x43222xxxx -11( )q x 32xx 1( )r x 1 x422

11、xx 3222xxx 32xx 22x 2( )r x 2( )qx x3( )qx 32xx 02( ), ( )2f xg xx -22(1) ( )(2) ( ).xxf xxg x 解解: : 且由且由 112( )( )( ),( )(1) ( )( )f xg xr xg xxr xr x 得得 例例2. . 设设 432( )343f xxxxx 32( )31023g xxxx求求 ，并求并求 使使 ( )( )、f xg x( ), ( )u x v x( )( )( ) ( )( ) ( ).f xg xu x f xv x g x 、因式，即因式，即就可以就可以)，这是因

12、为，这是因为 和和 具有完全相同的具有完全相同的( )f x( )cf x若仅求若仅求 ，为了避免辗转相除时出现为了避免辗转相除时出现( )( )、f xg x注注: :分数运算，可用一个数乘以除式或被除式分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始从一开始1( ( ), ( )( ), ( )f x g xc f x g x 212( ),( )( ),( ) ,f x c g xc f x c g x 为非零常数为非零常数12,cc( ), ( ) ,f xg xP x 则称则称 为为互素的互素的(或互质的或互质的)( ), ( )f xg x1 1定义定义: :三、互素三、互素 ( (

13、 ), ( )1,f xg x 若若互素互素 ( )( ),f xg x( ( ), ( )1f x g x ( ), ( )f xg x除去零次多项式外无除去零次多项式外无说明说明: : 由定义，由定义，其它公因式其它公因式 定理定理3 互素互素 ，使，使 ( ), ( ) ,f xg xP x ( ), ( )f xg x( ) ( )( ) ( )1u x f xv x g x ( ), ( ) u x v xP x 2 2互素的判定与性质互素的判定与性质证：证：显然显然设为设为 的任一公因式，则的任一公因式，则( )( ), ( )xf x g x ( )( ),( )( ),xf x

14、x g x 从而从而( )1,x 又又1( ),x ( ),0.xcc 故故( ( ), ( )1.f x g x 定理定理4若若 ，且，且 ， 则则 ( ), ( )1f x g x ( )| ( ) ( )f xg x h x( )| ( ).f xh x ( ), ( )1,f x g x ( ), ( ) ,u x v xP x 证：证：使使( ) ( )( ) ( )1u x f xv x g x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )u x f x h xv x g x h xh x于是有于是有又又( )| ( ) ( ),f xg x h x( )|( ) ( )f

15、xf x h x( )| ( ).f xh x1( )| ( )fxg x推论推论 若若 ，且，且 12( )| ( )( )| ( ),fxg xfxg x又又2( )| ( ),fxg x211( )|( )( ).fxfx h x12( ),( )1f xfx 12( )( )| ( ).fx fxg x，则，则证证: :11( )( )( ),g xfx h x ，使，使1( )h x 于是于是 ，使，使2( )h x 122( )( )( ) ,h xfx h x 12( )( )| ( )fx fxg x12( ),( )1,fxfx 而而21( )|( )fxh x由定理由定理4

16、有有122( )( )( )( )g xfx fx h x 从而从而12( ),( ),( ) (2)sfxfxfxP xs 若若 满足满足: : ( ) d xP x 定义定义i) ( )( ),1,2,id xfxis 则称则称 为为 的的最大公因式最大公因式 ( )d x12( ),( ),( )sfxfxfx( ) ,xP x ii)( )( ),1,2,ixfxis 若若( )( ).x d x 则则 四、多个多项式的最大公因式四、多个多项式的最大公因式 12( ),( ),( )sfxfxfx 表示首表示首1最大公因式最大公因式 1211,.sssfffu fu f ,= ，使，使 12, su uuP x 12121,sssfffffff =, 11, 11kksffffks = 的最大公因式一定存在的最大公因式一定存在12( ),( ),( )sfxfxfx111.ssu fu f 互素互素 使使12,sfff 12, ,