第6章弯曲内力(1,2)

1、第六章 弯曲内力6-16-1对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图6-26-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图6-3 6-3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图比较比较分类法分类法第第6章知识点章知识点弯曲的概念与弯曲的概念与内力（平面弯曲内力（平面弯曲、梁、简图、内力、梁、简图、内力符号规定、外力符号规定、外力与内力规律与内力规律42字）字）梁的内力图的梁的内力图的画法画法平面刚架和平面平面刚架和平面曲杆的内力图曲杆的内力图截面法求内力和截面法求内力和简便法求内力简便法求内力（步骤）（步骤）内力方程画内力内力方程画内力图、内力图特征图、内

2、力图特征画内力图画内力图平面刚架内力图平面刚架内力图的画法的画法弯矩、剪力、荷弯矩、剪力、荷载三者微分关系载三者微分关系画内力图、叠加画内力图、叠加法画弯矩图法画弯矩图平面曲杆内力图平面曲杆内力图的画法的画法6-1 6-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图一一. . 弯曲的概念弯曲的概念1.弯曲的一些概念弯曲的一些概念桥梁，屋梁，车轴都是桥梁，屋梁，车轴都是最常见梁的例子。最常见梁的例子。梁：梁：工程中以弯曲变形为主的杆件称为工程中以弯曲变形为主的杆件称为 弯曲：弯曲： 受力特点：受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的杆件在包含其轴线的纵向平面内，承

3、受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。横向外力或外力偶作用。 变形特点：变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。直杆的轴线在变形后变为曲线。纵向对称面：纵向对称面：梁的轴线与横截面对称轴所构梁的轴线与横截面对称轴所构成的平面。成的平面。 平面弯曲（对称弯曲）：平面弯曲（对称弯曲）：当作用在梁上的横向当作用在梁上的横向载荷和力偶均位于纵向对称面内时，梁的轴线载荷和力偶均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。纵向对称面F轴线F F F 非对称弯曲：非对称弯曲：若梁不具有纵向对称平面，或者，梁虽具若梁不具有纵向对称平面，或者，梁虽具有纵

4、向对称平面，但横向力或力偶不作用在纵向对称平有纵向对称平面，但横向力或力偶不作用在纵向对称平面内，这种弯曲则统称为面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲非对称弯曲。本章和第七、八。本章和第七、八章研究的都是平面弯曲，至于非对称弯曲在章研究的都是平面弯曲，至于非对称弯曲在材料力学材料力学（）的第一章介绍。）的第一章介绍。二二. .梁的计算简图梁的计算简图1.1.杆件的简化杆件的简化用梁的轴线来代替实际的梁。用梁的轴线来代替实际的梁。Pq(x)2.2.载荷的简化载荷的简化荷载简化为集中荷载、分布荷载和力偶。荷载简化为集中荷载、分布荷载和力偶。3.3.支座的简化支座的简化根据支座对梁在载荷面内的约束情况，

5、一般可简化为三种基本形根据支座对梁在载荷面内的约束情况，一般可简化为三种基本形式：式：固定端支座固定端支座可动铰支座可动铰支座固定铰支座固定铰支座三、梁的分类三、梁的分类1. .按按支座情况支座情况分为（分为（三种简单静定梁三种简单静定梁）( (记住）记住）：2. .按按支座数目支座数目分为：分为：简支梁简支梁静定梁静定梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁超静定梁超静定梁跨跨 梁在两支座间的部分梁在两支座间的部分跨长跨长梁在两支座间的长度梁在两支座间的长度 3. .按按跨数跨数分为：分为：单跨梁单跨梁多跨梁多跨梁工程中梁的实例工程中梁的实例火车车轮轴火车车轮轴简图简图厂房的吊车梁厂房的吊车梁简图简图MA

