将军饮马模型(终稿)

1、精品文档将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦 一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题将军每天从军营A 出发，先到河边饮马， 然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它从此以后， 这个被称为“ 将军饮马 ”的问题便流传至今【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1. 两定一动型： 两定点到一动点的距离和最小例 1：在定直线

2、l 上找一个动点P，使动点P 到两个定点A 与 B 的距离之和最小，即PA+PB最小 .作法 ：连接 AB，与直线l 的交点 Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理： 两点之间线段最短。证明：连接 AB，与直线l 的交点 Q，P 为 直线 l 上任意一点，在 PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB AB(当且仅当PQ重合时取 )。1欢迎下载精品文档例 2：在定直线 l 上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA+PB的和最小 .关键：找对称点作法：作定点 B 关于定直线 l 的对称点 C，连接 AC，与直

3、线 l 的交点 Q即为所要寻找的点，即当动点 P 跑到了点 Q处， PA+PB和最小，且最小值等于 AC. 原理： 两点之间，线段最短证明：连接 AC，与直线l 的交点 Q，P 为 直线 l 上任意一点，在 PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC AC(当且仅当PQ重合时取 )2. 两动一定型例 3：在 MON的内部有一点A，在 OM上找一点B，在 ON上找一点C，使得 BAC周长最短作法： 作点 A 关于 OM的对称点 A，作点 A 关于 ON的对称点 A，连接 AA，与 OM交于点B，与 ON交于点 C，连接 AB，AC， ABC即为所求原理： 两点之间，线段最短。2欢迎下载精品文档例

4、 4：在 MON的内部有点 A 和点 B，在 OM上找一点 C，在 ON上找一点 D，使得四边形 ABCD 周长最短作法： 作点 A 关于 OM的对称点 A，作点 B 关于 ON的对称点 B，连接 AB ，与 OM交于点C，与 ON交于点 D，连接 AC，BD， AB，四边形 ABCD即为所求原理： 两点之间，线段最短3. 两定两动型最值例 5：已知 A、 B 是两个定点，在定直线 l 上找两个动点 M与 N，且 MN长度等于定长 d（动点 M位于动点 N左侧），使 AM+MN+NB的值最小 .提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移。3欢迎下载精品文档作法一： 将点 A 向右平移长度d 得到点

5、 A， 作 A关于直线 l 的对称点 A，连接 AB，交直线 l 于点 N，将点 N 向左平移长度d， 得到点 M。作法二 ：作点 A 关于直线l 的对称点 A1，将点 A1 向右平移长度d 得到点 A2，连接 A2 B ，交直线 l 于点 Q，将点 Q向左平移长度d，得到点 Q。原理： 两点之间，线段最短，最小值为AB+MN例 6： （ 造桥选址 ）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为 30 米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？例 6：直线 l 1 l 2，在直线 l 1 上找一个点 C，直线 l 2 上找一个点 D，使得 CD l 2, 且A

6、C BD CD最短作法：将点 A 沿 CD方向向下平移CD长度 d 至点 A，连接 AB，交 l 2 于点 D，过点 D 作 DC l 2于点 C，连接 AC则桥 CD即为所求此时最小值为 AB+CD 原理： 两点之间，线段最短，4. 垂线段最短型。4欢迎下载精品文档例 7：在 MON的内部有一点A，在 OM上找一点 B，在 ON上找一点C，使得 AB BC最短原理：垂线段最短点 A 是定点， OM， ON是定线，点 B、点 C是 OM、 ON上要找的点，是动点作法： 作点 A 关于 OM的对称点 A，过点 A作 ACON，交 OM于点 B， B、 C 即为所求。例 8：在定直线 l 上找一个

7、动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之差最小，即 PA-PB 最小 .作法： 连接 AB，作 AB的中垂线与l 的交点，即为所求点P此时 | PA-PB |=0原理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等例 9：在定直线l 上找一个动点C，使动点 C 到两个定点A 与 B 的距离之差最大，即| PA-PB| 最大作法 ：延长 BA交 l 于点 C，点 C 即为所求，即点 B、 A、C 三点共线时，最大值为AB的长度。原理： 三角形任意两边之差小于第三边例 10：在定直线l 上找一个动点C，使动点 C 到两个定点A与 B 的距离之差最大， 即| PA-PB|最大。5欢迎下载精品文档作法 ：作点 B 关于 l 的对称点B，连接 AB，交交 l 于点 P 即为所求，最大值为AB的长度。原理： 三角形任意两边之差小于第三边典型例题三角形1 如图，在等边 ABC中， AB = 6， AD BC， E 是 AC上的一点， M是 AD上的一点，且AE =2，求 EM+EC的最小值AAEEMHMBDCBDC解：点 C 关于直线 AD的对称点是点B，连接 BE，交 AD于点 M，则 ME+MD最小，过点