力系的平衡汇总

1、第一章第一章 静力学基本概念与物体受力分析静力学基本概念与物体受力分析第二章第二章 汇交力系汇交力系第三章第三章 力偶系力偶系第四章第四章 平面任意力系平面任意力系第五章第五章 空间任意力系空间任意力系第六章第六章 静力学专题静力学专题桁架、摩擦、重心桁架、摩擦、重心静力学主要研究：静力学主要研究： 物体的受力分析；物体的受力分析； 力系的简化；力系的简化； 力系的平衡条件及其应用。力系的平衡条件及其应用。引引 言言静力学是静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。研究物体在力系作用下平衡规律的科学。 11 静力学基本概念静力学基本概念 12 静力学公理静力学公理 13 约束与约束反力约束与

2、约束反力 14 物体的受力分析与受力图物体的受力分析与受力图 第一章第一章 静力学基本概念与物体受力分析静力学基本概念与物体受力分析第一章第一章 静力学基本概念与物体受力分析静力学基本概念与物体受力分析1-1 1-1 静力学基本概念静力学基本概念 是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。的状态。 一一. .刚体刚体 就是在力的作用下，大小和形状都不变的物体。就是在力的作用下，大小和形状都不变的物体。二二. .平衡平衡4.4.力的单位：力的单位： 国际单位制：牛顿国际单位制：牛顿( (N) ) 千牛顿千牛顿( (kN) )三、力的概

3、念三、力的概念1定义定义：2. 力的效应：力的效应： 运动效应运动效应( (外效应外效应) ) 变形效应变形效应( (内效应内效应) )。3. 力的三要素：力的三要素：大小，方向，作用点大小，方向，作用点AF力是物体间的相互机械作用力是物体间的相互机械作用。力系：力系：是指作用在物体上的一群力。是指作用在物体上的一群力。等效力系：等效力系：两个力系的作用效果完全相同。两个力系的作用效果完全相同。力系的简化：力系的简化：用一个简单力系等效代替一个用一个简单力系等效代替一个复杂力系。复杂力系。合力：合力：如果一个力与一个力系等效，则称这如果一个力与一个力系等效，则称这个力为力系的合力。个力为力系的

4、合力。平衡力系：平衡力系：物体在力系作用下处于平衡，我物体在力系作用下处于平衡，我们称这个力系为平衡力系。们称这个力系为平衡力系。F1ABCF2F3 1-2 1-2 静力学基本公理静力学基本公理 是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的实是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。公理公理1 1 二力平衡公理二力平衡公理作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 这两个力这两个力大小相等大小相等 | F1 | = | F2 | 方向相反

5、方向相反 F1 = F2 作用在同一直线上，作用在同一直线上， 作用于同一个物体上。作用于同一个物体上。刚体F1F2公理公理：说明说明：对刚体来说，上面的条件是充要的。对刚体来说，上面的条件是充要的。 二力体二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。对变形体对变形体( (或多体中或多体中) )来说，上面的条件只是必要条件。来说，上面的条件只是必要条件。二力杆二力杆 在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。力系对刚体的作用。 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一作用于

6、刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点，而不改变该力对刚体的效应。点，而不改变该力对刚体的效应。因此，对刚体来说，力作用三要素为：因此，对刚体来说，力作用三要素为：大小，方向，作用线。大小，方向，作用线。公理公理2 2 加减平衡力系原理加减平衡力系原理推论推论1：力的可传性原理：力的可传性原理公理公理3 3 力的平行四边形法则力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。成的平行四边形的

7、对角线来表示。21FFFR FRFR 刚体受三力作用而平衡，若其中两刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交于一点，则另一力的作力作用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作用用线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。（线共面。（必共面，在特殊情况下，必共面，在特殊情况下，力在无穷远处汇交力在无穷远处汇交平行力系平行力系。）。） 推论推论2：三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理 三力三力 必汇交，且共面。必汇交，且共面。321 , , FFF321 , , FFF证证 为平衡力系，为平衡力系，3R , FF 也为平衡力系。也为平衡力系。又又 二力平衡必等值、反向、共线，二力平衡必等

8、值、反向、共线，FR公理公理4 4 作用力和反作用力定律作用力和反作用力定律等值、反向、共线、异体、且同时存在。等值、反向、共线、异体、且同时存在。例例 吊灯公理公理5 5 刚化原理刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。 公理公理5告诉我们：处于平衡告诉我们：处于平衡状态的变形体，可用刚体静状态的变形体，可用刚体静力学的平衡理论。力学的平衡理论。1-3 1-3 约束与约束反力约束与约束反力一、概念一、概念位移不受限制的物体叫自由体。位移不受限制的物