6、 FAABq0阳台挑梁及其计算简图阳台挑梁及其计算简图水坝及其计算简图水坝及其计算简图跳台跳板 试求图试求图a所示有中间铰所示有中间铰C的梁在的梁在A、B处的约处的约束力。束力。例例 6-1请同学们先写出解题思路，再列方程求出结果（时请同学们先写出解题思路，再列方程求出结果（时间间3分钟）分钟）6-26-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图一、梁的剪力一、梁的剪力Fs(FQ)和弯矩和弯矩M 图图a所示跨度为所示跨度为l 的简支梁其支的简支梁其支座反力为座反力为 lFaFlalFFBA , 梁的左段内任一横截面梁的左段内任一横截面m-m上的内力，由上的内力，由m-m左边分

7、离体左边分离体(图图b)的平衡条件可知：的平衡条件可知： xlalFxFMlalFFFAA ,S 它们的指向和转向如图它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是中所示。显然这些内力是 m-m右边的梁段对于左边梁段的作右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。用力和作用力矩。 故根据作用与反作用原理，故根据作用与反作用原理，m-m左边的梁段对于右边梁左边的梁段对于右边梁段段(图图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。和转向相反。 梁的横截面上位于横截面梁的横截面上位于横截面内的内力内的内力FS或或FQ与横截面左与横截面左右两

8、侧的两段梁在与梁轴相垂右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动直方向的错动(剪切剪切)相对应，相对应，故称为故称为剪力剪力；梁的横截面上作；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为与梁的弯曲相对应，故称为弯弯矩矩。总之，梁在横向荷载作用下横截面的内力为：总之，梁在横向荷载作用下横截面的内力为：(a)剪力剪力Fs：与横截面相切的内力，单位：与横截面相切的内力，单位：N或或kN(b)弯矩弯矩M：作用在纵向平面的内力偶矩，单位：作用在纵向平面的内力偶矩，单位：Nm或或 kNm剪力剪力FS S的符号规定的符号规定弯矩弯矩M的符号规定的符号规定使物体顺时针

9、使物体顺时针转动为正，反转动为正，反之为负。之为负。下凸下凸上凹为正，反之为负。上凹为正，反之为负。FSFSFSFS结论：剪力顺时针为正，逆时针为负；结论：剪力顺时针为正，逆时针为负； 弯矩下凸弯为正，上凸弯为负。弯矩下凸弯为正，上凸弯为负。二、梁的内力符号规定二、梁的内力符号规定三、求梁内力的方法三、求梁内力的方法（一）截面法求内力（一）截面法求内力步骤：步骤：1、显示内力：假想用截面把梁截开，取其中一、显示内力：假想用截面把梁截开，取其中一 部分为对象，用内力来代替两部分的相互作用；部分为对象，用内力来代替两部分的相互作用； 2、确定内力：列平衡方程求内力。、确定内力：列平衡方程求内力。注

10、意：在用截面法算梁内力时，假设所求横截面上的注意：在用截面法算梁内力时，假设所求横截面上的内力为正，即假定所求截面上的剪力顺时针，弯矩使内力为正，即假定所求截面上的剪力顺时针，弯矩使梁下凸上凹，其目的是便于画出梁正确的内力图。求梁下凸上凹，其目的是便于画出梁正确的内力图。求梁内力的方程是：梁内力的方程是：剪力：向上取剪力：向上取y轴，由轴，由syFF0弯矩：对横截面形心弯矩：对横截面形心O取矩，由取矩，由MM0O(剪力）剪力）(弯矩）弯矩）0AMFRBBdEDAabclCFF1F2FRA021R bFaFlFB0BM0)()(21R blFalFlFAlblFalFFA)()(21R lbFa

11、FFB21R BdEDAabclCFF1F2FRAAEcFSEFRA00SR EAyFF,F0, 0R cFMMAEEAEFFRS cFMAE R BdEDAabclCFF1F2FRAFdBFSFMFFRB,SRR0000yFBFFBFFFMMFd-+BFFFRS dFMBFR 任一横截面上的剪力等于该横截面任一侧所有外力的任一横截面上的剪力等于该横截面任一侧所有外力的代数和。代数和。aF1F2ABbxxFAyFByxaFAyF1FByF2bFQFQmm:0 yF0Q1 FFFAy 1QFFFAy （二）简便法求内力（二）简便法求内力1、外力与内力大小规律、外力与内力大小规律任一横截面上的弯矩

