应力状态——材料力学

1、土体应力计算补充一、力学基础知识材料力学研究物体受力后的内在表现， 即变形规律和破坏特征。一、材料力学的研究对象材料力学以“梁、杆”为主要研究对象。 二、材料力学的任务 材料力学的任务：在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。强度:杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。刚度:杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。稳定性:杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。如：自行车结构也有强度、刚度和稳定问题；大型桥梁的强度、刚度、稳定问题强度、刚度、稳定性 三、基本假设1、连续性假设：物质密实地充满物

2、体所在空间，毫无空隙。 （可用微积分数学工具） 2、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。 3、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。（这样的材料称为各项同性材 料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各项异性材料。）4、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。假设四、杆件变形的基本形式五、内力 截面法 轴力 1、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。2、截面法 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。（1） 截面法的基本步骤： 截开

3、：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）截面法 例如： 截面法求N  截开：代替：平衡：3、轴力轴向拉压杆的内力，用N 表示。轴力的正负规定: N与外法线同向,为正轴力(拉力） N与外法线反向,为负轴力(压力) 六、截面上应力1、应力的概念 定义：由外力引起的内力集度。 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或

4、“失效”往往从内力集度最大处开始。 2、应力的表示平均应力： 全应力（总应力） 垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress) 位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stress)。应力概念、支座约束类型3、例题：下图为一等值杆，受力情况图示。试做轴力图 （P13），若横截面积为400mm2，求最大工作应力（P17）。注：忽略杆自身重量。 40kN 55kN 25kN 20kN A B C D E 解：（1）求支座反力，杆整体平衡； （2）求轴力，部分杆件平衡； （3）轴力图； （4）求最大轴力； （5）求最大工作应力。 “三最”,最危险断面,最危险点,最危险方向七

5、、拉压杆应变1、杆的纵向总变形 2、线应变：单位长度的线变形。3、平均线应变 4、x点处的纵向线应变：5、杆的横向变形：6、x点处的横向线应变：应变概念八、拉压杆的弹性定律-胡克定律由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来1、等内力拉压杆的弹性定律 “EA”称为杆的抗拉压刚度。2、变内力拉压杆的弹性定律 3、单向应力状态下的弹性定律 应力应变、虎克定律 “E”称为弹性模量4、泊松比（或横向变形系数）九、剪切虎克定律薄壁圆筒的扭转: 剪应力分布：轴受剪、圆柱受扭、薄壁圆筒的扭转 A。=r02：平均半径所作圆的面积。 剪切虎克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变

6、成正比关系。 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因G无量纲，故G的量纲与t相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：十、安全系数、容许应力和强度条件 变形特点低碳钢材料塑性破坏试验阶段：1、弹性阶段-弹性变形p点，线性，符号虎克定律，p，比例极限；过p点后，达到弹性变形最高点。2、屈服阶段-塑性变形荷载不变，杆件伸长；s，屈服极限（屈服低点）。3、强化阶段-塑性变形为主，荷载增大；b，强度极限，最高点。4、局部变形阶段-颈缩破坏。将

7、材料在拉伸（压缩）时两个强度指标屈服极限s和强度极限b统称为极限应力jx。要确保拉（压）杆不致于因强度不足而破坏，应使其最大工作应力max不超过某一个极限值，这个极限值可规定为jx的若干分之一，并称为容许应力。式中：K-大于1的系数，称为安全系数。确保拉（压）杆不致于因强度不足而破坏的条件是：max这就是拉（压）杆强度条件。 容许应力、安全系数材料类型： （1）塑性材料，屈服破坏，如低碳钢； （2）脆性材料，断裂破坏，如铸铁、玻璃钢 。1、下图为一等值杆，受自重及集中力P（kN）作用，受力见示意图，若杆重度为（kN/m3），横长度为L（m），截面积为A（m2），试做轴力图，并求最大工作应力。

8、重力 作业: 集中力P 补充二、 材料力学中的应力状态一、 概念1、一点的应力状态 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。2、单元体： (1)单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 (2)单元体的性质平行面上，应力均布，应力相等。3、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点两个正交面上，如果有与相交边垂直的剪应力分量，则这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。4、主单元体、主面、主应力(1)

9、主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。(2)主面(Principal Plane)：剪应力为零的截面。(3)主应力(Principal Stress ）：主面上的正应力。(4)主应力排列规定：按代数值大小。 (5)三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 (6)二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 (7)单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：一个主应力不为零的应力状态。二、 平面应力状态分析

10、等价于 1、任意斜截面上的应力 得到： 2、极值应力 3、应力圆（ Stress Circle） 应力圆难点，坐标体系，xy和n，面的位置外法线方向 应力圆的画法-三种应力圆的画法-三种：1）方程法：利用方程计算圆心坐标和半径大小，圆心、半径画圆。2）直径法：在应力圆中画出两点（相互垂直两面），两点连线为直径，直径与轴交点为圆心，由圆心、直径画圆。3）弦垂直平分线法：在应力圆中画出两点（相交两面），弦垂直平分线与轴交点为圆心，由圆心、半径画圆。单元体与应力圆对应关系 在应力圆上标出极值应力例题： 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) 解法1-应力圆法1、主应力坐标系如

11、图2、在坐标系内画出点3、AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆 主应力及主平面如图 解法2-解析法：分析建立坐标系如图 作业22、单元体应力如图所示，试利用应力圆求出主应力的数值，并在单元体上画出主平面的位置及主应力的方向。803030 160 4、主应力及其主应力迹线主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）以梁的弯曲为例。 实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。三、 三向应力状态1、空间应力状态四、 复杂应力状态下的应力-应变关系 （广义虎克定律

12、）1、单拉下的应力-应变关系2、纯剪的应力-应变关系3、复杂状态下的应力 - 应变关系4、平面应力状态下的应力-应变关系 平面应力状态：当弹性体某一轴的尺寸比其他两轴的尺寸小很多，例如薄版。单元体的与自由面平行的面上无应力。x0 y0 z =0 xy0 yz=0 zx=0 x0 y0 z0 xy0 yz=0 zx=05、平面应变状态下的应力-应变关系 平面应变状态：弹性体某一轴的尺寸很长，且垂直于该轴的材料几何尺寸，应变，约束条件都相同，例如圆柱体、土坝、重力坝。与截面垂直的纵向无线应变，且纵向平面内无剪应力。 x0 y0 z0 xy0 yz=0 zx=0 x0 y0 z=0 xy0 yz=0

13、 zx=06、平面应力状态与平面应变状态的对比1）平面应力问题是对力分布的研究；平面应变问题是对表面变形的研究。2）平面应力问题：弹性体某一轴的尺寸比其他两轴的尺寸小很多，例如薄版；平面应变问题：弹性体某一轴的尺寸很长，且垂直于该轴的材料几何尺寸，应变，约束条件都相同，例如圆柱体、土坝、重力坝。3）平面应力问题：所有应力都在一个平面内，Z向应力0,如薄板受与板平行且共面的力作用下一般是平面应力问题。平面应变问题：所有应变都在一个平面内，Z向应变为0，如炮筒等，Z向尺寸远远大于另外两个方向的尺寸，而且不考虑沿Z向的外力，只考虑垂直Z向的外力。4）平面应力就是说一个方向的应力可忽略，平面应变就是一个方向的应变可以忽略.如果某一方向（Z轴吧）在空间很长（相对其他两个方向而言），那么在这个方向的应变就可以忽略不计，但是这个方向的应力不一定为零