9、体叫自由体。自由体：自由体：位移受限制的物体叫非自由体。位移受限制的物体叫非自由体。非自由体：非自由体：大小常常是未知的；大小常常是未知的；方向总是与约束限制的物体的位移方向相反；方向总是与约束限制的物体的位移方向相反；作用点在物体与约束相接触的那一点。作用点在物体与约束相接触的那一点。约束力约束力特点：特点：G约束力：约束力：约束与非自由体接触相互产生了作用力，约束作用于约束与非自由体接触相互产生了作用力，约束作用于 非自由体上的力叫约束力或称为约束反力。非自由体上的力叫约束力或称为约束反力。 约束：约束：对非自由体的某些位移预先施加的限制条件称为约束。对非自由体的某些位移预先施加的限制条件

10、称为约束。（这里，约束是名词，而不是动词的约束。）（这里，约束是名词，而不是动词的约束。）FGFN1FN2二、约束类型和确定约束反力方向的方法：二、约束类型和确定约束反力方向的方法：1. 柔索：由柔软的绳索、链条或皮带构成的约束柔索：由柔软的绳索、链条或皮带构成的约束T约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。A约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。柔绳约束柔绳约束胶带构成的约束柔索约束柔索约束柔绳约束柔绳约束链条构成的约束约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。绳索、链条、皮带绳索、链条、皮带柔柔 索索约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。约束反力约束反力作用在接触点处作用在接触点处，方向

11、方向沿公法线，指向受力物体沿公法线，指向受力物体2 2 光滑支承面约束光滑支承面约束PNNPNANBNNN凸轮顶杆机构固定铰支座：固定铰支座：物体与固定在地基或机架上的支座物体与固定在地基或机架上的支座有相同直径的孔，用一圆柱形销钉联结起来，这有相同直径的孔，用一圆柱形销钉联结起来，这种构造称为固定铰支座。种构造称为固定铰支座。中间铰：中间铰：如果两个有孔物体用销钉连接如果两个有孔物体用销钉连接 轴承：轴承： 3 3 光滑圆柱铰链约束光滑圆柱铰链约束光滑圆柱铰链约束光滑圆柱铰链约束圆柱铰链AAXAYAAFNFNFNFxFy约束反力过铰链中心，用XA、YA表示固定铰支座固定铰支座铰固定铰支座固定

12、铰支座中间铰中间铰铰销钉销钉中间铰中间铰简化表示：约束力表示：4 4 活动铰支座活动铰支座（辊轴支座）辊轴支座）在固定铰链支座的底部安装一排滚轮，可使支座沿固定支承面滚动。活动铰支座活动铰支座其它表示其它表示FAAFBFCBCAFABFBCFC活动铰支座光滑圆柱铰链约束实例光滑圆柱铰链约束实例固定铰链支座活动铰链支座40A空间空间6 二力构件二力构件二力构件二力构件二力构件的约束力沿连杆两端铰链的沿连杆两端铰链的连线，指向不定，连线，指向不定，通常假设受拉。通常假设受拉。翻斗车二力构件二力构件7 、其它约束约束反力垂直于滑道、导轨，指向亦待定。约束反力垂直于滑道、导轨，指向亦待定。： 解决力学

13、问题时，首先要解决力学问题时，首先要，即，即选选择研究对象择研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公理分析它的受力情况，这个过程称为物体的公理分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析受力分析。 1-4 1-4 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图作用在物体上的力有：一类是主动力：作用在物体上的力有：一类是主动力： 如重力如重力, ,风力风力, ,气体压力等。气体压力等。 二类是被动力：即约束反力。二类是被动力：即约束反力。一、受力分析一、受力分析补：解除约束原理补：解除约束原理当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将

14、其部当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部的约束除去，代之以相应的约束反力，则物体的平分或全部的约束除去，代之以相应的约束反力，则物体的平衡不受影响。衡不受影响。意义：意义：在解决实际物体的平衡问题时，可以将该物体所受的在解决实际物体的平衡问题时，可以将该物体所受的各种约束解除，而用相应的约束反力去代替它们对于物体的各种约束解除，而用相应的约束反力去代替它们对于物体的作用。这时，物体在所有主动力和约束力作用下，仍然保持作用。这时，物体在所有主动力和约束力作用下，仍然保持平衡，但物体已经被抽象成为一个不受任何约束作用的自由平衡，但物体已经被抽象成为一个不受任何约束作用的自由