12、等于该横截面任一侧所有外力对横截面形任一横截面上的弯矩等于该横截面任一侧所有外力对横截面形心力矩的代数和。心力矩的代数和。:0 CM 01 MaxFxFAy 1axFxFMAy MMaF1F2ABbxxFAyFByxaFAyF1FByF2bFQFQmmFFFFFSFSFSFS左侧梁左侧梁右侧梁右侧梁（+）（-）FS=FFS=-F外力与剪力方向规律：外力与剪力方向规律：截面左截面左侧梁段侧梁段向上向上外力或截面右侧外力或截面右侧梁梁向下向下外力，该截面引起正剪力；反之该截面引起负剪力。外力，该截面引起正剪力；反之该截面引起负剪力。见上图表示。见上图表示。2、外力与内力方向规律（三个）、外力与内力

13、方向规律（三个）FFFMFM左侧梁左侧梁右侧梁右侧梁（+）（-）M=FxM=-FxMMxxxx（1）截面任一侧梁，凡是）截面任一侧梁，凡是向上向上外力，该截面引起正弯矩；反之，外力，该截面引起正弯矩；反之，该截面引起负弯矩。见上图表示。该截面引起负弯矩。见上图表示。外力与弯矩方向规律（两个）外力与弯矩方向规律（两个）MM左侧梁左侧梁右侧梁右侧梁（+）（-）M=mM=-mMMmmmm（2）截面左侧梁）截面左侧梁顺时针转向顺时针转向的外力偶或截面右侧梁的外力偶或截面右侧梁逆时针转向逆时针转向的外力偶，该截面引起正弯矩；反之，该截面引起负弯矩。见上的外力偶，该截面引起正弯矩；反之，该截面引起负弯矩。

14、见上图表示。图表示。剪力等于外力和剪力等于外力和;弯矩等于力矩和弯矩等于力矩和;左上右下剪为正左上右下剪为正;左上右上弯为正左上右上弯为正;左顺右逆弯为正左顺右逆弯为正;与上不符皆为负。与上不符皆为负。背口诀，快速记（背口诀，快速记（42字）字）3、简便法求梁内力的步骤、简便法求梁内力的步骤步骤：步骤： （1）先分别判断梁上各外力在截面上）先分别判断梁上各外力在截面上引起的内力符号，并求出相应的内力数引起的内力符号，并求出相应的内力数值。值。 （2）由外力与内力大小规律，将截面）由外力与内力大小规律，将截面上的各内力代数和，即为所有外力作用上的各内力代数和，即为所有外力作用下梁截面的内力。下梁

15、截面的内力。口诀（口诀（9个字）：先判断个字）：先判断分别求分别求后叠加后叠加例例6-3 6-3 求梁求梁1-11-1、2-22-2、3-33-3和和4-44-4截面上的剪力和弯矩。截面上的剪力和弯矩。得由0BMqaRA45由得MA0qaRB474/51qaRFAS5/5212qaaRMMA4/23qaqaRFFASS2/3223qaaqaaRMA解：解：（1）求支座反力）求支座反力（2 2）求剪力与弯矩）求剪力与弯矩434qaRqaFBS4522B4qaaaqaRM解：解：D左邻截面：左邻截面：qaqaqaFD4341Q 左左245qa aqaaaqaMD 41)2(左左例例6-4 试求图示

16、外伸梁试求图示外伸梁D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FQ和和M。aaaaqqa2qaABCDEFAyFByqa41 qa47 D右邻截面：右邻截面：qaqaqaFD4341Q 右右241)2(qaaqaaaqaMD 右右241qa 四四. 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律，或称为随截面位置的变化规律，或称为内力方程内力方程。显示这种变化规。显

17、示这种变化规律的图形则分别称为律的图形则分别称为剪力图剪力图和和弯矩图，它们是梁配钢筋和承弯矩图，它们是梁配钢筋和承载能力计算的依据。载能力计算的依据。梁剪力图的画法：梁剪力图的画法：取纵横坐标轴，横坐标轴与梁轴线平行，表取纵横坐标轴，横坐标轴与梁轴线平行，表示梁的截面位置，纵坐标轴表示梁截面对应的剪力的大小，规示梁的截面位置，纵坐标轴表示梁截面对应的剪力的大小，规定正剪力画在横坐标轴的上方，负剪力画在横坐标轴的下方，定正剪力画在横坐标轴的上方，负剪力画在横坐标轴的下方，画出的图形即为梁的剪力图。画出的图形即为梁的剪力图。梁弯矩图的画法：梁弯矩图的画法：取纵横坐标轴，横坐标轴与梁轴线平行，表取