15、体了，因而就可利用静力学所得出的关于自由刚体的平衡条体了，因而就可利用静力学所得出的关于自由刚体的平衡条件来解决受有各种不同约束的物体的平衡问题。件来解决受有各种不同约束的物体的平衡问题。画物体受力图主要步骤为画物体受力图主要步骤为： 选研究对象；选研究对象； 去约束，取分离体；去约束，取分离体； 画上主动力；画上主动力； 画出约束反力。画出约束反力。二、受力图二、受力图例例1OWFDFEFAxFAyFBDF FAFBABDABDDF G例例2 画出下列各构件的受力图画出下列各构件的受力图QAOBCDEQFOFF1FOF1CFCF2ACDBEFAFBFC例例2 画出下列各构件的受力图画出下列各

16、构件的受力图QAOBCDEACDBEFAFBFAADCFDDEFECBEFBFCFEFDFC1FC2CFC1FC2FCCBDDE例例3 画出下列各构件的受力图画出下列各构件的受力图三力平衡必汇交三力平衡必汇交当三力平行时，在无限当三力平行时，在无限远处汇交，它是一种特远处汇交，它是一种特殊情况殊情况。FAFBQFDFEFCABFBFD例例4 尖点问题尖点问题QFCFAFBQFCFBB例例5 画出下列各构件的受力图画出下列各构件的受力图WFTFBxFHFByFHFDFCCDCBAFAxFAyFDFTFAxFAyFHFCFByFBxPABCBPACCFBFAF例题：例题：如图所示，重物重G = 2

17、0 kN,用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试画出杆AB和BC以及滑轮B的受力图。30o60o1. 杆AB的受力图。2. 杆BC 的受力图。3. 滑轮B ( 不带销钉）的受力图。4. 滑轮B ( 带销钉）的受力图。30o60o三、画受力图应注意的问题三、画受力图应注意的问题除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处都与周围哪些

18、物体（施力体）相接触，接触处必有力，力的方向由约束类型而定。必有力，力的方向由约束类型而定。2、不要多画力、不要多画力要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出它是哪一个施力体施加的。它是哪一个施力体施加的。1、不要漏画力、不要漏画力解除约束后，才能画约束力！解除约束后，才能画约束力！约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析两物体之间的

19、作用力与反作用力时，要注意，作用力两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不要把箭头方向画错。不要把箭头方向画错。3、不要画错力的方向、不要画错力的方向 即受力图一定要画在分离体上。即受力图一定要画在分离体上。4、受力图上不能再带约束。、受力图上不能再带约束。一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分内力，就成为新研究对象的外力。内力，就成为新研究对象的外力

20、。对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局部或单个物体的受力图上要与之保持一致。部或单个物体的受力图上要与之保持一致。 5、受力图上只画外力，不画内力。、受力图上只画外力，不画内力。 6 、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相 互协调，不能相互矛盾。互协调，不能相互矛盾。7 、正确判断二力构件。、正确判断二力构件。1314156162汇交力系汇交力系： 各力的作用线汇交于一点的力系。各力的作用线汇交于一点的力系。引引 言言 汇交力系汇交力系 力系力系 力偶系力偶系 一般力系一般力系

21、(任意力系任意力系)研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。例：起重机的挂钩。力系分为：平面力系、空间力系力系分为：平面力系、空间力系FF1F263 21 汇交力系合成和平衡的几何法汇交力系合成和平衡的几何法 22 汇交力系合成和平衡的解析法汇交力系合成和平衡的解析法 第二章第二章 汇交力系汇交力系642-1 2-1 汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系合成与平衡的几何法一、合成的几何法一、合成的几何法 cos2212221FFFFFR )180sin(sin1 oRFF1.1.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向可应用正弦定理确定：合力方向可应用正弦定理确定：由余弦定理：由余弦

22、定理： cos)180cos( FRFR65FR2. 任意个共点力的合成任意个共点力的合成 即：汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用即：汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。线通过各力的汇交点。 FFR结论：结论：4321FFFFFR FR66二、汇交力系平衡的几何条件二、汇交力系平衡的几何条件 在几何法求力系的合力中，合在几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。力为零意味着力多边形自行封闭。汇交力系平衡的充要条件是：汇交力系平衡的充要条件是： 0FFR力多边形自行封闭。力多边形自行封闭。或：或：力系中各力的矢量和等于零。力系中各力的矢量和等于零

23、。 汇交力系平衡的必要与充分的汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：几何条件是：FRFR67例例1 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过欲拉过h=8cm的障碍的障碍物。物。 求：在中心作用的水平力求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。的大小和碾子对障碍物的压力。选碾子为研究对象选碾子为研究对象取分离体画受力图取分离体画受力图解：解：rFNAFBFA68577. 0)(tg22 hrhrr 又由几何关系：又由几何关系：当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时FA=0=0拉力拉力 F、自重自重 P P 及支反力及支反力 FB 构成一平衡力系。构成一平衡力系。

24、由平衡的几何条件，力多边形封闭，故由平衡的几何条件，力多边形封闭，故 tg PF cosPFB 由作用力和反作用力的关系，由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于碾子对障碍物的压力等于23.1kN。F=11.5kN , FB=23.1kN所以所以FBFB69例例2 求当求当F力达到多大时，球离开地面？已知力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h解：解：FB=0 时为球离开地面时为球离开地面研究球，受力如图：研究球，受力如图：作力三角形作力三角形解力三角形：解力三角形： sin1 FPRhR sin又又hRPRPF sin1FBF2F1F1F270时球方能离开地面时球方能离开地面当当hR

25、hRhPF )2(研究块，受力如图，研究块，受力如图，作力三角形作力三角形解力三角形：解力三角形： cos1FF )2(1)(cos22hRhRRhRR RhRhFF)2(1 hRPRF 1N F3F1N F1F371几何法解题步骤：选研究对象；几何法解题步骤：选研究对象； 画出受力图；画出受力图； 作力多边形；作力多边形； 求出未知数。求出未知数。几何法解题不足：几何法解题不足： 计算繁计算繁 ； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。72bgqFxyO力的三要素：力的三要素： 大小、方向、作用点大小、方向、作用点( (线线) )大小：大小：作用点作用点： 与物体的接触

26、点与物体的接触点方向方向： 由由 、b b、g g三个方向角确定三个方向角确定 由仰角由仰角q q 与俯角与俯角 来确定。来确定。FF 一、力在空间的表示一、力在空间的表示：2-2 2-2 汇交力系合成与平衡的解析法汇交力系合成与平衡的解析法731、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法） cos FFx二、力在空间直角坐标轴上的投影二、力在空间直角坐标轴上的投影b b cos FFyg g cos FFz g gcossin FFx g gsinsin FFyg gcos FFz2、二次投影法（间接投影法）、二次投影法（间接投影法）FxFyFzgsin FFyx74FFx cos2

27、2yxFFF 3、力在平面坐标轴上的投影、力在平面坐标轴上的投影Fx=Fcos Fy=Fsin AByxFxFyF o说明：说明：（1）Fx的指向与的指向与 x 轴一致，为正，否则为负；轴一致，为正，否则为负；（2）力在坐标轴上的投影为标量。）力在坐标轴上的投影为标量。75 若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则： 321,FFF321FFFF 222zyxFFFF FFFFFFzyx g gb b cos,cos,coskFFjFFiFFzyx 111,而：kFjFiFFzyx 所以：F1F2F3三、力的解析表达式三、力的解析表达式：76四四 、合力投影定理、合力投影定理由图可看出，各分力在

28、由图可看出，各分力在x 轴和在轴和在y轴投影的和分别为：轴投影的和分别为： xxxxxRxFFFFFF4321 yyyyyRyFFFFFF4321 yRyFF xRxFF合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。1F2F3F4FRFFRxF2xF1xF3xF4xxyo77RF合力的大小：合力的大小：RxRyFF q qtg xyRxRyFFFF11tantanq q为该力系的汇交点为该力系的汇交点方向：方向： 作用点：作用点：五、汇交力系合成的解析法五、汇交力系合成的解析法xy yRyFF xR

29、xFFq1、平面汇交力系、平面汇交力系2222RRxRyxyFFFFF78 即：合力等于各分力的矢量和。即：合力等于各分力的矢量和。inRFFFFFF 3212、空间汇交力系的合成、空间汇交力系的合成：kFjFiFFziyixii kFjFiFFziyixiR xiF为合力在x轴的投影 222222)()()(:zyxRzRyRxRFFFFFFF合合力力RRzRRyRRxFFFFFF g gb b cos,cos,cos xiRxFF yiRyFF ziRzFF79六、汇交力系平衡的解析法六、汇交力系平衡的解析法平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。平面汇交力系平衡的必要与充分条

30、件是该力系的合力为零。 00yRyxRxFFFF解题步骤：解题步骤： 选择研究对象选择研究对象 画出研究对象的受力图（取分离体）画出研究对象的受力图（取分离体） 列平衡方程（选投影轴）列平衡方程（选投影轴）1、平面汇交力系的平衡、平面汇交力系的平衡0RF 220RxRyFF802、空间汇交力系的平衡：、空间汇交力系的平衡：空间汇交力系平衡的充要条件是：空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，力系的合力为零，即：即：0)()()(222222 zyxRzRyRxRFFFFFFF 000zRzyRyxRxFFFFFF空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程说明：空间汇交力系只有说明：空间