18、纵横坐标轴，横坐标轴与梁轴线平行，表示梁的截面位置，纵坐标轴表示梁截面对应的弯矩的大小，示梁的截面位置，纵坐标轴表示梁截面对应的弯矩的大小，规规定梁的弯矩图画在梁的受拉侧，定梁的弯矩图画在梁的受拉侧，因为正弯矩使梁下侧受拉，所因为正弯矩使梁下侧受拉，所以正弯矩画在横坐标轴的下方；负弯矩使梁的上侧受拉，所以以正弯矩画在横坐标轴的下方；负弯矩使梁的上侧受拉，所以负弯矩画在横坐标轴的上方，画出的图形即为梁的弯矩图。负弯矩画在横坐标轴的上方，画出的图形即为梁的弯矩图。作作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图的方法：的方法： 1. .列内力方程画内力图列内力方程画内力图 4. .叠加法画内力图叠加法画内力图(

19、(主要画弯矩图主要画弯矩图) ) 3 3. .控制点法控制点法( (或称由或称由、s s、q q三者微分关系画三者微分关系画内力图）内力图）2.2.由内力图特征画内力图由内力图特征画内力图注意：画梁的内力图一定要标图名、控制点数值、注意：画梁的内力图一定要标图名、控制点数值、单位、正负号。单位、正负号。1、由内力方程画内力图、由内力方程画内力图步骤：步骤： 1. 求梁的支座反力求梁的支座反力;2、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程 M=M(x),Fs=Fs(x); 3、由梁的内力方程求出梁控制点的剪力、由梁的内力方程求出梁控制点的剪力 和弯矩，从而画出梁的剪力图和弯矩图。和

20、弯矩，从而画出梁的剪力图和弯矩图。注意：列剪力方程时，集中力作用的点除外，因为集中力注意：列剪力方程时，集中力作用的点除外，因为集中力作用点处剪力是不确定值；列弯矩方程时，集中力偶作用作用点处剪力是不确定值；列弯矩方程时，集中力偶作用的点除外，因为集中力偶作用点处弯矩是不确定值。的点除外，因为集中力偶作用点处弯矩是不确定值。例例6-5 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlx

21、xqxxFxMAxFBFABlAq)0(lx )0(lxql 2FS ql28l/2M BlAq3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图2max,SqlF82maxqlM 222qxqlxxM qxqlxF2S结论结论：（：（1）梁上有均布荷载，剪力图是斜直线，弯矩图是二次曲）梁上有均布荷载，剪力图是斜直线，弯矩图是二次曲线，弯矩图的凸向与均布荷载指向一致；剪力等于零处，弯矩有极线，弯矩图的凸向与均布荷载指向一致；剪力等于零处，弯矩有极值。值。 （2）固定铰支座、可动铰支座和圆柱铰链，上面没有力偶）固定铰支座、可动铰支座和圆柱铰链，上面没有力偶矩，则这些支座的弯矩等于零。矩，则这些支座的弯矩

22、等于零。例例6-6 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪作用。试作梁的剪力图和弯矩图。力图和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出xBlAF abCFBFAAC段段CB段段 lxalFaFxFBS axlFbxF0S lxaxllFaxlFxMB)( axxlFbxM0 xBlAF abCFBFA3、作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图xllFaxM)(2 lFbxFS1 xlFbxM1 lFaxFS2FS FblFaMxFablF BlAabClxlFbFmax,SlFabM