31、汇交力系只有 三个独立平衡方程，只能求解三三个独立平衡方程，只能求解三个未知量。个未知量。 上式中三个投影轴可以任取，只要不共面、其中任上式中三个投影轴可以任取，只要不共面、其中任何两轴不相互平行。何两轴不相互平行。81解：研究解：研究C0 xF0 yF0coscos ACBCFF0sinsin PFFBCAC 例例3 已知已知 AC=BC= l , h , P . 求求 : FAC , FBC画出受力图画出受力图列平衡方程列平衡方程ABChPACBCFF hPlPFFBCAC2sin2 PxyFACFBC h82ABChPhPlPFFBCAC2sin2 PxyFACFBC 83解：研究解：研

32、究AB杆杆 画出受力图画出受力图 列平衡方程列平衡方程0 xF0 yF045coscos0 CDAFF 045sinsin0 CDAFFP 例例4 已知已知 P=2kN 求求FCD , FAFAFCD84 解平衡方程解平衡方程由由EB=BC=0.4m，95.0cosAEAB解得：解得：kN 24. 445 coscos0ACDFFkN 16. 3sin cosPFA045coscos0 CDAFF 045sinsin0 CDAFFP FAFCD32.0sinAEBEmAE2649.16.185例例5 已知如图已知如图P、Q， 求平衡时求平衡时 = =？ 地面的反力地面的反力FD= =？解：研究

33、球：解：研究球： 060 212cos21 PPFFTT 0 xF0cos12 TTFF 0 yF0Qsin2 DTFF PP-FFTD3Q60sin2Qsin-Q02 FDFT1FT286 例例6 已知：已知：AB=3m, AE=AF=4m, Q=20kN; 求求：绳绳BE、BF的拉力和杆的拉力和杆AB的内力的内力 0yF由由C点：点：解：分别研究解：分别研究C点和点和B点点,sinsin045151QT)kN(6 .541T53 sin 54434 cos22 q qq q87由由B点：点：045 45 032coscoscoscos,q qq qTTFx)kN( 0 .23 , )kN(

34、 9 .41 232NTT045 45 60 0321coscoscoscossin,q qq qTTTFy0 60 03212q qq qsinsincos,TTTNFz880 xF 以以A 为研究对象为研究对象例例7 2-9 解：解：045cos45cos oABoACFF60o45o45oxyzAFFABFADFACABACFF 0 yF060cos oADFFkNFAD2 . 10 zF060sin45sin45sin oADoABoACFFFkNFFABAC735. 089 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几几

35、何法（解力三角形）比较简便。何法（解力三角形）比较简便。 解题技巧及说明：解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数。未知数。 2、一般对于受多个力作用的物体，用解析法。、一般对于受多个力作用的物体，用解析法。5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说 明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力， 如果求出负值，说明物体受压力。如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用

36、解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。909192FF力偶力偶：大小相等、方向相反且作用线不重合的两个力组成：大小相等、方向相反且作用线不重合的两个力组成的力系叫力偶。的力系叫力偶。用用 （F，F）表示）表示d力偶的作力偶的作用面用面力偶臂力偶臂力偶系力偶系：作用在刚体上的一群力偶。：作用在刚体上的一群力偶。力偶的作用效应力偶的作用效应：使刚体转动（由两个力共同作用引起）。：使刚体转动（由两个力共同作用引起）。-取决于力的大小、方向；取决于力的大小、方向；-取决于力矩的大小、方向。取决于力矩的大小、方向。力的作用效应力的作用效应：9331 力对点之矩力对点之矩32 力对轴之矩力对轴之矩

37、33 力偶矩矢力偶矩矢34 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质35 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡 第三章第三章 力偶系力偶系9431 力对点之矩力对点之矩一、平面中力对点的矩一、平面中力对点的矩OFABh力臂力臂矩心矩心FhFMO )( 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。 当当F=0 =0 或或 h=0 =0 时，时， =0=0。)(FMO说明：说明： 力对点之矩不因力的作用线移动而改变。力对点之矩不因力的作用线移动而改变。 互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。互成平衡的两个力对同

38、一点之矩的代数和为零。ABOOSFM 2)(9531 力对点之矩力对点之矩二、力对点的矩矢二、力对点的矩矢OFABhFrFMO )(ABOOSFhFM 2)()(FMOrv 力对点之矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢力对点之矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。量积。v 力对点之矩矢是过矩心力对点之矩矢是过矩心O的定位矢量。的定位矢量。v 力对点之矩矢服从矢量的合成法则。力对点之矩矢服从矢量的合成法则。力力F对刚体产生绕对刚体产生绕O点转动效应取决于：点转动效应取决于：转动效应的强度转动效应的强度转动轴的方位（力转动轴的方位（力F与矩心与矩心O所在平面法向）所在平面法向）使刚体绕

39、转动轴转动的方向使刚体绕转动轴转动的方向9631 力对点之矩力对点之矩二、力对点的矩矢二、力对点的矩矢FrFMO )(kFjFiFFzyx kzj yixr zyxOFFFzyxkjiFrFM )(kyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()( xxyyzzFAFxiFyjFzkOxyzOzxyOyzxOyFxFFMxFzFFMzFyFFM)(,)(,)( r9731 力对点之矩力对点之矩三、合力矩定理三、合力矩定理合力对任一点之矩矢，等于所有各分力对同一点之合力对任一点之矩矢，等于所有各分力对同一点之矩矢的矢量和（平面力系内为代数和）。矩矢的矢量和（平面力系内为代数和）。已知：力系（

40、已知：力系（F1， F2， F3， ， Fn ）可以合成为一个合力）可以合成为一个合力FRiRFF则：则：)()(iOROFMFM平面力系：平面力系：)()(iOROFMFM98FFxFyOxyxy)()()(yOxOOFMFMFMxyyFxF nRFFFF21nixiiyiiROFyFxFM1)()(jFiFFyxi 平面内力矩的解析表达式平面内力矩的解析表达式99 解解：用力对点的矩法：用力对点的矩法例例1 已知：如图已知：如图 F、Q、l, 求：求： 和和)(FMO)(QMO sin)(lFdFFMOlQQMO)( cot)( lFlFFMyxOlQQMo)(应用合力矩定理应用合力矩定理

41、 cotcossin)( lFlFFMO sin)(FlFMO100 解解：例例2 已知：如图已知：如图 F、R、r, , 求：求： )(FMA)()()(yAxAAFMFMFM应用合力矩定理应用合力矩定理ARFr FxFy sin)cos()(rFrRFFMyxA sinsin)cos(cos)(rFrRFFMAFrRFFMA cos)(101 解解：例例3 已知：如图已知：如图 q、l, 求：合力的大小和作用线位置。求：合力的大小和作用线位置。xqdxQxQMlCA0)(xClABqQ=qlCxdxqdx22qlqlxC 2lxC 102 解解：例例4 已知：如图已知：如图 q、l, 求：

42、合力的大小和作用线位置。求：合力的大小和作用线位置。 ldxqQ0 xClABqQCxdxqdx32202qldxxlqxqllC 32lxC xdxqQxQMlCA0)( lxdxlq02qlQ 1033-2 3-2 力对轴之矩力对轴之矩一、力对轴之矩的概念与计算一、力对轴之矩的概念与计算104定义：定义：)()(xyOzFMFM力对轴之矩是代数量。力对轴之矩是代数量。符号规定：右手法则。符号规定：右手法则。力对平行它的轴之矩为零。力对平行它的轴之矩为零。当力通过轴时，力对轴之矩为零。当力通过轴时，力对轴之矩为零。即力即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。与轴共面时，力对轴之矩为零。2)(BOA

43、xyzSdFFM 105 力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定。转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定。106故：)(cos)(FMFMzOg g)()(FMFMzzO二、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系二、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系AOBOSFM 2)(:由于由于2)()(BOAxyOzSFMFM 通过通过O点作任一轴点作任一轴 z，则：，则：cosBOAOABS

44、S g g由几何关系：由几何关系：)()(FMFMzzO)()(FMFMxxO)()(FMFMyyO)(FMO)(FMz107)()(cos,)()(cos,)()(cosFMFMFMFMFMFMOzOyOxg gb b 222)()()()(FMFMFMFMzyxOkFMjFMiFMFMzOyOxOO)()()()(kFMjFMiFMzyx)()()( 又由于又由于所以力对点所以力对点O的矩为：的矩为：108)()()()()(iznzzzRzFMFMFMFMFM21 即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有各分力对同一轴的矩的代数和。有各分

45、力对同一轴的矩的代数和。三、合力矩定理合力矩定理109例例4 已知：已知：P=2000N, C点在点在Oxy平面内。平面内。 求：力求：力P 对三个坐标轴的矩。对三个坐标轴的矩。 45sinPPz解：解： 45cosPPxy 60sin45cosPPx 60cos45cosPPy)()()()(zzyzxzzPMPMPMPM 60cos45cos560sin45cos6PPxP 60)5( yP)mN(2 .38 110zzxyxxxxPPMPMPMPM600)()()()()()()()(zyyyxyyPMPMPMPMzP500 45sin5P)mN(7 .70 )mN(8 .8445sin