23、max发生在集中荷发生在集中荷载作用处载作用处发生在发生在AC段段ba时时为为极极大大值值。时时，42/maxFlMlba结论：结论：（1）梁上某段没有均布荷载，剪力图为水）梁上某段没有均布荷载，剪力图为水平线，弯矩图为直线；平线，弯矩图为直线； （2）在集中力）在集中力F作用处，剪力图有突变，突作用处，剪力图有突变，突变方向：从左向右看，与集中力指向一致，突变值变方向：从左向右看，与集中力指向一致，突变值为集中力的大小；对应该处弯矩图有尖角。为集中力的大小；对应该处弯矩图有尖角。 在集中力在集中力F作用（作用（C截面）处，其左、右两侧截面）处，其左、右两侧的剪力发生突变，且二者的差值等于的剪

24、力发生突变，且二者的差值等于F，即，即FlFalFbFFlFaFlFbFCCCC)(,S,S,S,S，右左右左 其原因是把分布在小范围的分布力，抽象成其原因是把分布在小范围的分布力，抽象成为集中力所造成的。若集中力为集中力所造成的。若集中力F视为作用在视为作用在D Dx段段上的分布力，就不存在突变现象了（图上的分布力，就不存在突变现象了（图d）。）。例例6-7 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶作用。的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。试作梁的剪力图和弯矩图。解解: : 1、求支反力、求支反力 lMFAe lMFBe0AM0elFMAMe FA FBBlACab2、

25、 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段： lxlMFxFA0eS弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段：段：CB段：段： xlMxFxMAe xllMMxFxMAeelxaax 0FA FBBlACabx3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ba时时lbMMemax lMxFeS发生在发生在C截面右侧截面右侧BlACabFslxMe lMxMealMeb结论：梁上有集中力偶矩时，该处剪力图无结论：梁上有集中力偶矩时，该处剪力图无变化，但该处弯矩图有突变，突变值等于集变化，但该处弯矩图有突变，突变值等于集中力偶矩，突变方向：中力偶矩，突变方向：（1）从左向右看，

26、若集中力偶矩是顺时针，）从左向右看，若集中力偶矩是顺时针，则弯矩图从上向下突变；则弯矩图从上向下突变；（2）从左向右看，若集中力偶矩时逆时针，）从左向右看，若集中力偶矩时逆时针，则弯矩图从下向上突变。则弯矩图从下向上突变。内力图特征（口诀）内力图特征（口诀）无均载无均载,Fs图平图平M图直图直;有均载有均载,Fs图斜图斜M图曲图曲;弯凸向弯凸向,与均载指向相一致与均载指向相一致;剪力零剪力零,该处弯矩有极值该处弯矩有极值;无力偶无力偶:固定铰、可动铰、圆铰链该处弯矩等于零；固定铰、可动铰、圆铰链该处弯矩等于零；集中力，该处集中力，该处Fs图有突变，对应图有突变，对应M图有尖角；图有尖角；突变向

27、（从左向右看），与集中力指向相一致；突变向（从左向右看），与集中力指向相一致；突变值，等于集中力大小值；突变值，等于集中力大小值；有力偶，该处有力偶，该处M图有突变，对应图有突变，对应Fs图无变化；图无变化；力偶顺（从左向右看），该处突变由上向下跑；力偶顺（从左向右看），该处突变由上向下跑；力偶逆（从左向右看），该处突变由下向上跑；力偶逆（从左向右看），该处突变由下向上跑；突变值，等于集中力大小值。突变值，等于集中力大小值。思考：荷载是对称性与反对称性，内力图有何规律？思考：荷载是对称性与反对称性，内力图有何规律？ （请同学们自己总结内力图规律）（请同学们自己总结内力图规律）Bl/2FA AFBCl/2F xMFl/4xFsF/2F/2Bl/2FA AFBCMe l/2FslxMe MxMe/2Me/22.2.由内力图特征画内力图由内力图特征画内力图步骤：步骤：（1）求梁的支座反力；）求梁的支座反力；（2）根据梁上的荷载，将梁分成若干段，由简便法求）根据梁上的荷载，将梁分成若干段，由简便法求出各段控制点的内力数值，并标在所要画的出各段控制点的内力数值，并标在所要画的Fs图、图、M图上；图上；（3）由内力图的特征将各控制点的内力数值连成直线）由内力图的特征将各控制点的内力数值连成直线或曲线，便可得到整个梁