46、6 P11133 力偶矩矢力偶矩矢一、力偶效应的度量一、力偶效应的度量xyzOAFBF 设在刚体上作用有力偶（设在刚体上作用有力偶（F，F ），），现研究它对现研究它对O点的转动效应。点的转动效应。 力偶（力偶（F，F ）对）对O点的转动效应可点的转动效应可用一矩矢用一矩矢 M 来度量。来度量。)()(FMFMMOOFOBOAFOBFOAFOBFOAMFBAMM力偶矩矢力偶矩矢v 力偶矩矢力偶矩矢 M 与与O点位置点位置无关，无关，是自由矢量。是自由矢量。v 力偶矩矢由其模、方位力偶矩矢由其模、方位和指向确定。和指向确定。11233 力偶矩矢力偶矩矢二、力偶矩矢的确定二、力偶矩矢的确定xyzO

47、AFBFFBAMM力偶矩矢力偶矩矢d力偶矩矢的模（大小）：力偶矩矢的模（大小）：FdFBAM力偶矩矢的方位：力偶矩矢的方位：沿力偶作用面的法向（表示力偶作用面的方位）沿力偶作用面的法向（表示力偶作用面的方位）力偶矩矢的指向：力偶矩矢的指向：按右手法则确定（表示力偶的转向）按右手法则确定（表示力偶的转向）力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、作用面的方位和转向。力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、作用面的方位和转向。113三、平面力偶（代数量）三、平面力偶（代数量）FFd力偶的作力偶的作用面用面力偶臂力偶臂+四、空间力偶（矢量）四、空间力偶（矢量）xyzMM iM jM k 11434 力偶的等效条件和性

48、质力偶的等效条件和性质一、力偶的等效条件一、力偶的等效条件xyzOAFBFM力偶矩矢力偶矩矢d性质性质1：力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。两个力偶等效两个力偶等效力偶矩矢相等力偶矩矢相等二、力偶的性质二、力偶的性质115力偶中两个力在任意坐标轴上投影之代数和为零。力偶中两个力在任意坐标轴上投影之代数和为零。力偶中两力对任一点取矩之和恒等于力偶矩，而与力偶中两力对任一点取矩之和恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。矩心的位置无关。性质性质4：力偶可以在其作用面内任意移动或转动，或移到另力偶可以在其作用面内任意移动或转动，或移到另一平行平面，而不

49、影响它对刚体的作用效应。一平行平面，而不影响它对刚体的作用效应。FFMFFMFFM1166N6N4m8N8N3m3N3N8m24Nm24Nm性质性质5：只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。刚体的作用效应。11721 MM 、21 MMM合合力力偶偶矩矩矢矢3-53-5 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡设有两个力偶设有两个力偶 由于力偶矩矢是自由矢量，可任意平行移动，故可将其由于力偶矩矢是自由矢量，可任意平行移动，故可将其按照矢量合成的方

50、法进行合成。按照矢量合成的方法进行合成。21 MMAB21 MMABM一、力偶系的合成一、力偶系的合成118niinRMMMMM121 合合力力偶偶矩矩矢矢：对于对于 n 个个力偶组成的力偶系：力偶组成的力偶系：对于对于 n 个个力偶组成的平面力偶系：力偶组成的平面力偶系：niiRMM1 合合力力偶偶矩矩： 平面力偶系合成结果是一个合力偶平面力偶系合成结果是一个合力偶, ,其力偶矩为各力偶其力偶矩为各力偶矩的代数和矩的代数和。一、力偶系的合成一、力偶系的合成119力偶系平衡的充要条件是力偶系平衡的充要条件是: : 合力偶矩矢等于零，即所有各力偶矩矢的矢量和等于零。合力偶矩矢等于零，即所有各力偶

51、矩矢的矢量和等于零。 即01niiM 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是: : 合力偶矩等于零，即所有各力偶矩的代数和等于零。合力偶矩等于零，即所有各力偶矩的代数和等于零。 0 1niiRMM000 zyxMMM力偶系的平衡方程力偶系的平衡方程二、力偶系的平衡二、力偶系的平衡120 例例5 5 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件, ,在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径 的孔的孔, ,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? ? mN154321 mmmm4321mmmmM 解解:

52、: 各力偶的合力偶距为各力偶的合力偶距为mN60)15(4 niiMM112102 . 04321 mmmmNBN3002 . 060 BNN 300 BANN根据平面力偶系平衡方程有根据平面力偶系平衡方程有: : 由力偶只能与力偶平衡的性由力偶只能与力偶平衡的性质，力质，力NA与力与力NB组成一力偶。组成一力偶。01niiM122 例例6 6 已知：已知：M11kNm，l1m， 求平衡时求平衡时M2? ? 01MlFE解解: :kNlMFE1101niiMAB:CD:01niiM02MlFEkNmlFME12BClAD45oEM1M2FEFAFCFEM2EClEABM1123xy 例例7 7

53、 已知：已知：M13m/2， M2m/2， CD=l ， 求：求：AB、AC 杆所受力。杆所受力。 021MMlFC cos解解: : coslmFC01niiMCD:C:0yF 0BCCFF coslmFBCFACFCCBCDM1M2A M1M2DCFD FCFBC0 xF 0ACCFF sin tanlmFAC124125126第四章第四章 平面任意力系平面任意力系平面任意力系：平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点 又不相互平行的力系叫平面任意力系又不相互平行的力系叫平面任意力系。平面任意力系平面任意力系F1F2F3F4Fn平面力偶

54、系平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系合成合成平衡平衡合成合成平衡平衡FR= FiM= Mi Mi =0 Fx=0 Fy =0例例FAyFAxFFN127第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 41 力线平移定理力线平移定理 42 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 43 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 44 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 45 静定与静不定问题静定与静不定问题物体系统的平衡物体系统的平衡 1284-1 4-1 力线平移定理力线平移定理：F证证）F，F（F 偶 力 力F力力F,F,F 力系力系但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力

55、偶矩等于原来的力但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等于原来的力F作用在刚体上点作用在刚体上点A的力的力 ， 可以平行移到刚体上任一点可以平行移到刚体上任一点B，对新作用点对新作用点B的矩。的矩。MM129力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶M，且，且M与与d有关，有关，M=Fd 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力力力+力偶力偶 力线平移定理的逆定理成立。力线平移定理的逆定理成立。力力力力+力偶力偶 v力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。v力线平移定理可将平面任意力系转化为平面汇交力系和平面力线平移定理可

56、将平面任意力系转化为平面汇交力系和平面力偶系进行研究。力偶系进行研究。说明说明：130力系的主矢：力系的主矢：力系中各力的矢量和。力系中各力的矢量和。的主矢为：力系 ,321nFFFFxiRxFF yiRyFF ziRzFF 2 2 2 RzRyRxRFFFF 1F2F3FnF1F2F3FnFRF iRFF kFjFiFFziyixii 222)()()(ziyixiFFF RziRyiRxiFFFFFF g gb b cos,cos,cos niinRFFFFFF1321131 222222ziyixiOMMMMMMMozoyox 力系的主矩：力系的主矩：力系中各力对任一点取矩的矢量和。力系

57、中各力对任一点取矩的矢量和。 nFFFF,321力系力系中各力的作用点分别为：中各力的作用点分别为：P1，P2，Pn，选定矩心选定矩心O点，各力作用点对于矩心的矢点，各力作用点对于矩心的矢径分别为：径分别为： r1，r2，rn 。则该力系对。则该力系对O点的主矩为：点的主矩为： OiiOiiOMFMFrM xixOixiiOxMMFrM yiOyMM ziOzMM 132力系等效定理：力系等效定理： 两个力系相互等效的充分与必要条件是主矢量相等，对任两个力系相互等效的充分与必要条件是主矢量相等，对任一点的主矩相等。一点的主矩相等。 适用范围：刚体。适用范围：刚体。 应用：力系的简化。应用：力系

58、的简化。零力系零力系：力系的主矢量和对任一点的主矩均等于零。：力系的主矢量和对任一点的主矩均等于零。1334-2 4-2 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化 平面任意力系平面任意力系（未知力系）（未知力系）平面力偶系平面力偶系（已知力系）（已知力系）平面汇交力系：平面汇交力系：（已知力系）（已知力系）力（主矢量）：力（主矢量）：力偶（主矩）：力偶（主矩）：FR = FMo= M(作用在简化中心)(作用在该平面上)FR M1M2M3134RF iFFFFF321R :主主矢矢321 MMMMO主矩：主矩：2222)()(yxRyRxRFFFFFxyRxRyFFFF11tantan 大小

59、大小：方向方向：简化中心简化中心 (与简化中心位置无关) 因主矢等于各力的矢量和)()()(iOOOFMFMFM21 一般情况：一般情况：135 主矩主矩MO )(iOOFMM 固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束雨 搭车 刀大小大小：方向方向： 方向规定方向规定 + 简化中心简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）136固定端（插入端）约束的约束反力：固定端（插入端）约束的约束反力：137v 简化结果分析简化结果分析 合力矩定理合力矩定理简化结果：简化结果： 主矢主矢 ，主矩，主矩 MO ，下面分别讨论，下面分别讨论。RF =0， MO =0，则力系平衡，

60、则力系平衡,下节专门讨论。下节专门讨论。 RF =0, =0, MO00，即简化结果为一合力偶，即简化结果为一合力偶, , M= =MO 此时此时 刚体等效于只有一个力偶的作用，刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）无关。）RF 0,0,MO =0,=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）简化结果就是合力（这个力系的合力）, , 。（此时（此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）与简化中